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1-5-1三视图、表面积、体积



1-5-1 三视图、表面积、体积
1.(2014 年福建高考)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 C.四面体 B.圆锥 D.三棱柱 ) )

2.已知 l、m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l∥α,m∥α,则 l∥m C.若 l⊥m,m⊥α,则 l∥α B.若 l⊥m,m∥α,则 l⊥α D

.若 l∥α,m⊥α,则 l⊥m )

3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积等于( A.2 4 C. 3 2 B. 3 D.4

4.(2014 年安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( A.21+ 3 C.21 B.18+ 3 D.18

)

5. 已知 l, m, n 是三条不同的直线, α, β 是不同的平面, 则 α⊥β 的一个充分条件是( A.l?α,m?β,且 l⊥m C.m?α,n?β,m∥n,且 l⊥m B.l?α,m?β,n?β,且 l⊥m,l⊥n D.l?α,l∥m,且 m⊥β

)

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6.(2014 年辽宁高考)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.8-2π π C.8- 2 B.8-π π D.8- 4

)

7.在一个仓库里堆积着正方体货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清 点一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三视图画了出来,则这些正方体货 箱的个数为( A.6 C .8 ) B.7 D.9

8.(2014 年全国大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长 为 2,则该球的表面积为( 81π A. 4 C.9π ) B.16π 27π D. 4 )

9. (2014 年辽宁高考)已知 m, n 表示两条不同直线, α 表示平面. 下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α

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10. (2014 年唐山模拟)如图, 直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上, AB=AC,侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面积为( A.2 C. 2 B.1 D. 2 2 )

11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主) 视图的面积为________.

12.某一容器的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

13.(2014 年江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若 S1 9 V1 它们的侧面积相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2 14.(2014 年山东高考)三棱锥 PABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 DABE V1 的体积为 V1,PABC 的体积为 V2,则 =________. V2 15.已知某四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如图所示. (1)若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为________; (2)关于该四棱锥的下列结论中: ①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直; ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形; ③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面. 所有正确结论的序号是________.

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1-5-1 三视图、表面积、体积
1.(2014 年福建高考)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 C.四面体 B.圆锥 D.三棱柱 )

解析:圆柱的正视图是矩形,则该几何体不可能是圆柱.答案:A 2.已知 l、m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l∥α,m∥α,则 l∥m C.若 l⊥m,m⊥α,则 l∥α B.若 l⊥m,m∥α,则 l⊥α D.若 l∥α,m⊥α,则 l⊥m )

解析:平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交、异面,A 错;若 l⊥m,m∥α,则 直线 l 和平面 α 可能平行,可能在平面内,也可能相交,B 错;若 l⊥m,m⊥α,则直线 l 也可 能在平面 α 内,C 错;通过画图可知,D 显然正确,故选 D.答案:D 3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积等于( A.2 4 C. 3 2 B. 3 D.4 )

解析:由三视图判断几何体为一个三棱柱,其直观图如图,根据数据得底面△ADF 的面 积 S=2,高 h=2,所以体积 V=sh=2×2=4,故选 D. 答案:D

4.(2014 年安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( A.21+ 3 C.21 B.18+ 3 D.18

)

解析:由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正方体从后面右 上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分, 1 3 其表面积为 S=6×4- ×6+2× ×( 2)2=21+ 3.答案:A 2 4

5. 已知 l, m, n 是三条不同的直线, α, β 是不同的平面, 则 α⊥β 的一个充分条件是( A.l?α,m?β,且 l⊥m C.m?α,n?β,m∥n,且 l⊥m B.l?α,m?β,n?β,且 l⊥m,l⊥n D.l?α,l∥m,且 m⊥β

)

解析:依题意,A、B、C 均不能得出 α⊥β.对于 D,由 l∥m,m⊥β 得 l⊥β,又 l?α,因 此有 α⊥β.综上所述,选 D.答案:D
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6.(2014 年辽宁高考)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.8-2π π C.8- 2 B.8-π π D.8- 4

)

解析:直观图为棱长为 2 的正方体割去两个底面 1 半径为 1 的 圆柱,所以该几何体的体积为 4 1 23-2×π×12×2× =8-π.答案:B 4 7.在一个仓库里堆积着正方体货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清 点一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三视图画了出来,则这些正方体货 箱的个数为( )

