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第4讲 定积分与微积分基本定理



第4讲

定积分与微积分基本定理
? 夯基释疑
? 考点一:定积分的计算

基础诊断

概 要

考点突破

? 考点二:运用定积分求平面图形的面积

? 考点三:定积分在物理中的应用

课堂小结

?

思想方法 ? 易错防范

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)设函数 y=f(x)在区间[a, b]上连续, 则?bf(x)dx=?bf(t)dt( )

?a

?a

(2)若 f(x)是偶函数,则?a f(x)dx=2?af(x)dx( )

?- a ?- a

?0

(3)若 f(x)是奇函数,则?a f(x)dx=0( ) (4)曲线 y=x2 与 y=x 所围成的面积是?1(x2-x)dx.( )

?0

第2页

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考点突破 考点一 定积分的计算
2 ? ?x ,x∈[0,1], 2 【例 1】 (1)设 f(x)=? 则? f(x)dx 等于( ? ? 0 ?2-x,x∈(1,2],

)

3 4 5 A. B. C. D.不存在 4 5 6 3 (2)定积分? ? 9-x2dx 的值为________.
0

解析(1)如图,

? ?0f(x)dx=? ?0x dx+? ?1 (2-x)dx
1 1 2??2 1 3? ? = x ? +?2x-2x ?? 3 ?0 ?1

2

1 2

2

1? 5 1 ? = +?4-2-2+2?= . 3 6
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考点突破 考点一 定积分的计算
2 ? ?x ,x∈[0,1], 2 【例 1】 (1)设 f(x)=? 则? f(x)dx 等于( ? ? 0 ?2-x,x∈(1,2],

)

3 4 5 A. B. C. D.不存在 4 5 6 3 (2)定积分? ? 9-x2dx 的值为________.
0

(2)由定积分的几何意义知,

? ?0

3

9-x2dx

是由曲线 y= 9-x2,

直线x=0,x=3,y=0围成的封闭图形的面积. 2 π · 3 9π 3 故? 9-x2dx= = . 4 4 ?0 9π 答案 (1)C (2) 4
第4页

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考点突破 考点一 定积分的计算

规律方法
(1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ①对被积函数要先化简,再求积分; ②求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可 加性”,分段积分再求和; ③对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号再 求积分; ④注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错. (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.

第5页

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考点突破 考点一 定积分的计算
? ?2x+1,x∈[-2,2], 40 3 【训练 1】(1)已知 f(x)=? 若? f(x)dx= , 2 3 ?1+x ,x∈[2,4]. ?k ?

则 k 的值为( ) A.0 B.0 或-1 C.0 或 1 D.-1
(1)∵?3f(x)dx=?3(1+x2)dx =22<40, 3 3 ?2 ?2 40 3 ∴当 k≥2 时,? f(x)dx< , ∴k<2, 3 ? 解析
k

∴?

?k

3f(x)dx=

? ?k

2(2x+1)dx+

? ?2

3(x2+1)dx=

40 , 3

化简得k2+k=0, 解得k=0或k=-1. 故选B.
第6页

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考点突破 考点一 定积分的计算
【训练 1】(2)(2016· 湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数 f(x)在 R 上可导,f(x)=x3+x2f′(1),则?2f(x)dx=________.

?0

(2)因为f(x)=x3+x2f′(1), 所以f′(x)=3x2+2xf′(1). 所以f′(1)=3+2f′(1), 解得f′(1)=-3. 所以f(x)=x3-3x2.

故?2f(x)dx=?2(x3-3x2)dx

?0

?0

2 4 x -x3?? 0=-4. = ? ?4 ??

答案

(1)B
第7页

(2)-4
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考点突破 考点二 运用定积分求平面图形的面积
1 【例 2】(1)(2015· 唐山质检)已知曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所 3 围成图形的面积为 S,则 S=________.

?y= x, 解析 (1)由? 得交点 A(1,1); ?y=2-x y=2-x, ? ? 由? 1 得交点 B(3,-1). ? ?y=-3x 1 ? 1 ? 1? 3? 故所求面积 S=? ?0? x+3x?dx+? ?1?2-x+3x?dx
3 1 3 1 2 1 2x- x2?? 1 = ? x2+ x2?? 0+ ? 3 ?? ? 6 ?? ?3 2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6
第8页

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考点突破 考点二 运用定积分求平面图形的面积
【例 2】(2)已知曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的 4 面积为 ,则 k=________. 3
2 ? ?y=x , ? x=0, ? x=k, ? ? (2)由? 得? 或? ? ?y=kx, ? ?y=k2, ?y=0 ?

则曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为
k 3 k 1 k 1 4 ? k(kx-x2)dx=? x2- x3? ? = - k3= , ? 3 ??0 2 3 ?2 3 ? 0

即k3=8,

∴k=2.

答案

13 (1) 6
第9页

(2)2
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考点突破 考点二 运用定积分求平面图形的面积 规律方法

利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤: (1)画出图形; (2)确定被积函数; (3)确定积分的上、下限,并求出交点坐标; (4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 求解时,注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形 的面积区别开:定积分是一个数值(极限值),可为正,可为 负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正.

