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1.1.2余弦定理


惠东中学

高一数学必修 5 学案

本册主编:***

审核:***

§ 1.1.2 余弦定理
※学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

※课前预习
仔细阅读课本 P5—P7 相关内容,思考下面问题: 1、已知两边及夹角,如何解此三角形呢?

※ 探究新知
问题:在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . ∵ AC ? ,∴ AC ? AC ? ________________.
b A c C a B

同理可得:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bc co s , A 2 2 2 c ? a ? b ? 2 ac bo s . C

思考: 这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量, 可以求出第四个量, 能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论: b2 ? c 2 ? a 2 , , . cos A ? 2bc

基础知识梳理 1、余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 积的两倍. a 2 =__________________; b 2 =_________________; c 2 =___________________. 2、余弦定理的另外三种形式: 的

cos A ? ___________________; cos B ? ___________________; cos C =____________________.
预习自测 (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150 ,求 b .

(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

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※高一※





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第一章 解三角形

※ 新课导学
余弦定理的再思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cosC ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 [理解定理 ] (1) 、若 C= 90 ? ,则 cos C ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b 2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦 定理的特例. (2).在△ABC 中, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角. (3) 、余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 基本题型一:已知三角形的任意两边及它们的夹角,运用余弦定理解三角形。 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A

9 ,则 BC=________. 10 基本题型二:已知三角形的三条边,运用余弦定理解三角形。 例 2. 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角.
变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

基本题型三:判断三角形的形状 2 2 2 2 例 3. 在 ?ABC 中,若 b sin C ? c sin B ? 2bc cos B cos C ,试判断 ?ABC 的形状.

变式: 1. 在△ ABC 中,若 2cosB sinA =sinC,则△ ABC 的形状一定是( A. 等腰直角三角形
2

) D. 等边三角形

B. 直角三角形
2 2

C. 等腰三角形

a ?c ?b × a=c,∴ a=b。 ac 2. 在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,则三角形为( )

解:由 2cos BsinA =sinC 得

. 答案:C

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 等腰三角形
第2页

D. 等边三角形

惠东中学

高一数学必修 5 学案

本册主编:***

审核:***

课堂练习 P8 练习

※概括总结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: (1) 已知两边及它们的夹角,求第三边;(2) 已知三边,求三角; . 3.在△ABC 中, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角. 你认为本节课的主要内容是________________________________________________________

※学习评价
你完成本节学案的情况为( A. 很好 B. 较好 ). D. 较差

C. 一般

当堂检测:
1. 已知 a= 3 ,c=2,B =150°,则边 b 的长为( A. 13 B. ).

22 D. 22 2 2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( ). A. 60 B. 75 C.120 D.150 3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 5 ? x ? 13 B. 13 <x<5
C.

13 2

).

C. 2<x< 5 D. 5 <x<5 4. 在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| AB - AC |=________. 5. 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 b 2 ? a 2 ? c 2 ? ab ,则∠C 等于 .

※课后作业
1.P10 习题 1.1A 组 3,4

2. 在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cos C=

13 ,求最大角的余弦值. 14

3. 在△ABC 中,AB =5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.

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※高一※





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第一章 解三角形

BC = a , AC = b , b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根, (选做) 4 . 例 2. 在△ABC 中, 且a, 2 cos? A ? B ? ? 1 。
(1) 求角 C 的度数; (2) 求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积。

5(选做) 。在△ABC 中, A ? 1200 , c ? b, a ? 21, S

ABC

? 3 ,求 b, c 。

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