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学案15 任意角的三角函数



第四章 三角函数与三角恒等变换 学案 15 任意角的三角函数

自主梳理 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线 OA 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 OB 所成的图 形.旋转开始时的射线 OA 叫做角的________,射线的端点 O 叫做角的________,旋转终 止位置的射线 OB 叫做角的 ________ ,按 ______时针方向旋转所形

成的角叫做正角,按 ______ 时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个 ________角. (1)象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就 说这个角是__________角. (2)象限界角(即终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角表示为____________________; 终边在 y 轴上的角表示为__________________________________________; 终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________. (3)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合______________________ 或__________________________,前者 α 用角度制表示,后者 α 用弧度制表示. (4)弧度制 把长度等于________长的弧所对的__________叫 1 弧度的角. 以弧度作为单位来度量角 的单位制,叫做________,它的单位符号是________,读作________,通常略去不写. (5)度与弧度的换算关系 360° =______ rad;180° =____ rad;1° =________ rad; 1 rad=_______________≈57.30° . (6)弧长公式与扇形面积公式 l=________,即弧长等于_________________________________________________. S 扇=________=____________. 2.三角函数的定义 任意角的三角函数定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 ①____叫做 α 的正弦,记作 sin α,即 sin α=y;②____叫做 α 的余弦,记作 cos α,即 cos α y =x;③________叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α= (x≠0). x (1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示,三角函数正值歌:一全正,二正弦,三正切, 四余弦.

(2)三角函数线

下 图 中 有 向 线 段 MP , OM , AT 分 别 表 示 __________ , __________________ 和 ____________.

自我检测 1 [2014· 全国卷 2] 已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =( 4 A. 5 3 B. 5 3 4 C.- D.- 5 5

)

【答案】D 2.(2011· 济 宁 模 拟 ) 点 P(tan 2 015° , cos 2 015° ) 位 于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. sin2· cos3· tan4 的值 ( ) (A)大于 0 (B)小于 0 (C)等于 0 (D)不确定 4.如果一扇形的面积为 1,周长为 4,则中心 角的弧度数为_________

探究点一 角的概念 例 1 (1)如果角 α 是第三象限角,那么-α,π-α,π+α 角的终边落在第几象限; (2)写出终边落在直线 y= 3x 上的角的集合; θ (3)若 θ=168° +k· 360°(k∈Z),求在[0° ,360° )内终边与 角的终边相同的角. 3

α 变式迁移 1 若 α 是第二象限的角,试分别确定 2α, 的终边所在位置. 2

探究点二 弧长与扇形面积 例 2 (2011· 金华模拟)已知一个扇形的圆心角是 α,0<α<2π,其所在圆的半径是 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积;

(2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

变式迁移 2 (1)已知扇形的周长为 10,面积为 4,求扇形中心角的弧度数; (2)已知扇形的周长为 40,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的面积最大?最 大面积是多少?

探究点三 三角函数的定义 例 3 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值.

变式迁移 3 已知角 α 的终边经过点 P(-4a,3a) (a≠0),求 sin α,cos α,tan α 的值.

1 与 405°角终边相同的角是

A. k ? 360? ? 457?(k ? Z ) B. k ? 360? ? 405?(k ? Z ) C. k ? 360? ? 45?(k ? Z ) D. k ?180? ? 45?(k ? Z )
1 1 2. 若 0<x<π, 则使 sin x> 和 cos x< 同时成立的 x 的取值范围是 2 2 π π π 5 A. <x< B. <x< π 3 2 3 6 π 5 π 2 C. <x< π D. <x< π 6 6 3 3 α 3. 已知 α 为第三象限的角, 则 所在的象限是 2 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 ( )

(

)

3π 3π? 4.(2011· 龙岩模拟)已知点 P? ?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的 值为________. 5.阅读下列命题: 2 5 ①若点 P(a,2a) (a≠0)为角 α 终边上一点,则 sin α= ; 5 1 3 ②同时满足 sin α= ,cos α= 的角有且只有一个; 2 2 1 3π 5 ③设 tan α= 且 π<α< ,则 sin α=- ; 2 2 5 ④设 cos(sin θ)· tan(cos θ)>0 (θ 为象限角), 则 θ 在第一象限. 其中正确命题为________. (将 正确命题的序号填在横线上)



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