第10页

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考点突破 考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根
π 【 训练 2】(1)由曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围 2 π 2 2 成的平面图形的面积是( ) A.1 B. C. D.2 2-2 4 3

π? ? π ? ? 解析 (1)由 sin x=cos x?x∈?0,2 ??,解得 x= , 4

故图中阴影部分的面积
S=? (cos x-sin x)dx+? ? (sin x-cos x)dx

?0

π 4


4

π 2

? ? =(sin x+cos x)? +(-cos x-sin x)?π ?0 ?4 π π? π π ?? π π ? ? ? =sin +cos -cos 0+??-cos2-sin2 ? -?-cos4-sin4 ?? 4 4
π 4

π 2

=2 2-2. (本题也可利用图形的对称性求解)
第11页

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考点突破 考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根
【 训练 2】(2)(2016· 日照模拟)如图,由两条曲线 y=-x2, 1 2 y=- x 及直线 y=-1 所围成的平面图形的面积为________. 4
2 ? ?y=-x , (2)由? 得交点 A(-1, -1), B(1, -1). ?y=-1, ?

1 2 ? ?y=-4x , 由? 得交点 C(-2,-1),D(2,-1). ? ?y=-1, ? 1?-1x2+x2?dx+ 2?-1x2+1?dx? ∴面积 S=2?? ? 4 ? ? 4 ? ? ? ? ? ? 0 ? 1 2 3 x3?1 x 4 ? ? ? ? ? =2? 4 ? 0+ ?x-12?? 1?= . ? ? 3
答案 (1)D 4 (2) 3
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第12页

考点突破 考点三 定积分在物理中的应用
【例 3】 (2016· 武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到 25 紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 的单位: 1+t m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) 11 A.1+25ln 5 B.8+25ln C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 3 8 解析 令 v(t)=0,得 t=4 或 t=- (舍去), 3 25 ? ? 4 ∴汽车行驶距离 s=? 7-3t+1+t dt ? ??
0
4 3 7t- t2+25ln(1+t)?? =? 2 ? ?? ?0 =28-24+25ln 5

=4+25ln 5(m). 答案 C
第13页

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考点突破 考点三 定积分在物理中的应用

规律方法
定积分在物理中的两个应用:(1)求物体做变速直线运动的位移, 如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=?bv(t)dt.

?a

(2)变力做功,一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方向 从 x=a 移动到 x=b 时,力 F(x)所做的功是 W=?bF(x)dx.

?a

第14页

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考点突破 考点三 定积分在物理中的应用
? ?5,0≤x≤2, 【训练 3】 一物体在力 F(x)=? (单位:N)的作用下沿 ?3x+4,x>2 ?

与力 F 相同的方向, 从 x=0 处运动到 x=4(单位: m)处, 则力 F(x) 做的功为________焦.

解析 由题意知,力F(x)所做的功为 W=?4F(x)dx=?25dx+?4(3x+4)dx
4 3 x2+4x?? 2 =5× 2+ ? ?2 ?? 3 2 3 2 ? ? 2 +4× 2?? 4 +4× 4-?2× =10+ × ?? ?2

?0

?0

?2

=36(焦). 答案 36
第15页

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课堂小结 思想方法 1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下:①求被积函数f(x) 的一个原函数F(x);②计算F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分. 2.求曲边多边形面积的步骤 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限 、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.

第16页

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课堂小结

易错防范 1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段 积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是 被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面 积非负,而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积 的求解变得简捷.

第17页

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(见教辅)

第18页

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考点突破 考点二 运用定积分求平面图形的面积
备用题 如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积.

解 由题意,知抛物线y=-x2+4x-3 在点A处的切线斜率是k1=y′|x=0=4, 在点B处的切线斜率是k2=y′|x=3=-2. 因此,抛物线过点A的切线方程为y=4x-3, 过点B的切线方程为y=-2x+6. ? ?y=4x-3, 设两切线相交于点 M,由? 消去 y, ? ?y=-2x+6 3 3 得 x= ,即点 M 的横坐标为 . 2 2 3? ? 在区间?0,2?上,直线 y=4x-3 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方; 3 ? ? 在区间?2,3?上,直线 y=-2x+6 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方.
第19页

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考点突破 考点二 运用定积分求平面图形的面积
备用题 如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积.

因此,所求的图形的面积是
3 ? S= 2 [(4x-3)-(-x2+4x-3)]dx ?0

+?

3

?3
2
3

[(-2x+6)-(-x2+4x-3)]dx
3

=? 2 x2dx+?

?0

?3
2

(x2-6x+9)dx

9 9 9 = + = . 8 8 4

第20页

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考点突破 考点三 定积分在物理中的应用

备用题 一物体作变速直线运动,其 v-t 曲线如图所示,则该物 1 体在 s~6 s 间的运动路程为________. 2 2t (0≤t≤1),
解析

? ?2 (1≤t≤3), 由图可知,v(t)=? 1 ? ?3t+1 (3≤t≤6).
2

由变速直线运动的路程公式,可得 6 1 3 6?1 t+1?dt S=? v(t)dt=? 2tdt+? 2 dt + ? ?1 ?3?3 ? ?1 ?1

? ?3 ?1 2 ??6 49 =t ?1+2t? + ?6t +t?? = (m). 4 3 ?2 ?1
2

2
1

1 49 所以物体在 s~6 s 间的运动路程是 m. 2 4
第21页

49 答案 m 4
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