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江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试题



南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题

(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1 ? ,若 N ? M ,则 x ? 2.若复数 z ? ▲ . ▲ .

a?i (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? i

3.在一次射箭比赛中,某运动员 5 次射箭的环数依次是 9,10,9, 7,10 ,则该组数据的方差是 ▲ . 4. 甲、 乙两位同学下棋, 若甲获胜的概率为 0.2 , 甲、 乙下和棋的概率为 0.5 , 则乙获胜的概率为 5.若双曲线 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 a ? 6.运行如图所示的程序后,输出的结果为 ▲ . ▲ . i←1 S←0 While i<8 i←i + 3 S←2? i + S End While Print S . END 第 6 题图



.

? 2x ? y ? 0 ? x? y 7.若变量 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?



.

8.若一个圆锥的底面半径为 1 ,侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥的体积为 9.若函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

? ( x0 ,0) 成中心对称, x0 ? [0, ] ,则 x0 ? 2

6

)(? ? 0) 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为
▲ .

? ,且该函数图象关于点 2



10.若实数 x, y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1,则

x2 ? y 2 的最小值为 x? y
1 ”成立的 2



.

11.设向量 a ? (sin 2? , cos ? ) , b ? (cos ? ,1) ,则“ a//b ”是“ tan ? ? 分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .



条件 (选填“充

12.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x ? y ? r ( r ? 0) 交于 A, B 两点, O 为坐标原
2 2 2

5 3 OA ? OB ,则 r ? ▲ . 4 4 2 ], f ( x ) 13 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [? 2 , 2 上] 的 奇 函 数 , 当 x ? ( 0 , 时 ?
点,若圆上一点 C 满足 OC ?

g ( x)?
范围是

2

2 ? , 1函 数 如果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 m 的取值 x? 2 x ?. m
x

14. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,a2 ? a1 , 若数列 ?a2n?1? 单调递减, 数列 ?a2 n ? | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) , 单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ▲ .
第 1 页(共 5 页)



.

江苏省南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试数学试题

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,并把答案写 在答题纸的指定区域内) 15.在平面直角坐标系 xOy 中,设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点 P( x1 , y1 ) , 将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 (1)求函数 f (? ) 的值域; 若 f (C) ? 2 ,且 a ?

? 后与单位圆交于点 Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . 2
y Q α O P x

(2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

2 , c ? 1 ,求 b .

第 15 题图

16.(本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O, E 分别为 B 1 D, AB 的中点. (1)求证: OE // 平面 BCC1B1 ; (2)求证:平面 B1DC ? 平面 B1DE .
A1

D1

C1 B1 O

D

C E B

A

第 16 题图

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17.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上 a 2 b2 2 5 顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离为 . 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点共线时,试确定直线 l 的斜
率.
y B l O

·
F P

A

x

第 17 题图

18.某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计 方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线 AB 是 以 点 E 为 圆 心 的 圆 的 一 部 分 , 其 中 E (0, t ) ( 0 ? t ? 25 ,单位:米) ;曲线 BC 是抛物线

y B C

y ? ?ax2 ? 50(a ? 0) 的一部分; CD ? AD , 且 CD 恰好等于圆 E 的半径. 假定拟建体育馆 的高 OB ? 50 米. 第 18 题-甲 (1)若要求 CD ? 30 米, AD ? 24 5 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; 1 (3)若 a ? ,求 AD 的最大值. 25 1 (参考公式:若 f ( x) ? a ? x ,则 f ?( x) ? ? ) 2 a?x

·E
F A O 第 18 题-乙

D

x

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19.设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1a5 ? 64 , S5 ? S3 ? 48 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证:“ m ? k ? 1且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三项经适当排 (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? 序后能构成等差数列”成立的充要条件;

? anb1

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? 的取值范围. ? an ?

20.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? mx ? n . (1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ① 若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值; ② 当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围; (2)设函数 r ( x) ?

1 nx ? ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . f ( x) g ( x)

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附加题
21. A、 (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知点 P 为 Rt ?ABC 的斜边 AB 的延长线上一点,且 PC 与 Rt ?ABC 的外接圆相切,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D ,若 PA ? 18 , PC ? 6 ,求线段 CD 的长.
A C

D

B P

B、 (选修 4—2:矩阵与变换)

? ? 求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M ? ? ? ? ?
方程. C、 (选修 4—4:坐标系与参数方程)

2 2? ? ? 2 2 ? 的变换下所得曲线的 2 2? ? 2 2 ?

第 21-A 题图

在极坐标系中,求圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 2 ? sin(? ?

?
3

) ? 1 的距离.

D、解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 4 .

