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导数专题训练一



导数专题训练一

1. 过曲线 y ? x 3 ? x ? 2 上一点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则点 P0 的一个坐标是( ) A. (0,-2) 2、若曲线 y ? x (A)64 3、函数 y=
? 1 2

B. (1, 1) 在点 ? a, a

C. (-1, -4)

/>
D. (1, 4)

【答案】C )

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ( ?
(C)16 (D)8 【答案】A

(B)32

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
(B) (0,1] (C.)[1,+∞) (D) (0,+∞) 【答案】B )

(A) ( ? 1,1]

4、设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是(

【答案】C 5、已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切
2

线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C)

(

)

?4

(D)

?8

【答案】A

6、设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极小值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是 ( )

【答案】C 7、设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点
【答案】D





8、设 a ? 0, f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P ? x0 , f ( x0 )? 处切处的倾斜角的取值范围为 [0, 4 ] ,则P到 曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围( ) A. [0, 1 ] B. [0, 1 ] C. [0,|
a 2a

?

b |] 2a

D.

[0,|

b ?1 |] 2a

【答案】B

9. 对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( A.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) 10、设函数 f ? x ? 满足x f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ?
2


【答案】C

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0, 时,f ? x ? x 8
B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值





A.有极大值,无极小值 C.既有极大 值又有极小值

【答案】D

[ x f ( x)]? ? 【解析】 由已知,
2 2

e x

x

2 (1) 。 在已知 x f ?( x) ? 2 xf ( x) ?

e e2 中令 x ? 2 , 并将 f (2) ? x 8

x

ex ? 2 xf ( x) ,两边乘以 x 后令 g ( x) ? x3 f ?( x) ? ex ? 2[ x2 f ( x)] (2) 。求 x ex x ? 2 x x ? ? e ,显然 x ? (0, 2) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 减;x ? (2, ??) 导并将 (1) 式代入,g ( x) ? e ? 2 ? x x 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 增;并且由(2)式知 g (2) ? 0 ,所以 g (2) ? 0 为 g ( x) 的最小值,即 g ( x) ? 0 , 所以 x3 f ?( x) ? 0 ,在 x ? 0 时得 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 为增函数,故没有极大值也没有极小值。
代入,得 f ?(2) ? 0 ;因为 x f ?( x) ? 11、已知函数 y ? f ( x) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 f (1) ? 2 f ?(1) 的值是
2 12、若点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为

2

2

13、设函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内可导,且 f (e x ) ? x ? e x ,则 f x (1) ? ______________
2 3 14、若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

【答案】2

25 15 x ? 9 都相切,则 a 等于 _______ ?1或 64 4

3 2 15、已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解析: (Ⅰ )由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
2

又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?( x ) 在 ( ?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x ) 在 ( ?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ )函数 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0

整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 且 a ≠1
x ?1 2 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x ;

16、 求 f ( x ) 的解析式及单调区间;
x ?1 【答案】 (1) f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ?

1 2

1 2 x ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2

令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?
x 得: f ( x) ? e ? x ?

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2

1 2 x ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ?1 ? x 2

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
x 得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0)



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