9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题12



专题 12
【课标要求】 1.课程目标

矩阵与变换

本专题的内容包括:二阶矩阵与平面向量、几种常见的平面变换、变换的复合与矩阵 的乘法、逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的简单应用. 通过本专题的教学,使学生了解矩阵是研究图形(向量)变换的基本工具,许多数学 模型都可以用矩阵来表示;使学生理解二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量 等概念,并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义;初步体会矩阵应用的广泛性, 进一步体会代数与几何结合的数形结合思想. 2.复习要求 (1) 二阶矩阵与平面向量 了解矩阵的有关概念;掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法;理解矩阵对应着向量集合 到 向量集合的映射. (2) 常见的平面变换 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换. 掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的几何意义及其矩阵表示. 理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线,即 A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ. 了解单位矩阵. (3) 矩阵的复合与矩阵的乘法 熟练掌握二阶矩阵的乘法;理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵;理解 两个二阶矩阵相乘的几何意义. 理解矩阵乘法的简单性质(不满足交换律、满足结合律、不满足消去律). (4) 二阶逆矩阵 理解逆矩阵的意义;掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 理解逆矩阵的唯一性和 (AB)-1=B-1A-1 等简单性质, 并了解其在变换中的意义.会从几 何变换的角度求出 AB 的逆矩阵. 了解二阶行列式的定义;会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组. 能用变换与映射的观点认识解二元线性方程组解的意义.会用系数矩阵的逆矩阵解方 程组.
12-1

能通过系数矩阵理解二元线性方程组解的存在性、唯一性. (5) 二阶矩阵的特征值与特征向量 掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义. 会求二阶矩阵的特征值与特征向量. 利用矩阵 A 的特征值与特征向量给出 An? 的简单表示. (6) 二阶矩阵的简单应用 初步了解高阶矩阵. 了解矩阵的简单应用.

3.复习建议 (1) 对矩阵概念的理解应通过大量举例进行, 使学生认识到矩阵的实际背景及学习必 要.并注意本专题的矩阵只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般 m× n 阶矩阵以及 (aij)形式的表示. (2)强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义的理解,使他们认识并理解 矩阵是向量集合到向量集合的映射. (3) 对几种常见平面变换的复习是本专题的一个重点. 应注意揭示新旧知识的异同点, 注重新旧知识的整合与循环上升,通过具体的实例让学生认识到,某些几何变换可以用矩 阵来表示. (4) 对二阶矩阵的乘法应使学生熟练掌握其运算规则,了解相关运算律,并能通过平 面变换理解其几何意义. (5) 二阶矩阵的逆矩阵是复习的另一个重点,应使学生明晰逆矩阵存在的条件,及其 唯一性,能准确求解二阶矩阵的逆矩阵,并能从几何变换的角度加以理解应用.能用逆矩 阵的方法求解 二 元 线 性 方 程 组 A X? B, 并 能 推 广 到 A, B, X 均 为 二 阶 矩 阵 的 情 形 , 即
AX ? B ? X ? A?1 B .

(6) 对特征值与特征向量的复习一要学生掌握其代数求解方法,二要从几何变换角度 讨论矩阵的特征向量定义及特征向量作为不变量的意义,对特征多项式只作为求解特征值 的一个工具使用,不展开讨论. (7) 矩阵的应用是个难点,应通过应用使学生了解学习矩阵的必要性,感受矩阵在密 码学,经济领域,生物学领域及网络图中的简单应用,但所用实例难度以教材为标杆. (8) 充分重视本专题教材上的例习题,应做到条条落实,切记"忘本". 本专题的复习应避免两个极端. 一是不注意考试说明中的要求, 将大学知识简单下放,
12-2

苦煞学生;二是不重视本专题的复习,以它不是高中数学核心知识为由,敷衍了事. 【典型例题】
?3 2? 例 1 求矩阵 A ? ? ? 的逆矩阵.(2009 江苏卷) ?2 1 ? ? 3 2 ? ? x y ? ?1 0? ?x y ? 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ? ,则? ?? ??? ?, ? ? 2 1 ? ? z w? ? 0 1 ? ? z w? ?3x ? 2 z ? 1, ?3 y ? 2w ? 0, ?3 x ? 2 z 3 y ? 2 w ? ?1 0 ? ?? ,故? 即? ? ? ? ? 2 x ? z 2 y ? w ? ?0 1 ? ?2 x ? z ? 0, ?2 y ? w ? 1,