22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , 动点 P 满足 CP ? ?CC1 (? ? 0) ,当 ? ? (1)求棱 CC1 的长; (2)若二面角 B1 ? AB ? P 的大小为

A1

C1

1 时, AB1 ? BP . 2

B1

P

? ,求 ? 的值. 3
B

A

C

第 22 题图

23.设集合 S ? ?1,2,3,L , n? (n ? N , n ? 2) , A, B 是 S 的两个非空子集,且满足集合 A 中的最大数小于
*

集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对 ( A, B) 的个数为 P n. (1)求 P2 , P 3 的值; (2)求 P n 的表达式.

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南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试 数学试题参考答案和评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1 ? ,若 N ? M ,则 x ? 答案:1 2.若复数 z ? 答案:-1 3 .在 一 次 射 箭 比 赛 中 , 某 运 动 员 5 次 射 箭 的 环 数 依 次 是 9 , 1 0 , 9 , 7 , , 1 0则 该 组 数 据 的 方 差 是 ▲ 答案: . ▲ .

a?i (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? i



.

6 5
▲ .

4. 甲、 乙两位同学下棋, 若甲获胜的概率为 0.2 , 甲、 乙下和棋的概率为 0.5 , 则乙获胜的概率为 答案: 0.3 解读:为了体现新的《考试说明》 ,此题选择了互斥事件,选材于课本中的习题。 5.若双曲线 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 a ? ▲ .

答案:

2 2
▲ .

6.运行如图所示的程序后,输出的结果为 答案:42 解读:此题的答案容易错为 22。

? 2x ? y ? 0 ? x? y 7.若变量 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?



.

i←1 S←0 While i<8 i←i + 3 S←2? i + S End While Print S END 第 6 题图

答案:8 8.若一个圆锥的底面半径为 1 ,侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥的体积为 答案:



.

3? 3

9.若函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

)(? ? 0) 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为
▲ .

? ( x0 ,0) 成中心对称, x0 ? [0, ] ,则 x0 ? 2 5? 答案: 12

? ,且该函数图象关于点 2

10.若实数 x, y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1,则 答案:4

x2 ? y 2 的最小值为 x? y



.

江苏省南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案 第 1 页(共 12 页)

11.设向量 a ? (sin 2? , cos ? ) , b ? (cos ? ,1) ,则“ a//b ”是“ tan ? ? 分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案:必要不充分

1 ”成立的 2



条件 (选填“充

12.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0) 交于 A, B 两点, O 为坐标原 点,若圆上一点 C 满足 OC ? 答案: 10
2 3 5 3 9 ?5 ? 25 2 解读:方法 1: (平面向量数量积入手) OC ? ? OA ? OB ? ? OA ? 2 ? OA ? OB ? OB , 4 4 4 16 ?4 ? 16 25 2 15 2 9 3 2 r + r cos ?AOB ? r 2 ,整理化简得: cos ?AOB ? ? ,过点 O 作 AB 的垂线交 AB 即: r ? 16 8 16 5 3 1 2 ?A O B? 2 c2o s ?AOD ? ? 1 ?, 得 c o s ?A O D? , 又 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 于 D ,则 cos 5 5 2 1 OD 2 2 OD ? ? 2 ,所以 cos2 ?AOD ? ? 2 ? 2 ,所以 r 2 ? 10 , r ? 10 . 5 r r 2 5 3 方法 2: ( 平 面 向 量 坐 标 化 入 手 ) 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x, y ? , 由 OC ? OA ? OB 得 4 4 5 3 5 3 x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , 4 4 4 4 2 2

5 3 OA ? OB ,则 r ? 4 4



.

3 ? ?5 3 ? 25 2 25 2 15 25 25 15 ?5 则 x ? y ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? x1 ? y1 ? x1 y1 ? x22 ? y22 ? x2 y2 4 ? ?4 4 ? 16 16 8 16 16 8 ?4 25 2 25 2 15 2 r ? r ? ? x1 y1 ? x2 y2 ? ,联立直线 y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 的方程, 由题意得, r ? 16 16 8 由韦达定理可解得: r ? 10 . 5 3 1 5 3 方法 3: (平面向量共线定理入手)由 OC ? OA ? OB 得 OC ? OA ? OB ,设 OC 与 AB 交于点 4 4 2 8 8 4 M ,则 A、M 、B 三点共线。由 ?AMO 与 ?BMO 互补结合余弦定理可求得 AB = r ,过点 O 作 AB 5
2 2

2

2

2 2 ? 2 ? ? 2 ,得 ? 的垂线交 AB 于 D , 根据圆心到直线的距离为 OD ? r ? ? 2 ? r 2 ,解得 r 2 ? 10 , 2 ? 5 ? r ? 10 . 3 4 讨论时,有老师提出将题中的向量等式改为 OC ? OA ? OB ,这样可降低运算量,但因为此题已是第 5 5

2

? ?

12 题,故未采纳。

2 ], f ( x ) 13 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [? 2 , 2 上] 的 奇 函 数 , 当 x ? ( 0 , 时 ?

g ( x)?

