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9.1解析几何



第九章

解析几何

9.1

直线的倾斜角、斜率与 直线的方程

第九章

9.1

直线的倾斜角、斜率与直线的方程
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-3-

考纲要求

题型



五年考题统 命题角度分析 计

1.在平面直角坐标系 中,结合具体图形,确定 直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角与 斜率的概念及其内在 联系. 3.掌握过两点的直线斜 选择题 率的计算公式. 解答题 4.掌握确定直线位置的 几何要素,掌握直线方 程的几种形式(点斜 式、两点式及一般式), 了解斜截式与一次函 数的关系.

2010 全 国,理 20 2012 全 国,理 20 2014 全国 Ⅰ,理 20 2014 全国 Ⅱ,理 10 2014 全国 Ⅱ,理 20

本节考点在高考中 单独命题的机会很少,一 般与其他知识综合交叉 考查,在解析几何的高考 解答题中,往往涉及直线 与圆锥曲线的联立,直线 方程的设解形式,及直线 方程形式的转化属于高 考高频考点.

第九章
知识梳理 双击自测

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,把 x 轴 正向 与直 线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重 合时,规定它的倾斜角为 0° .
, π) ②倾斜角的范围为 [0°

.

(2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率,斜率常用 小写字母 k 表示,即 k= tan α,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=
2 -1 2 -1

.

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2.直线方程的五种形式
名称 点斜 式 斜截 式 方程 适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴和平行于 x 轴的直线

y-y0=k(x-x0) y=kx+b
y-y1 x-x1 = y2 -y1 x2 -x1 + =1
b y

两点式 截距式
一般 式
x a

不含垂直于 x 轴、平行于 x 轴和过原点的直线
适用平面直角坐标系内的所有直线

Ax+By+C=0 其中要 2 2 求 A +B ≠0

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1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.( ) (2)斜率公式 k=
2 -1 2-1

,不适用于垂直于 x 轴和平行于 x 轴的直线.( )

)

(3)当直线的斜率不存在时,其倾斜角存在.( ) (4)过点 P(x1,y1)的直线方程一定可设为 y-y1=k(x-x1).( (5)直线方程的截距式 + =1 中,a,b 均应大于 0.( )


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(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

答案

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1 2 3 4 5 6

2.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为( A.
2 3

) D.3 2

B.

3 2

C.-

2 3

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k=

2 -1 0-2 2 = =- . 2 -1 3-0 3

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C
解析 答案

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3.直线 x-√3y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.
π 6

) D.
5π 6

B.

π 3

C.

2π 3

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易知直线的斜截式方程为 y= x+ a,
3 3 π A ∴ α= . 6

∴k= ,tan α= .

3 3

3 3

3 3

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解析

答案

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4.若直线 ax+by+c=0 经过第二、三、四象限,则有( A.ab>0,bc>0 C.ab<0,bc>0 B.ab>0,bc<0 D.ab<0,bc<0

)

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由题意,直线可化为 y=- x- .再由直线过第二、三、四象限, 则- <0,- <0,

A ab>0,bc>0. 即
解析 答案







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5.过点(-1,2)且倾斜角为 150° 的直线方程为

.

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由直线的倾斜角 α=150° ,得 k=tan α=- ,由点斜式方程得 y-2=- (x+1), 即√3x+3y-6+√3=0. √3x+3y-6+√3=0
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3 3

3 3

解析

答案

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1 2 3 4 5 6

6.直线 kx+y+2=-k,当 k 变化时,所有的直线都过定点

.

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kx+y+2=-k 可化为 y+2=-k(x+1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒过定点(-1,-2).
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(-1,-2)

解析

答案

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1 2 3 4 5 6

自测点评 1.对于直线的五种形式一定要理解其结构特点及适用
范围. 2.斜率的求解可以通过过两点的直线的斜率公式,也可以通过求倾斜 角的正切值来实现. 3.直线的点斜式、 斜截式是最常用的形式,点斜式重在突出斜率与定点, 斜截式主要体现斜率及在 y 轴上的截距,都具有非常鲜明的几何特点.

