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2.3等差数列的前n项的和(第2课时)2012.5.13


第二课时

复习回顾: 复习回顾:

a ? 1. n
?

= a1 + (n ?1)d = am + (n ? m)d

an ? a1 an ? am d = 2. = n ?1 n?m

?

n(a1 + an ) n(n ?1) S = na1 + d 3. n = 2 2

在 a1 , d , n, an , S n 中,知三可以求二.

若数列{a 的前 项和s 的前n项和 例1 (1) 若数列 n}的前 项和 n=-2n2+n, , {an}是否为等差数列?若是,给予证明, 是否为等差数列? 是否为等差数列 若是,给予证明, 若不是,说明理由。 若不是,说明理由。 (2) 数列 n}的前 项和 n=-2n2+n+1, 数列{a 的前 项和S 的前n项和 , 数列{a 是否为等差数列 若是, 是否为等差数列? 数列 n}是否为等差数列?若是,给予证 若不是, 明;若不是,说明理由。 若不是 说明理由。

项和公式的结构特点: 一.前n项和公式的结构特点 前 项和公式的结构特点 n(n ?1) d 2 d ? (1) Sn = na + d = n +(a1 ? )n 1 2 2 2
? (2)

Sn = An + Bn
2

(A,B为常数 为常数) 为常数

的第4项到第 例2:求等差数列 10、7、4……的第 项到第 : 、 、 的第 10项的和。 项的和。 项的和
分析:方法 : 分析:方法1: a4 = a1+3d = 10+3 (-3) = 1


a10=a1+9d=10+9 (-3) = -17 7(a 4 + a10 ) a 4 + a 5 + ...... + a10 = = -56 2
3(a1 + a 3 ) 方法2: 方法 :S 3 = 2
10(a1 + a10 ) S10 = 2

途 同 归 , 数 列 的 灵 活 性

a 4 + a 5 + ...... + a10 = S10 - S 3
方法3: 方法 :a4+a10 = a5+a9 = …… = 2a7
7(a 4 + a 10 ) 7 × 2a 7 a 4 + a 5 + ...... + a 10 = = = 7a 7 2 2

二、选用中项求等差数列的前n项之和 选用中项求等差数列的前n
1、项数为偶数求和: 、项数为偶数求和:

S 2n

即项数为偶数时S等于项数的一半与最中间两项和 即项数为偶数时 等于项数的一半与最中间两项和 的乘积 2、项数为奇数求和: 项数为奇数求和: (2n + 1)(a 1 + a 2n+1 ) = 2n + 1 a n+1 S 2n+1 = 2

2n(a 1 + a 2n ) = 2

= n(a n + a n+1 )

(

)

即项数为偶数时S等于项数与最中间项的乘积 即项数为偶数时 等于项数与最中间项的乘积 说明: 说明:利用中项求和是解有关等差数列求和 问题的常用技巧之一,必须掌握 掌握. 问题的常用技巧之一,必须掌握

例3 :
90, 1、等差数列 {a n } 中S15 = 90,则a 8等于 C (A)3 (B)5 (C)6(D)12
公差d d, 2、等差数列 {a n } 中,公差d ≠ 0, a 1 ≠ d, 若此数列 20项之和为 项之和为S 10m 则式中的m 前20项之和为S 20 = 10m, 则式中的m的值为 ( A) a 3 + a 5 (C)a 20 + d (B)a 2 + 2a 10 (D)a 12 + a 9

D

三、关于等差数列奇数项的和与偶数项的和的问题
1、若项数为偶数2n (n∈N+ ) ,则 、若项数为偶数 ∈

S 偶 - S奇 = nd
2、若项数为奇数2n+1(n∈N+),则 、若项数为奇数 ( ∈ ),则

S奇-S偶=an+1
且 S奇 S偶 n+1 = n

例4:
设等差数列共有2 所有奇数项之和为132 132, 1. 设等差数列共有2n + 1项,所有奇数项之和为132, 所有偶数项之和为120, 所有偶数项之和为120,则n等于 120 (B ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)不能确定

1 的公差d 145, 2. 等差数列 {a n } 的公差d = , S100 = 145, 2 的值. 60 求a 1 + a 3 + a 5 + ? ? ? + a 99的值. _____

法 一 、 a 2 + a 4 + ?. ? ? + a 100 ∵

∴ ( a 1 + a 3 + ? ? ? + a 99 + 50d ) +

= a 1 + a 3 + ? ? ? + a 99 + 50d + a 3 + ? ? ? + a 99 ) = 145 ? 1? ? 145 - 50 × ? = 60 2? ?