2

2 ? , 1函 数 如果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 m 的取值 x? 2 x ?. m
x

范围是 ▲ 答案: [?5, ?2]

.

x 解 读 : 初 稿 是 : 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [? 2, 2]上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? [ 0, 2] 时 , f ( x ) ? 2 ? 1, 函 数

,且对 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 f ( x2 ) ? g ( x1 ) ,则实数 a 的取值 g ( x) ? a2 x2 ? 2 a2 x? 2 a 3 1 范围是 ▲ . 答案: [? , ] 4 2
江苏省南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案 第 2 页(共 12 页)

讨论时,有老师提出该题的运算量偏大,且 g ( x) ? a2 x2 ? 2a2 x ? 2a 这个函数不美观,且两个不等式 有一个解在求交集时未起到作用,所以换成了 g ( x) ? x2 ? 2 x ? m ,并将题意作了相应修改。 14. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,a2 ? a1 , 若数列 ?a2n?1? 单调递减, 数列 ?a2 n ? | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) , 单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ▲ .

? ?2n ? 1 , n为奇数 ? ( ?2) n ? 1 ? 3 答案: ( 说明:本答案也可以写成 ? ) n 3 2 ? 1 ? , n为偶数 ? ? 3
解读: | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) 这种模型 2011 年的北京卷用过, 2014 年的湖南卷上又用了。 方法一: 先采用列举法得 a1 ? ?1, a2 ? 1, a3 ? ?3, a4 ? 5, a5 ? ?11, a4 ? 21, ??? ,然后从数字的变化上找规
n 律,得 an?1 ? an ? (?1)n?1 2 ,再利用累加法即可;

方法二:因为 a2n?1 ? a2n ? ?22n , a2n ? a2n?1 ? ?22n?1 ,所以两式相加,得 a2n?1 ? a2n?1 ? ?22n ? 22n?1 , 而 ?a2n?1? 递减, 所以 a2n?1 ? a2n?1 ? 0 , 故 a2n? a 1 ?2
n

同理, 由 ?a2 n ? 递增, 得 a2n ? a2n?1 ? 22n?1 ; ? ?22n ;

n 又 a2 ? a1 ,所以 an?1 ? an ? (?1)n?1 2 ,以下同上。

初稿是:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) ,若数列 ?a2n?1? 单调递减,

数列 ?a2 n ? 单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ?



1, n ?1 ? ? .答案: ? (?2) n ? 7 , n?2 ? 3 ?

讨论时,有老师提出这样太为难学生了,得分率会很低,所以又作了修改,从而造成了本题的不足是 与 2014 年的湖南卷的相似度偏大。 二、解答题: 15.在平面直角坐标系 xOy 中,设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点 P( x1 , y1 ) , 将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 (1)求函数 f (? ) 的值域; 若 f (C) ? 2 ,且 a ?

? 后与单位圆交于点 Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . 2
y Q α O P x

(2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

2 , c ? 1 ,求 b . ? 解: (1)由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? ) ? cos ? , ………4 分 2 ? 所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) , ………………6 分 4 ? ? ? 3? ) ,故 f (? ) ? (1, 2] . 因为 ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? ( , 2 4 4 4

第 15 题图

………………8 分

江苏省南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案 第 3 页(共 12 页)

(2)因为 f (C ) ?

2 sin( ? C ) ? 2 ,又 C ? (0, ) ,所以 C ? , 4 2 4
2 2 2

?

?

?

………………10 分

2 在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 1 ? 2 ? b ? 2 2 ?

2 b, 2

解得 b ? 1 . ………………14 分 (说明:第(2)小题用正弦定理处理的,类似给分) 解读:选择此题背景的意图是引导老师们要强化概念的教学,不能整天只是让学生做题。 初稿是:在平面直角坐标系 xOy 中,设角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合, y 5? 终边与单位圆交于点 A( x1 , y1 ) ,将射线 OA 按顺时针方向旋转 后与单位 圆交于点 B( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? x1 ? y2 ,其中角 ? 为锐角. (1)求函数 f (? ) 的值域; (2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 若 f (C ) ? 0 ,且 a ? 3 , c ? 1 ,求 b . 答案: (1)由题意,得 x1 ? cos ? , y2 ? sin(? ? 所以 f (? ) ? cos ? ? sin(? ?

6

O B

α

A x

第 15 题图 ………………2 分

5? ), 6

? 5? 1 3 ) ? cos ? ? sin ? = cos(? ? ) , 3 6 2 2

………………6 分

因为 ? ? (0,

?
2

) ,所以 ? ?

?

? 5? 3 1 ? ( , ) ,故 f (? ) ? (? , ). 3 3 6 2 2
?
?

………………8 分 ………………10 分

(2)因为 f (C ) ? cos(

?