A.6 C .8

B.7 D.9

解析:根据已知三视图,可以画出空间几何体的直观图(如图所示),因此下层有 6 个,上 层有 2 个,共有 8 个,故选 C. 答案:C

8.(2014 年全国大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长 为 2,则该球的表面积为( 81π A. 4 C.9π ) B.16π 27π D. 4

解析:如图所示,设球半径为 R,底面中心为 O′且球心为 O,∵正四棱锥 PABCD 中 AB=2,∴AO′= 2.∵PO′=4,∴在 Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2,∴R2=( 2)2 9?2 81π 9 +(4-R)2,解得 R= ,∴该球的表面积为 4πR2=4π×? ?4? = 4 ,故选 A. 答案:A 4

9. (2014 年辽宁高考)已知 m, n 表示两条不同直线, α 表示平面. 下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n

)

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C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α

D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α

解析:对于选项 A,若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 可能相交、平行或异面,A 错误;显然选 项 B 正确;对于选项 C,若 m⊥α,m⊥n,则 n?α 或 n∥α,C 错误;对于选项 D,若 m∥α, m⊥n,则 n∥α 或 n?α 或 n 与 α 相交,D 错误.故选 B. 答案:B 10. (2014 年唐山模拟)如图, 直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上, AB=AC,侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面积为( A.2 C. 2 B.1 D. 2 2 )

解析:由题意知,球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上,BC 为截面圆的直径,∴∠BAC=90° , △ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点,同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中点.设正方形 x? 2 ? x ? x x BCC1B1 边长为 x,Rt△OMC1 中,OM= ,MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径),∴? ?2? +?2? 2 2
2

=1,即 x= 2,则 AB=AC=1,∴S 矩形 ABB1A1= 2×1= 2.答案:C 11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主)

视图的面积为________.

解析:由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形,其中一边的长是侧(左) 视图中三角形的高,另一边是棱长.因为侧(左)视图中三角形的边长为 2,所以高为 3,所以 正视图的面积为 2 3.答案:2 3 12.某一容器的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

解析:依题意,题中的几何体是从一个棱长为 2 的正方体中挖去一个圆锥,其中该圆锥 1 2π 2π 的底面半径是 1、高是 2,因此题中的几何体的体积等于 23- π×12×2=8- .答案:8- 3 3 3 13.(2014 年江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若

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S1 9 V1 它们的侧面积相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2 S1 9 r1 解析:设甲、 乙两个圆柱的底面半径分别是 r1,r2, 母线长分别是 l1,l2.则由 = 可得 = S2 4 r2 3 l1 r2 2 V1 S1l1 9 2 3 3 .又两个圆柱的侧面积相等,即 2πr1l1=2πr2l2,则 = = ,所以 = = × = .答案: 2 l2 r1 3 V2 S2l2 4 3 2 2 14.(2014 年山东高考)三棱锥 PABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 DABE V1 的体积为 V1,PABC 的体积为 V2,则 =________. V2 1 解析:如图,设点 C 到平面 PAB 的距离为 h,三角形 PAB 的面积为 S,则 V2= Sh,V1 3 1 1 1 1 V1 1 1 =VE-ADB= × S× h= Sh,所以 = .答案: 3 2 2 12 V2 4 4

15.已知某四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如图所示. (1)若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为________; (2)关于该四棱锥的下列结论中: ①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直; ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形; ③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面. 所有正确结论的序号是________. 解析:(1)由三视图可知该几何体是底面边长为 2 的正方形、高为 1 的四棱锥,如图所示, 1 4 所以该四棱锥的体积为 ×2×2×1= .(2)由图可知 PQ⊥平面 ABCD,则有 PQ⊥AB,又 AB⊥ 3 3 BC,所以 AB⊥平面 PBC,于是侧面 PAB⊥侧面 PBC,同理可知侧面 PDC⊥侧面 PBC,故① 正确;由上述易知 AB⊥PB,CD⊥PC,所以△PAB,△PCD 为直角三角形,又由于四棱锥的 左视图可能为直角三角形,所以△PBC 可能为直角三角形,故②正确;由图易判断平面 PAB 4 与平面 PAD 不垂直,故③正确.综上知①②③均正确.答案:(1) 3 (2)①②③

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