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考点一直线的倾斜角与斜率
(1)如果直线 l 过 A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角 α 的 取值范围是 . (2)已知点 A(2,-3),B(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 有交点,则直 线 l 的斜率 k 的取值范围是 .
解析:(1)直线 l 的斜率为
2 -1 k= =1-m2≤1, 1-2

又直线 l 的倾斜角为 α,则有 tan α≤1, 即 tan α<0 或 0≤tan α≤1, 所以 <α<π 或 0≤α≤ .
π 2 π 4

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(2)如图,由斜率公式,得

1-(-3) =-4, 1-2 1-(-2) 3 kBP= = , 4 1-(-3) 3 ∴k≥ 或 k≤-4. 4

kAP=

答案: (1)0≤α≤ 或 <α<π

π 4

π 2

(2)k≤-4 或 k≥

3 4

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方法总结 1.当利用直线的斜率范围求倾斜角范围时,要注意结合
正切曲线,并要分 0,
π 2



π ,π 2

两种情况讨论.

2.由直线的相对位置求斜率的范围,要注意数形结合,并且要明确直线 的斜率与倾斜角的变化规律,尤其对于不连续的区间范围要找出转折点.

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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对点练习 经过点 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)
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如图所示,结合图形:为使 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0,故当

的线段总有公共点 ,则直线 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别 k<0 时,倾斜角 α 为钝角 ,当 k=0 l 时 ,α=0,当 k> 0 时,α 为锐角 . 为 , .

-2-(-1) -1-1 =-1,kPB= =1,∴-1≤k≤1. 1-0 0-2 π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4 3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4 π 3π π 3π [-1,1] 0, ∪ α 的取值范围为 ,π 所以倾斜角 α ∈ 0 , ∪ ,π . 4 4 4 4

又 kPA=

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解析

答案

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考点二求直线的方程
(1)若直线经过点 A(-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍,则 该直线的方程为 半,则该直线的方程为 . . (2)若直线经过点 A(-√3,3),且倾斜角为直线 √3x+y+1=0 的倾斜角的一

(3)在△ABC 中,已知 A(5,-2),B(7,3),且 AC 的中点 M 在 y 轴上,BC 边的 中点 N 在 x 轴上,则 MN 的方程为 .

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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答案:(1)x+ 2y+1=0 或 2x+ 5y=0 (2)√3x-y+6=0 (3)5x-2y-5= 0 解析:(1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为 y=kx,将 (-5,2)代入 y=kx 中 ,得 k=- ,此时 ,直线方程为 y=- x.即 2x+5y=0.
2 5 2 5

②当横截距、纵截距都不是零时,设所求直线方程为2 + =1,
将 (-5,2)代入所设方程 ,解得 a=- ,此时 ,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述 ,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.
1 2





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(2)由 √3x+y+1=0 得此直线的斜率为 -√3,∴ 倾斜角为 120° ,从而所求直线的 倾斜角为 60° ,∴ 所求直线的斜率为√3.又过点 (-√3,3),∴ 所求直线方程为 y3=√3(x+ √3),即√3x-y+6=0. (3)设 C(x0,y0),则
+3 5+ 0 0 -2 , 2 2

,N

7+ 0 0 +3 , 2 2

.∵ M 在 y 轴上 ,∴
5

5+0 =0,∴ x0=-5. 2

∵ N 在 x 轴上 ,∴ 0 =0,∴ y0=-3,即 C(-5,-3),∴ 0,- ,N(1,0),∴ 直线 MN 的方程为 2 2
+ 5=1,即 1 2

5x-2y-5= 0.

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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方法总结

1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形

式,并注意各种形式的适用条件. 2.涉及截距问题,还要考虑截距为 0 这一特殊情况.

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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对点练习 已知直线 l 经过点 A(4,-3),并且在两坐标轴上的截距
关闭

当直线 l 在两坐标轴上的截距为 0 时,符合题意.
3 3 的绝对值相等 ,则直线 的方程为 . x+4y=0. 设直线方程是 y=kx,则l-3 =4k,k=- ,所以 y=- x,即 3 4 4

当直线 l 在两坐标轴上的截距不为 0 时,设直线 l 的方程为 + =1, 则 +
4 -3 =1,且|a|=|B| ,所以 a=B=1 或 a=7,B=-7.所以 x+y=1 或 ? =1, 7 7

即 x+y=1 或 x-y=7. 综上可知,所求直线 l 的方程是 3x+4y=0 或 x+y-1=0 或 x-y-7=0.
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3x+4y=0 或 x+y-1=0 或 x-y-7=0