? C ) ? 0 ,又 C ? (0, ) ,所以 C ? , 3 2 6
2 2 2

2 在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 1 ? 3 ? b ? 2 3 ?

3 b, 2

解得 b ? 1 或 b ? 2 . 讨论时,有老师提出作为第 15 题,该题的运算量偏大,而且第(2)小题还有两个结果,得分率会偏 低。 D1 16.(本小题满分 14 分) C1 O , E 如图,在正方体 ABCD ? A 中, 分别为 的中点 . B C D B D , AB 1 1 1 1 1 (1)求证: OE // 平面 BCC1B1 ; (2)求证:平面 B1DC ? 平面 B1DE . 证明(1) :连接 BC1 ,设 BC1
A1 O D C E B B1

B1C ? F ,连接 OF , ………2 分

1 因为 O,F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,所以 OF // DC ,且 OF ? DC , A 2 1 又 E 为 AB 中点,所以 EB // DC ,且 EB ? DC , 2 从而 OF // EB, OF ? EB ,即四边形 OEBF 是平行四边形, 所以 OE // BF , ……………6 分 A1 又 OE ? 面 BCC1B1 , BF ? 面 BCC1B1 , 所以 OE // 面 BCC1B1 . ……………8 分
(2)因为 DC ? 面 BCC1B1 , BC1 ? 面 BCC1B1 ,

第 16 题图

D1 B1 O D F

C1

C

A 江苏省南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案 第 4 页(共 12E 页) B

所以 BC1 ? DC , 又 BC1 ? B1C ,且 DC, B1C ? 面 B1DC , DC 所以 BC1 ? 面 B1DC ,…………12 分

………… 10 分

D1 A1 B1

C1

B1C ? C ,

而 BC1 // OE ,所以 OE ? 面 B1DC ,又 OE ? 面 B1DE , 所以面 B1DC ? 面 B1DE . ………14 分 D A B E 第 16 题图

E 为 AB 的中点. 解读:初稿是:如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)求证: BC1 // 面 B1DE ; (2)求证:面 B1DC ? 面 B1DE . 讨论时,有老师提出第(1)小题偏难了,所以作了修改 17.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

C

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线 a 2 b2 方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的
直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离为

y B l O

2 5 . 5

·
F P

A

x

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点共线时,试确定直线 l 的斜率. 解: (1)由题意知,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? a) ,即 2 x ? y ? 2a ? 0 ,

第 17 题图

……………2 分

2 5 ,? a ? c ? 1 , ……………4 分 5 5 a2 a2 2 ? 4 ,所以 c ? 又椭圆 C 的右准线为 x ? 4 ,即 ,将此代入上式解得 a ? 2, c ? 1 ,? b ? 3 , c 4 2 2 x y ? 1; ……………6 分 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3 (2)由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) , ……………8 分 8 ? ? y ? ? 3( x ? 1) x? ? ? 8 3 3 5 ? ?x ? 0 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ,解得 ? 或? (舍) ,即 P ( , ? ) , …………12 分 5 5 ?1 ?y ? 3 ? ? ?y ? 3 3 ? 3 ?4 ? 5 ?

? 右焦点 F 到直线 l 的距离为

2c ? 2a

?

? 直线 l 的斜率 k ?
其他方法:

0 ? (?

3 3 ) 5 ?3 3. 8 2 2? 5

……………14 分

方法二: 由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) ,由题 A(2, 0) ,显然

? 2k ? 3 ?x ? ? k? 3 ? ? y ? ? 3( x ? 1) 直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立方程组 ? ,解得 ? , ? ? y ? k ( x ? 2) ? y ? ? 3k ? k? 3 ?
代入椭圆解得:k ?

3 3 3 3 3 ? 3k 或k ? ? , 又由题意知,y ? 所以 k ? . ? 0 得k ? 0或k ? ? 3, 2 2 2 k? 3

江苏省南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案 第 5 页(共 12 页)

方 法 三: 由 题 A(2, 0) , 显 然直线 l 的 斜率 存 在, 设 直线 l 的 方 程为 y ? k ( x ? 2) , 联 立 方程 组

? y ? k ( x ? 2) 16k 2 ? 2 2 2 2 2 2 4 k ? 3 x ? 16 k x ? 16 k ? 12 ? 0 x ? x ? ,得 , , ? ? ?x y A P 4k 2 ? 3 ?1 ? ? ?4 3 ?12k 16k 2 8k 2 ? 6 ? 2 ? 所以 xP ? , yP ? ,当 B, F , P 三点共线时有, kBP ? kBF , 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?12k ? 3 2 3 3 3 ? 3 ? 3k 即 4k ?23 ,解得 k ? 或k ?? , 又 由 题意知 , y ? ? ?0 得k ?0 或 8k ? 6 2 2 1 k? 3 4k 2 ? 3 3 3 . k ? ? 3 ,所以 k ? 2 x2 y 2 解读: 初稿是: 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b y 的右准线 l : x ? 4 与 x 轴交于点 H , 动直线 m 过椭圆 C 的右顶点 A , M 且与 l 相交于点 M ,设点 M 的纵坐标 t ? ? AH(? ? 0) ,其中当