解得: x ? ?1, z ? 2, y ? 2, w ? ?3 ,
? ?1 2 ? 从而 A 的逆矩阵为 A?1 ? ? ?. ? 2 ?3?
? d ? ad ? bc a b ? ? 或由逆矩阵知识 A ? ? 则 A ?1 ? ? ? ? ?c ?c d ? ? ? ad ? bc ?b ? ad ? bc ? ? 直接可得答案. a ? ad ? bc ? ?

例 2 已知曲线 C : xy ? 1 将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 450 后,求得到的曲线 C ' 的方程;

?cos 450 解:由题设条件, M ? ? 0 ? sin 45 ? ? x ? ? x '? ? TM : ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? y '? ? ? ? ? ?x ? ? 解得 ? ?y ? ? ? 2 2 2 2

? ? ? ? sin 45 ? ? ? cos 450 ? ? ? ?
0

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? , 2 ? ? 2 ? 2 x? 2 2 x? 2 2 y 2 , 2 y 2

?

? 2? ? ?x? ? 2 ?? ? ??? 2 ? ? y? ? ? ? 2 ? ?

2 2 x? 2 2 2 2 x? 2 2

? ? y? ?x ' ? ? ,即有 ? ? ? ?y' ? y? ? ? ?

2 ( x '? y ') 2 ,代入曲线 C 的方程为 y '2 ? x '2 ? 2 。 2 ( y '? x ') 2

所以将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 450 后,得到的曲线是 y 2 ? x 2 ? 2 。
?2 a ? 例 3 已知矩阵 M ? ? ? ,其中 a ? R ,若点 P (1, ?2) 在矩阵 M 的变换下得到点 P?(?4,0) , ?2 1 ?
12-3

(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量.

? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? 解: (1)由 ? ? ? ?=? ?, ? 2 1 ? ? ?2 ? ? 0 ?

∴2 ? 2a ? ?4 ? a ? 3 .

? 2 3? (2)由(1)知 M ? ? ? ,则矩阵 M 的特征多项式为 ? 2 1? f (? ) ?

? ?2
?2

?3 ? (? ? 2)(? ? 1) ? 6 ? ? 2 ? 3? ? 4 ? ?1

令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 的特征值为 ?1 与 4.
?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 当 ? ? ?1 时, ? ?x? y?0 ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?1? ∴ 矩阵 M 的属于特征值 ?1 的一个特征向量为 ? ? ; ? ?1? ?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ? 2x ? 3y ? 0 当 ? ? 4 时, ? ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?3? ∴ 矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 ? ? . ?2?

例4自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响,比如出生率、死亡率、资源的可利 用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此,它们和周边环境是一种既相生又相克 的生存关系.但是,如果没有任何限制,种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群 X,
?an13anbn Y 随时间段变化的数量分别为{an},{bn},并有关系式 ? ,其中 a1=1,b1=1, ?bn12an2bn

试分析 20 个时段后这两个种群的数量变化趋势.
?1 ? ?1? ?3 1? 解:? 1 = ? ? , ? 2 = ? ? 是矩阵 M= ? ? 分别对应特征值 ? 1=1,? 2=4 的两个特征向量, ?-2? ?2 2? ?1? ?1? ?1? ?1 ? 而 ? 1 与 ? 2 不共线.又 ? = ? ? =3 ? ? +(-2) ? ? 1 1 ?-2? ? ? ? ?
12-4

∴ M20 ? = M20(3 ? 2+(-2) ? 1)=3 M20 ? 2+(-2) M20 ?

1

?1? ?1 ? =3 ? 220 ? 2+(-2)×? 120 ? 1=3× 420×? ? +(-2)× 120×? ? ?-2? ?1?

?3 ? 420 ? 2? ?3 ? 420 ? =? ? ≈? 20 20 ? ? ?3 ? 4 ? 4? ? ? ?3 ? 4 ? ?

