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数学教学课件-6中考复习课件


中考复习备考

一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系
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一、 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2

? bx ? c ? 0?a ? 0?根的判式是:

? b ? 4ac
2

一元二次方程
判别式的情况

ax ? bx ? c ? 0?a ? 0?
2

根的情况

定理与逆定理

? b 2 ? 4ac ? 0 两个不相等实根 ? b 2 ? 4ac ? 0 两个相等实根 ? b 2 ? 4ac ? 0 无实根(无解)

?0 ?0 ?0

两不相等实根 两相等实根 无实根

二.一元二次方程的根与系数的关系 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 如果一元二次方程 的两个根是 x1 , x 2 ,那么,

b x1 ? x 2 ? ? a

c x1 x 2 ? a

【例1】证明方程根的情况

? (m ? 2) 2 ? 4 证明:? ? ?? ?m ? 2?? ? 4?2m ? 1? ? m ? 4m ? 8 2 无论m取任何实数都有:m ? 2? ? 4 ? 0 ?
2 2

求证:关于x的方程: x ? m ? 2 x ? 2m ? 1 ? 0 无论m为何值都有两个不相等的实根。
2

?

?

即:△>0

所以,无论m取任何实数,方程有两个不相等 的实数根。

【例2】试确定m的值,使关于x的方程8x2-(2m2 +m-6)x+2m-1=0的两根互为相反数. 解:设此方程的两个根为x1、x2,要使方程的两个 根互为相反数,必需满足条件:

Δ

? 0,

x1+x2=0,
2

x1x2≤0.

2m ? m ? 6 得2m2+m-6=0 ? x1 ? x2 ? ?0 8 3 2m ? 1 ? m1 ? , m2 ? ?2 ? x1 x 2 ? ? 0, 得2m ? 1 ? 0, 2 8 3 1 , 解得, m ? , 故m1 ? 舍去?m2 ? ?2此时? ? 0 2 2 ∴当m=-2时,原方程的两根互为相反数.

一正根,一负 根

两个正根

两个负根

{

△>0 X1X2<0

{

△≥0

X1X2>0
X1+X2>0

{

△≥0

X1X2>0
X1+X2<0

跟踪训练
mx2 ? 2mx ? m ? 1 ? 0(m ? 0) 1、 方程
有一个正根,一个负根,求m的取值范围。 解:由已知,

{

△= 4m 2 ? 4m(m ? 1) ? 0

m ?1 x1 x 2 ? ?0 m



{

m>0 m-1<0

∴0<m<1

【例3】.已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两 个实数根,且这两个根的平方和比两根的积大21 ,求m的值.小明同学是这样解答的,你认为他 的解答过程对吗? 解:设x1、x2为方程的两根∵方程有两个实数根,

? ? ? ?2?m ? 2?? ? 4 ?1? m ? 4 ? 0
2 2

?

?

解得m≤0. 依题意,得
2

(x12+x22)-x1x2=21

即?x1 ? x2 ? ? 3x1 x2 ? 21
2

??? 2?m ? 2?? ? 3 m2 ? 4 ? 21

?

?

解这个方程得: m1 ? 17, m2 ? ?1

∵m≤0, ∴m=-1.

求与方程的根有关的代数式的值或方程时, 一般先将所求的代数式或方程化成含两根之 和两根之积的形式,再整体代入.

另外几种常见的求值

x1 ? x2 1 1 1. ? ? x1 x2 x1 x2

x1 x 2 x ? x 2. ? ? x1 x2 x 2 x1
2 1

2 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? x1 x2

3.(x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

4. x1 ? x2 ?

( x1 ? x2 )

2

? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

跟踪训练
? 2、已知,在△ABC中,∠C=90度,斜边 1 长7 2 ,两直角边的长分别是关于的方程: 1 2 的 x ? 3(m ? 2 ) x ? 9m ? 0 的 两个根,则 △ABC的内切圆面积是( ) 9 7 3 ? A、 4? B、 ? C、 ? D、 ?
2
4
4

[

x1

课时训练
? 3、已知 x、是关于x的一元二次方程 x1 2 的 4kx 2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 两个实数根。 3 ? 是否存在实数,使 (2 x1 ? x 2 )( x1 ? 2 x 2 ) ? ? 2 成 立?若存在,求出k的值;若不存在,请说 明理由。 ?。


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