? ? 2 时,椭圆的右焦点 F 到直线 m 的距离为

· O F A H x (1)求椭圆 C 的标准方程; P (2)设椭圆 C 的上顶点为 B ,右焦点为 F ,直线 m 与椭圆 C 相交 于点 P ,当 P, F , B 三点共线时,试确定 ? 的值. 第 17 题图 答案同上。 讨论时,有老师认为,虽然此题没有科学性错误,但题目的条件比较 别扭,会不会引起学生的疑问,即做第(2)小题时,用不用第(1)小题得到的椭圆方程?所以,后来把 题目作了修改,使得题意更加简洁明了。此时的不足是第(2)小题的运算量偏小些,学生可避免字母运 算。 18.某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其 y 设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲 B 线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其 中 E (0, t ) ( 0 ? t ? 25 ,单位:米) ;曲线

2 5 . 5

B

m

l

BC 是 抛 物 线 y ? ?ax2 ? 50(a ? 0) 的 一 部分;CD ? AD , 且 CD 恰好等于圆 E 的 半径. 假定拟建体育馆的高 OB ? 50 米. (1) 若要求 CD ? 30 米,AD ? 24 5 米,

·E
F A 第 18 题-甲 O 第 18 题-乙

C

D

x

求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 a ?

1 ,求 AD 的最大值. 25

(参考公式:若 f ( x) ?

a ? x ,则 f ?( x) ? ?
2 2

1 ) 2 a?x
…………… 2 分
2

解: (1)因为 CD ? 50 ? t ? 30 ,解得 t ? 20 . 此时圆 E : x ? ( y ? 20) ? 30 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 5 ,
2

所以 OD ? AD ? AO ? 24 5 ? 10 5 ? 14 5 ,将点 C (14 5,30) 代入 y ? ?ax ? 50(a ? 0) 中, 解得 a ?

1 . 49

………… 4 分

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(2)因为圆 E 的半径为 50 ? t ,所以 CD ? 50 ? t ,在 y ? ?ax2 ? 50 中令 y ? 50 ? t ,得 OD ? 则由题意知 FD ? 50 ? t ?

t , a

t ………… 8 分 ? 75 对 t ? (0, 25] 恒成立, a 25 25 1 25 所以 恒成立,而当 t ? ,即 t ? 25 时, t ? 取最小值 10, ? t? a t t t 1 1 故 . ………… 10 分 ? 10 ,解得 a ? 100 a 1 (3)当 a ? 时,OD ? 5 t ,又圆 E 的方程为 x2 ? ( y ? t )2 ? (50 ? t )2 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?10 25 ? t , 25 所以 AO ? 10 25 ? t , 从而 AD ? f (t ) ? 10 25 ? t ? 5 t (0 ? t ? 25) , ………… 12 分

2 1 5( 25 ? t ? 2 t ) ,令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? 5 , ………… 14 分 ? )? 25 ? t t 25 ? t ? t 当 t ? (0,5) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增; 当 t ? (5, 25) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递减, 从而当 t ? 5
又因为 f ?(t ) ? 5(? 时, f (t ) 取最大值为 25 5 . 答:当 t ? 5 米时, AD 的最大值为 25 5 米. …………16 分 (说明:本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决,类似给分) 解读:此题取材于射阳中学新建体育馆的模型,是一道原创题,初稿中只有( 2) (3)两小题,讨论中有 老师认为此题的起点偏高,还要给中等偏下的学生送点分,所以又设计了第(1)小题。 (3)方法二:令 t ? 25cos ? , ? ? [0,
2

?

2

) ,则 AD ? 10 25 ? t ? 5 t ? 10 ? 5sin ? ? 5 ? 5cos ?
1 , 2

? 10 ? 5sin ? ? 5 ? 5cos ? ? 25 5 sin(? ? ? ) ,其中 ? 是锐角,且 tan ? ?
从而当 ? ? ? ?

时, AD 取得最大值为 25 5 米. 2 方 法 三 : 令 x ? 25 ? t , y ? t , 则 题 意 相 当 于 : 已 知 x2 ? y 2 ? 25( x ? 0, y ? 0) , 求 z ? A D?5 ?( 2 x ? 的最大值 y ) .
2 2 根据线性规划知识,当直线 y ? ?2 x ? z 与圆弧 x ? y ? 25( x ? 0, y ? 0) 相切时, z 取得最大值为

?

25 5 米.