答:20 个时段后这两个种群的数量都趋向于 3× 420.

?1 2? ? 2 3? ?0 1 ? ,B ? ? ,C ? ? 例5已知矩阵 A ? ? ? ? ? ,求满足 AXB ? C 的矩阵 X . ??2 ?3? ?1 2 ? ?1 0 ?

解:

? ?3 ?2? ?1 ? 2 ?3? A?1 ? ? ? , B ? ? ?1 2 ? , ?2 1? ? ?

? ?3 ?2? ?0 1 ? ? 2 ?3? ? ?1 0? ? X ? A?1CB ?1 ? ? ?? ?? ??? ?. ? 2 1 ? ?1 0? ? ?1 2 ? ? 0 1 ?

【专题训练】 1.设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (1)求矩阵 M ; (2)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量.

?1 0 ? ?1 ? 0? ? ? ? 2.已知矩阵 M ? ,试求曲线 y ? cos x 在矩阵 M ?1 N 变换下的函数解析 ,N ? 2 ?0 1 ? ? ? ? 2? ? 0 1?
式.
?1? 3.二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 ,其对应的一个特征向量 e= ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换 ?1?

将点 (?1, 2) 变换成点 (?2, 4) ,求矩阵 M 2 .
? an ? 4 ? ? an ? 4. 设数列 ?an ? , ?bn ? 满足 an?1 ? 3an ? 2bn , bn?1 ? 2bn ,且满足 ? ? ? M ? ? ,试求二阶矩阵 ?bn ? 4 ? ?bn ?

M.
?a 0? 5.若矩阵 A ? ? ? 把直线 l : 2 x ? y ? 7 ? 0 变为自身,求实数 a , b 的值. ?1 b ?
12-5

? x ? 2y ? 0 6.用逆矩阵知识求解方程组 ? ?2 x ? 5 y ? 1 ?1 7.已知矩阵 A ? ? ? ?1 a? ?2? , A 的一个特征值 ? ? 2 ,其对应的特征向是是 ?1 ? ? ? . ? b? ?1 ?

(1)求矩阵 A ;
?7 ? (2)若向量 ? ? ? ? ,计算 A5 ? 的值. ?4?

【专题训练参考答案】 1.解:由条件得矩阵 M ? ?

?2 ?0

0? ; 3? ? ?1 ? ?0? ?0? ?1 ?

它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ;

?1 ? ?1 ? 0? ? 0? ?1 0 ? ?1 0 ? ? ?1 M N 2.解: M ?1 ? ? , 所以 = ? 2 2 ? ?0 2 ? ? ?0 2? ? ? 0 1 ? ? 0 2? ? ? ? ? ?1 ? ? x ? ? x? ? ? x ? 即在矩阵 M N 的变换下有如下过程, ? ? ? ? ? ? 2 , ? y ? ? y ?? ? 2 y ? ? ?
?1



1 y? ? cos 2 x? ,即曲线 y ? cos x 在矩阵 M ?1 N 的变换下的解析式为 y ? 2cos 2 x 2
?1? ?1? ? a ? b ? ?8 ? ?1? =8 ?1? 得 ?c ? d ? = ?8 ? ,即a+b=c+d=8. ? ? ? ? ? ? ? ?

?a b? ?a b? 3.解:设M= ? ? ,则由 ? ? ?c d? ?c d?

? ?a ? 2b ? ? ?2 ? ? a b ? ? ?1? ? ?2 ? 由? ? ? ? = ? ? ,得 ? ? ? ? ? ,从而-a+2b=-2,-c+2d=4. ? c d ? ?2 ? ?4 ? ? ?c ? 2 d ? ? 4 ?

由 a+b =8 及-a+2b=-2,解得 a=6,b=2;
?6 2 ? 由 c+d =8 及-c+2d=4,解得 c=4,b=4 所以 M= ? ?, ?4 4? ? 6 2 ? ? 6 2 ? ? 44 20? 从而 M2= ? ?? ?=? ? . ? 4 4 ? ? 4 4 ? ? 40 24?

