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函数的奇偶性,单调性问题


例1已知y=f(x), 是定义为R单调增函数. y=g(x), 是定义为R单调减函数. 求证y=f[g(x)]在其定域义上的减函数
证明:设,x1,x2∈R且x1<x2,因为是R上的减函数 所以g(x1)>g(x2),同理:y=f(x)是R上的增函数 即g(x1)>g(x2) ∴ f[g(x1)]>f[g(x2)] 故函数y=f[g(x)]是减函数 同理可得复合函数的‘同增异减法则’ f,g单调性相同原函数是增函数 f,g单调性相异原函数是减函数

抽象函数:无函数具体表达形式,仅知道一些函 数性质去解决相关的问题

例2已知y=f(x)是定义在R上的不恒为零的 函数,且对任意的a、b∈R都满足: f(ab)=af(b)+bf(a)

⑴求f(0)及f(1)的值 ⑵判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论

例3:定义在实数集合上的函数y=f(x),f(0)≠ 0, 当x>0时.f(x)>1,对任意实数a,b,有f(a+b)=f(a)f(b) (1)求证:f(0)=1 (2)求证:定义在实数集合上的函数y=f(x)恒有 f(x)>0 (3)求证:是R上的增函数。 (4)若f(x).f(2x)>1求x的取值范围;
解:(1)令a=b=0,f(0)=f2(0), ∵f(0)≠0, ∴f(0)=1 (2)x∈R,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1, ∴f(x)≠0
x x x x f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) f ( ) ? 0 2 2 2 2 x ? f ( ) ? 0 ? f ( x) ? 0 2

例3.定义在实数集合上的函数y=f(x),f(0)≠ 0, 当x>0时.f(x)>1对任意实数a,b,有f(a+b)=f(a)f(b) (3)求证:是R上的增函数。 (4)若f(x)· f(2x)>1求x的取值范围; 解:(3)设任意实数x1,x2,且x1<x2,即x2-x1>0有已知 f(x2-x1)>1 ,f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)f(x1) → f(x)>0有f(x1)>0 f(x2)>f(x1),所以函数是R上的增函数

(4) ∵f(x)· f(2x)=f(x+2x)>f(0), ∴3x>0
∴0<x

例4:已知当x>0时,f(x)>0且f(x-y)=f(x)-f(y), 求证:y=f(x)是增函数

练习1 :已知y=f(x)当x>0时f(x)>1且. f(x+y)=f(x)+f(y)-1求证y=f(x)是R上的增函数。

练习2:已知y=f(x) 定义域是R+,且y=f(x)是增函数, f(xy)=f(x)+f(y) x (1)求证:f( )=f(x)-f(y);
(2)当f(3)=1时f(a)>f(a-1)+2.求a取值范围; f (a ) ? f (a ? 1) ? 2 证明(1)
x x f ( x) ? f ( y ? ) ? f ( y ) ? f ( ) y y x ? f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) y

y

(2)由已知得

a ) ? f (9) a ?1 ? a ? a ?1 ? 9 ? ? ?a ? 0 ?a ? 1 ? 0 ? ? 9 ?1? a ? 8 ? f(

练习3: 已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1) 求证:f(x)是奇函数

(2) 如果x∈R+时,f(x)<0,并且 f(1)=-0.5,求f(x)在区间[-2,6]上的
最值

练习4: f (x)是定义在R 上的函数,对任意的 x1 , x 2 ,满足 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,又对任意的 x1 ? x2 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (Ⅰ)求 f (0) 的值




(Ⅱ)求证:对任意x ,都有 f ( x) ? 0 (Ⅲ)证明: f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 )
f ( x2 )

练习5:设函数y=f(x)的定义域为R,当x>0 时,f(x)>1;对任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)f(y)成

立,解不等式

1 f ( x) ? f ( x ? 1)

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) 练习6:定义在(-1,1)上的函数f(x),满足 1 ? xy

,对任意x∈(-1,0),都有f(x)>0 求证:f(x)在(-1,1)上是单调减函数,

证明:f(0)=0,x+y=0∴f(x)+f(-x)=0 -1<x1<x2<1,x1-x2<0∴(x2-1)(x1+1)<0 ∴x1x2-1<x1-x2<0

x1 ? x2 ?1 ? ?0 1 ? x1 x2

x1 ? x2 ?1 ? x ? 0, f ( x) ? 0 ? f ( )?0 1 ? x1 x2

f(x1)>f(x2)


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