解析

答案

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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考点三直线方程的综合应用
如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA,k OB 于 45° A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,则直线 由 题 意可得 =1, OA=tan
kOB= t an(180° - 30° ) =- ,则直线 AB 的方程为 . lOA:y=x,lOB:y=- 3 x.设 A(M,M),B(-√3n ,n ), 3 所 以 AB 的中点 C
+ 2 -0 -1 - 3 + , 2 2 3 3

1 2

关闭

,由点 C 在直线 y= x 上,且 A,P,B 三点共线得

1 2

=

=

1 - 3 · , 2 2 解得 -0

- 3 -1

,

M=√3,所以 A( √3, √3).又 P(1,0),所以 kAB=kAP=

3 3 -1

=

3+ 3 ,所以 2

lAB:y=

(3+ √3)x-2y-3-√3=0

3+ 3 ( x- 1),即直线 AB 2

的方程为(3+√3) x-2 y-3- √3=0.

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解析

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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方法总结 1.直线的方程的综合问题常与共线、中点、截距、面积
等问题进行联系,其中直线是核心,尤其要重视直线方程的解析式设法. 2.当已知直线过两点求其方程时,优先考虑运用点斜式.

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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对点练习 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x
轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,如图所示, 则△ABO 的面积的最小值为 直线 l 的方程为
aB≥24
6 4

,此时
3 2 3 2 6 ,则

关闭

由题意设直线方程为 + =1(a>0,B>0),则 + =1.由均值不等式知 + ≥2

.

当且仅当 = ,即 a=6,B=4 时,等号成立

3

2

.又 S= a· B≥ ×24 =12,此时直线方程

1 2

1 2

为 + =1,即 2 x+3 y-12 =0.
12 2x+3 y-12=0 ∴ △ABO 面积的最小值为 12,此时直线方程为 2 x+3 y-12=0.

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答案

第九章
易错警示 核心规律

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-25-

满分策略

求经过点 P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程. 解:(方法一)(1)当截距为 0 时,直线 l 过点(0,0),(2,3), 则直线 l 的斜率为 k=
3-0 2-0

= ,
3 2

3 2

因此,直线 l 的方程为 y= x,即 3x-2y=0. (2)当截距不为 0 时,可设直线 l 的方程为 + =1. ∵直线 l 过点 P(2,3),∴ + =1,∴a=5. ∴直线 l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 3x-2y=0 或 x+y-5=0.
2 3

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易错警示 核心规律

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满分策略

(方法二)由题意可知所求直线斜率存在, 则可设 y-3=k(x-2),且 k≠0. 令 x=0,得 y=-2k+3.令 y=0,得 x=- +2. 于是-2k+3=- +2,解得 k= 或-1. 则直线 l 的方程为 y-3= (x-2)或 y-3=-(x-2), 即直线 l 的方程为 3x-2y=0 或 x+y-5=0.
3 2 3 3 2 3

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易错警示 核心规律

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满分策略

本题易出现的错误有: (1)直接设出截距式方程,而忘记过原点的情况; (2)利用点斜式方程形式而忘记分析直线斜率情况.

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易错警示 核心规律

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满分策略

对点练习 已知直线 l :3x+2ay-5=0,l :(3a-1)x-ay-2=0,则使 l ∥l
1 2 1

2的

a

的值为

.

关闭

由 l1∥l2 可知 3×(-a)-2a×(3a-1)=0,整理得 6a2+a=0, 解得 a=0 或 a=- .
1 a=0 或 a=6

1 6

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满分策略

1.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,首先要想到 k=tan α,必要时可 结合正切函数的图象. 2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应 首先考虑下面的设法: (1)已知直线的纵截距,常设方程的斜截式; (2)已知直线的横截距和纵截距,常设方程的截距式(截距均不为 0); (3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一 个定点,一定不要遗漏斜率不存在情况; (4)仅知道直线的横截距,常设方程形式:x=my+a(其中 a 是横截距,m 是 参数),注意此种设法不包含斜率为 0 的情况,且在圆锥曲线章节中经常使 用.

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易错警示 核心规律

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满分策略

1.斜率公式 k=

2 -1 2 -1

(x1≠x2)与两点的顺序无关,且只能解决两点横坐标

不相等所确定直线的斜率问题,若题目中无明确这一信息,要分类讨论,莫忘 斜率不存在的情况. 2.设解直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情 况最好单独处理,然后再处理常规情况.



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