12-6

? a ? ? 3 2 ? ? an ? 4.解:依题设有: ? n ?1 ? ? ? ?? ? ? bn ?1 ? ? 0 2 ? ?bn ? ? 3 2? 4 令A?? ? ,则 M ? A ? 0 2? ? 3 2 ?? 3 2 ? ? 9 10 ? A2 ? ? ?? ??? ? ? 0 2 ?? 0 2 ? ? 0 4 ?
2 ? 9 10 ? ? 9 10 ? ? 81 130 ? M ? A4 ? ? A2 ? ? ? ?? ? ?? ? ? 0 4 ? ? 0 4 ? ? 0 16 ?

? x ' ? ax ?a 0? ? x ? ? ax ? ? x' ? 5. ? 代入 l : 2 x ? y ? 7 ? 0 得 (2a ? 1) x ? by ? 7 ? 0 , ?? ? ? '? ? ? ? ? ? ? ? y ' ? x ? by ?1 b ? ? y ? ? x ? by ? ? y ?

1 与 l : 2 x ? y ? 7 ? 0 重合 ? a ? , b ? 1 . 2
?1 2 ? ?0? ? x? 6.设 A ? ? ? , B ? ?1? , X ? ? y ? , 原方程组可写成 AX ? B . 2 5 ? ? ? ? ? ? ? 5 ?2? ? ?2? ? x ? ?2 .? X ? A?1 B ? ? ? ,? ? A 可逆? A?1 ? ? ? ? ?2 1 ? ? 1 ? ? y ?1 ?1 7.解: (1) A ? ? ? ?1 2? ; 4? ?

(2)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
1

?2

??4

? ? 2 ? 5? ? 6? 0 ,得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 ,

?2? ?1? 当 ?1 ? 2时, ?1 ? ? ? ,当 ?2 ? 3时, 得? 2 ? ? ? . ?1 ? ?1? ? 2m ? n ? 7 得m ? 3, n ? 1 . 由 ? ? m?1 ? n? 2 ,得 ? ?m ? n ? 4 ? 2? ?1? ? 435? 5 ? 2 ? 3 ? 25 ? ? ? 35 ? ? ? ? ? ∴A5 ? ? A5 (3?1 ? ?2 ) ? 3( A5?1 ) ? A5?2 ? 3(?15?1 ) ? ?2 ?1 ? ?1? ?339 ?

12-7



更多相关文章:
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题06_解析几何
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题06_解析几何 隐藏>> 专题6 【课标要求】 1.课程目标 解析几何 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念和变化规律,掌握斜率...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题08 概率统计
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题08 概率统计_高三数学_数学_高中教育...0.12 + 5.5 × 0.20 + 6.5 × 0.40 + 7.5 × 0.2 + 8.5 × ...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料 专题02 数列
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料 专题02 数列_高三数学_数学_高中教育_...(参考数据: 1.1810 ≈ 5.23,1.1811 ≈ 6.18,1.1812 ≈ 7.29 .结果...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料04三角函数x
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料04三角函数x 隐藏>> 专题4 三角函数【课标要求】 1.课程目标 通过三角函数的教学,使学生逐步理解三角函数的概念及基本性质...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题03 不等式
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题03 不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题03 不等式专题...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题09_复数
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题09_复数 隐藏>> 专题9 复数【课标要求】 1.课程目标 回顾数系的扩充过程,体会数的概念是逐步发展起来的,了解引进复数...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题12_矩阵与...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题12_矩阵与变换_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题 12 【课标要求】 1.课程目标 矩阵与变换 本专题的内容包括:二...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料_专题02_数列x
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料_专题02_数列x 隐藏>> 专题2 数列【课标要求】 1.课程目标 通过数列的教学,使学生认识等差数列和等比数列这两种数列模型,...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题06_解析几...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题06_解析几何x_数学_高中教育_教育专区...4 y ? 12 ? 0 的距离 d 2 ,则 d 1 + d 2 的最小值为 . 7.要...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题07_立体几...
2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题07_立体几何初步_数学_高中教育_教育...③ A 有 12 个 7-2 面;④表面积为 3a ;⑤体积为 解析:①②⑤. 2 5...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图