19.设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1a5 ? 64 , S5 ? S3 ? 48 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证:“ m ? k ? 1且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三项经适当排 (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? 序后能构成等差数列”成立的充要条件;

? anb1

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? 的取值范围. ? an ? 2 解: (1) 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,
S5 ? S3 ? 48 ,?a4 ? a5 ? 8q2 ? 8q ? 48 ,? q ? 2 ,? an ? 8 ? 2n?3 ? 2n ; ………… 4 分 (2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,

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m ? k ?1 ? ?1 ?m ? k ? 1 ?2 ? ? l ? k ?1 , ?? . ………… 6 分 ?4 ? ?l ? k ? 3 ?2 ②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ? 2m ? 5 ? 2k ? 2l ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,等式不成立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, …………8 分 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1, l ? k ? 3 , 则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1, ak ?3 ,即 5ak , 2ak ,8ak ,调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等差数列,

所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? 即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ?
1 2 3

…………10 分

? anb1 ? 3 ? 2

n?1

? 4n ? 6 ,

? 2 b1 ? 3? 2
n
2 3

n?1

? 4n ? 6 , (*)
4

? 当 n ? 2 时, 21bn?1 ? 22 bn?2 ? 23 bn?3 ?

? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)

? 2n b1 ? 3 ? 2n?1 ? 8n ? 4 , (***) ? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ?
2 又当 n ? 1 时, 2b1 ? 3 ? 2 ?10 ? 2 ,即 b1 ? 1 ,适合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,?bn ? 2n ? 1 .………14 分

?

bn 2n ? 1 b b 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an an?1 2 2 2n an 2 bn bn?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? a2 a1 an an?1
? n ? 3 时,


bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ?

b1 1 b2 3 b3 5 b4 7 7 1 ? , ? , ? , ? ,? ? ? ? . ……………16 分 a1 2 a2 4 a3 8 a4 16 16 2 解读:第(2)小题本来是探求“ 5ak , am , al ”这三项能否构成等差数列的,但考虑到学生的答案可能有多种
形式,所以将它改成了充要条件的证明题。 本题的初稿是:设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若存在实数 ? ? (1, ??) ,使得

1

?

an ? an?1 ? ? an 与

1

(1)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? r ( r 是不为 0 的常数) ,试判断 ?an ? 是否是“可控”数列,并说 (2)已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,若当 ? ? 4 时, ?an ? 是“可控”数列,求公比 q 的取值范围; (3)已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,若 ?an ? 是“可控”数列,求 ? 的取值范围. 讨论时,大家认为此题的形式很美,但题目较难,特别是第(3)小题超难,而且考查的知识与江苏 高考不太吻合,所以只能忍痛不用。 正整数 n ,都有 a1b1 ? a2b2 ? 明理由;

?

S n ? S n ?1 ? ? S n 对任意 n ? N * 都成立,则称 ?an ? 是“可控”数列.

第二稿是:设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, a2 ? 4 , a1a4 ? 32 ,数列 ?bn ? 满足:对任意的 (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;

? anbn ? ? n ?1? ? 2n?1 ? 2 .

(2)若集合 M ? ? n

(3) 将数列 ?an ? 与 ?bn ? 按 a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 ,

? bn bn ?1 ? ? ? , n ? N * ? 中元素的个数为 4,试求实数 ? 的取值范围; an ? ?

, an , bn ,

的顺序排好后, 再删去其中小于 2015 的项,

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剩下的项按原来的顺序构成一个新数列 ?cn ? ,试求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 更换后,第(1) (2)问还不错,第(3)小题也有创意,但第(3)小题的运算太繁琐,批阅起来麻 烦,所以临时又换成了一道现在这个较为常规的题目。 20.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? mx ? n . (1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ① 若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值; ② 当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围;

1 nx ? ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . f ( x) g ( x) 解: (1)由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e x ? mx ? n)? ? e x ? m , 所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m , ……………2 分 又 h(0) ? 1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , 将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2 . …………… 4 分 1 x x x (2)方法一:当 n ? 0 ,可得 h?( x) ? (e ? mx)? ? e ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 e ? , e 1 ①当 m ? 时, h?( x) ? e x ? m ? 0 ,函数 h( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 h(0) ? 1 , e 1 1 1 1 所以只需 h( ?1) ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? ,从而 ? ? m ? . ……………6 分 e e e e 1 x ②当 m ? 时,由 h?( x) ? e ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ??) , e 当 x ? (?1,ln m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以函数 h( x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? m ln m , 1 令 m ? m ln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以 ? m ? e . e 1 综上所述, m ? [? , e) . ……………10 分 e x 方法二:当 n ? 0 , e ? mx ①当 x ? 0 时,显然不成立; x ex ex e x x ? e x e ? x ? 1? ? ②当 x ? ?1 且 x ? 0 时,m ? , 令y? , 则 y? ? , 当 ?1 ? x ? 0 时,y? ? 0 , x x x2 x2 ex ex ex 函数 y ? 单调递减, 0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减,当 x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单 x x x 1 1 调递增,又 y x ??1 ? ? , y x?1 ? e ,由题意知 m ? [? , e) . e e n x 1 nx 1 1 4x m (3)由题意, r ( x) ? , ? ? x? ? x? n f ( x) g ( x) e e x?4 x? m 1 4x ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 , 而 r ( x) ? x ? e x?4 x 令 F ( x) ? e (3x ? 4) ? x ? 4 , ……………12 分 x 则 F (0) ? 0 ,且 F ?( x) ? e (3x ?1) ? 1 , F ?(0) ? 0 , x 令 G( x) ? F ?( x) ,则 G?( x) ? e (3x ? 2) ,
(2)设函数 r ( x) ?
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因 x ? 0 , 所以 G?( x) ? 0 , 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 , 从而函数 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,即 F ( x) ? F (0) ? 0 .