(a

1

∴ a 1 + a 3 + ? ? ? + a 99 1 = 2

法二、 法二、 S奇 = a1+a3+a5+……+a99 S偶 = a2+a4+a6+……+a100 S奇+ S偶 = S100 = 145 (1) S偶 -S奇 = nd =25 ) S奇= 60 (2)

100 × (100 ? 1) 1 法三、 法三、 S100 = 100a1 + × = 145 2 2 ∴ a1 = ?23.3 a1 , a 3 .......a99是以 ? 23.3为首项, 为首项, 公差为1的等差数列 50 × 49 ∴ S = ?23.3 × 50 + × 1 = 60 2

练习: 练习:
一个等差数列的前12项之和为 一个等差数列的前 项之和为354,前12项中偶 项之和为 , 项中偶 数项与奇数项之比为32 数项与奇数项之比为 :27,求公差。 ,

四、等差数列中的有关最值问题
例5:在等差数列 n}中,a1=13,S3=S11, :在等差数列{a 中 , 的最大值。 求Sn的最大值。

法一、 ∵ 法一 、 S 3 = S 11 ∴ a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 + a 10 + a 11 = 0 ∴ 4 ( a 7 + a 8 ) = 0, 故 a 7 + a 8 = 0 ∴ a 7, a 8必是一正一负 又 a 1 = 13 > 0, 所以 a 7 > 0, a 8 < 0 所以a 前 项的和最大. ∴ 7项的和最大 . -2 ∵ a 7 + a 8 = a 1 + 6 d + a 1 + 7 d = 0 , 故 d = -2 ∴ S 7 = 7 × 13 +
7(7-1) 7( ) ?

又 ( a 4 + a 11) ( a 5 + a 10 ) + ( a 6 + a 9 ) + ( a 7 + a 8 ) +

2

× ( -2 ) = 49

的最大值为49 49. ∴ S n的最大值为 49.

法二: 法二: Q S 3 = S11 3( 3 ? 1) 11 × 10 d = 11a1 + d ∴ 3a1 + 2 2

Q a1 = 13 ∴ d = ?2

∴ a n = 13 + ( n ? 1)( ?2)


a n ≥ 0时,即13 + ( n ? 1)( ?2) ≥ 0
∴ n ≤ 7.5 又Q n ∈ N * ∴ n = 7 7 × (7 ? 1) S最大 = 7 × 13 + × ( ?2) = 49 2

法三: 法三: 由法二已得到 d= ? 2

n( n ? 1) × ( ?2) S n = 13n + 2 2 = ? n + 14n

= ?( n ? 7 ) + 49
2

∴ n = 7时,S最大 = 49

例6、 已知数列 n}是AP,首项是 1,公差是 : 、 已知数列{a 是 ,首项是a 公差是d: (1)取出数列中的所有奇数项,组成一个新 )取出数列中的所有奇数项, 的数列,这个数列是_________。如果是, 的数列,这个数列是等差数列 。如果是,它的首 项是_____,公差是______ 项是 a1 ,公差是 2d (2)取出数列中所有项数为 的倍数的各项, 取出数列中所有项数为7的倍数的各项 取出数列中所有项数为 的倍数的各项, 组成一个新的数列,这个数列是__________。 组成一个新的数列,这个数列是 等差数列 。如 果是,它的首项是________,公差是 公差是______ 果是,它的首项是 a1+6d 公差是 7d 小结:在一个等差数列中,若每隔 ( 小结:在一个等差数列中,若每隔k(k∈ N)项取 项取 出一项组成新的数列, 出一项组成新的数列,则这个新数列仍为等差数 其公差为原数列公差的( 列,其公差为原数列公差的(k+1)倍。 倍

例7、在等差数列 n}中,已知 n,S2n,S3n分别 、在等差数列{a 中 已知S 为该数列前n项 项的和, 为该数列前 项、前2n项、前3n项的和,求证: 项 项的和 求证: 也成等差数列。 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列。 分析: 分析: Sn = a1+a2+a3+a4+ …… +an 2(S2n-Sn) = 2(an+1+an+2+ ……. +a2n) S3n –S2n = a2n+1+a2n+2+ …… +a3n

因为 2(S2n-Sn) = Sn+ S3n-S2n 所以 Sn 、S2n-Sn 、S3n-S2n成等差数列

例8、在等差数列 {an} 中, S6=65, 、 , a7+a8+a9+a10+a11+a12= -15,则 , a13+a14+a15+a16+a17+a18=________ - 95

例9、若等差数列 {an}、{bn}的前 项和分别为 的前n项和分别为 、 、 的前 An、Bn,且
An 7n + 1 a11 ,则 = = Bn 4n + 27 b11

4 3

例10、在等差数列 n}中,a1= - 40 , 、在等差数列{a 中 a13= - 16,求|a1|+|a2|+|a3|+……|a40|的值。 , 的值。 的值
分析:通常求等差数列的部分和可以直接用求和公式, 分析:通常求等差数列的部分和可以直接用求和公式,但各项添加 了绝对值符号改变了原来数列的结构使之不能直接求和, 了绝对值符号改变了原来数列的结构使之不能直接求和,但是可以 转换为求两个等差数列的和 转换为求两个等差数列的和。

a13 ? a1 =2 设等差数列的公差为d, 解:设等差数列的公差为 ,由题意可得 d = 13 ? 1

Q a n = a1 + ( n ? 1)d = 2n ? 42

∴ n = 21时,a 21 = 0, a 20 = ?2, a40 = 38 ∴ a1 + a 2 + a 3 + ....... + a40 = 800

练习: 练习:
1、已知数列{an}的前 项和为 n=12n-n2,求数 、已知数列 的前n项和为 的前 项和为S 的前n项和 列{|an|}的前 项和 n. 的前 项和T 2、设等差数列的前n项和为 n,已知 3=12, 、设等差数列的前 项和为 项和为S 已知a , S12>0,S13<0, , 的范围, (1)求公差 的范围, )求公差d的范围
S1 S2 Sn 中哪个最大?并说明理由。 (2)指出 a , a ,LL , a 中哪个最大?并说明理由。 ) 1 2 n


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