……………14 分 ……………16 分 ).

解读:此题的初稿是:已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? mx ? n(其中 e 为自然对数的底数,e ? 2.71828 (1)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 mn 的最大值; (2)当 n ? 0 时,若函数 y ?

1 在 (?1, ??) 总有意义,求 m 的取值范围; f ( x) ? g ( x) m 1 nx ? (3)设 m ? 0 , n ? 0 ,若函数 y ? 在区间 [0, ??) 上的最小值为 1,求 的最大值. n f ( x) g ( x) m 1 nx 1 x ?0, 解答: (3)由题意, r ( x) ? ,令 t ? ? ? x? m n f ( x) g ( x ) e x ?1 n 1 x 则 r ( x) ? x ? ,因 r (0) ? 1 ,所以题意等价于 r ( x) ? 1 对 x ? (0, ??) 上恒成立, ………12 分 e tx ? 1 1 x ? 1 等价于 ex [(t ?1) x ? 1] ? tx ?1 ? 0 , 而 r ( x) ? x ? e tx ? 1 x 令 F ( x) ? e [(t ? 1) x ? 1] ? tx ? 1,则 F (0) ? 0 ,所以存在 x0 ? 0 ,使得函数 F ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递
减,即导数 F ?( x) ? e x [(t ?1) x ? t ] ? t ? 0 在 (0, x0 ) 上恒成立,而 F ?(0) ? 0 ,所以存在 x1 ? (0, x0 ) , 导数 F ?( x) 在 (0, x1 ) 上单调递减. 令 G( x) ? F ?( x) ,即导数 G?( x) ? 0 在 (0, x1 ) 上恒成立,又可求得 G?( x) ? ex [(t ?1) x ? 2t ?1] ,由

G?(0) ? 0,解得 t ?
反过来,当 t ?

1 , 2

……………14 分

1 时, G?( x) ? 0 在 [0, ??) 上恒成立,所以导数 F ?( x) 在 (0, ??) 上单调递减,即导数 2 F ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,即函数 F ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,即最大值 F (0) ? 0 . m 1 综上所述, 的最大值为 . ……………16 分 2 n
讨论时将第(1) (2)小问作了合并,使得题目更简洁些,但大家都对第(3)小问提出了异议,原因 是平时学习的常规方法都行不通,这样不仅会成为一道废题,而且还会误导学生,所以又将它改为上述的 常规题。

附加题
21. A、 (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知点 P 为 Rt ?ABC 的斜边 AB 的延长线上一点,且 PC 与 Rt ?ABC 的外接圆相切,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D ,若 PA ? 18 , PC ? 6 ,求线段 CD 的长. 解:由切割线定理,得 PC ? PA ? PB ,解得 PB ? 2 , 所以 AB ? 16 ,即 Rt ?ABC 的外接圆半径 r ? 8 ,……5 分 记 Rt ?ABC 外接圆的圆心为 O ,连 OC ,则 OC ? PC , 在 Rt ?POC 中 , 由 面 积 法 得 OC ? PC ? PO ? CD , 解 得 24 CD ? . ………………10 分 5
2

C

A

D

B P

第 21-A 题图

B、 (选修 4—2:矩阵与变换)

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? 2 2? ? ? ? 2 2 ? 的变换下所得曲线的方程. 求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M ? ? ? 2 2? ? ? ? 2 2 ? 解:设 P( x, y) 是所求曲线上的任一点,它在已知直线上的对应点为 Q( x?, y?) , ? ? ? 则? ? ? ? ? 2 2 2 x? ? y? ? x ( x ? y) ? x? ? ? 2 2 2 ,解得 ? , 2 2 2 ? x? ? y? ? y y? ? ( y ? x) ? 2 2 ? 2 2 2 代入 x? ? y? ? 1 ? 0 中,得 ( x ? y) ? ( y ? x) ? 1 ? 0 , 2 2 2 化简可得所求曲线方程为 x ? . 2
C、 (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,求圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 2 ? sin(? ?

………………5 分

………………10 分

) ? 1 的距离. 3 2 2 解:将圆 ? ? 2cos ? 化为普通方程为 x ? y ? 2 x ? 0 ,圆心为 (1, 0) ,

?

………………4 分

1 3 ) ? 1 ,即 2 ? ( sin ? ? cos ? ) ? 1 , 3 2 2 所以直线的普通方程为 3x ? y ?1 ? 0 ,
又 2 ? sin(? ? 故所求的圆心到直线的距离 d ? D、解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 4 . 解:当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,解得 ?

?

………………8 分 ………………10 分

3 ?1 . 2

3 ? x ? ?1 ; 2 当 ?1 ? x ? 2 时,不等式化为 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,解得 ?1 ? x ? 2 ; 5 当 x ? 2 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,解得 2 ? x ? ; 2 3 5 所以原不等式的解集为 ( ? , ) . 2 2

………………3 分 ………………6 分 ………………9 分 ………………10 分
A1 C1

22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , 动点 P 满足 CP ? ?CC1 (? ? 0) ,当 ? ? (1)求棱 CC1 的长;

1 时, AB1 ? BP . 2

B1

P

? ,求 ? 的值. 3 解: (1)以点 A 为坐标原点, AB, AC, AA1 分别为 x, y, z 轴,
(2)若二面角 B1 ? AB ? P 的大小为 建立空间直角坐标系, 设 CC1 ? m ,则 B1 (3,0, m) , B(3, 0, 0) , P(0, 4, ? m) , 所以 AB1 ? (3,0, m) , PB ? (3, ?4, ??m) , AB ? (3,0,0) , 当? ?

A

C

B 第 22 题图

………………2 分

1 1 时,有 AB1 ? PB ? (3, 0, m) ? (3, ?4, ? m) ? 0 2 2

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解得 m ? 3 2 ,即棱 CC1 的长为 3 2 . (2)设平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 则由 ?

………………4 分

? ? AB?n1 ? 0 ? ? PB?n1 ? 0

,得 ?

? ? ?3x ? 0 ?x ? 0 ,即 ? , ? ? ?3x ? 4 y ? 3 2? z ? 0 ?4 y ? 3 2? z ? 0

3 2? 3 2? ,所以平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? (0, ? ,1) ,………………6 分 4 4 又平面 ABB1 与 y 轴垂直,所以平面 ABB1 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) , ? 因二面角 B1 ? AB ? P 的平面角的大小为 , 3
令 z ? 1 ,则 y ? ?

3 2? 1 2 6 4 所以 cos n1 , n2 ? ? ,结合 ? ? 0 ,解得 ? ? . ………………10 分 2 9 3 2? 2 ( ) ?1 4 23.设集合 S ? ?1,2,3,L , n? (n ? N * , n ? 2) , A, B 是 S 的两个非空子集,且满足集合 A 中的最大数小于 ?
集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对 ( A, B) 的个数为 P n. 解: (1)当 n ? 2 时,即 S ? ?1,2? ,此时 A ? ?1? , B ? ?2? ,所以 P 2 ?1, 若 A ? ?2? 或 A ? ?1,2? ,则 B ? ?3? ;所以 P 3 ? 5. (2)当集合 A 中的最大元素为“ k ”时,集合 A 的其余元素可在 1, 2, 所以集合 A 共有 C
0 k ?1

(1)求 P2 , P 3 的值; (2)求 P n 的表达式.

………………2 分

当 n ? 3 时,即 S ? ?1,2,3? ,若 A ? ?1? ,则 B ? ?2? ,或 B ? ?3? ,或 B ? ?2,3? ; ………………4 分

, k ? 1 中任取若干个(包含不取) ,

………………6 分 ? C ? ? C ? 2 种情况, 此时,集合 B 的元素只能在 k ? 1, k ? 2, , n 中任取若干个(至少取 1 个) ,所以集合 B 共有 1 2 3 n ?k n ?k Cn ? Cn ?1 种情况, ?k ? Cn?k ? Cn?k ? ?k ? 2 所以,当集合 A 中的最大元素为“ k ”时, k ?1 n ?k n ?1 k ?1 集合对 ( A, B) 共有 2 (2 ?1) ? 2 ? 2 对, ………………8 分 当 k 依次取 1, 2,3, , n ? 1 时,可分别得到集合对 ( A, B) 的个数, n?1 求和可得 P ………………10 分 ? (20 ? 21 ? 22 ? L ? 2n?2 ) ? (n ? 2) ? 2n?1 ?1 . n ? (n ?1) ? 2
1 k ?1 2 k ?1

?C

k ?1 k ?1

k ?1

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