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2016年吉林省东北师大附中高考数学模拟试卷(文科)(六)(解析版)



2016 年吉林省东北师大附中高考数学模拟试卷(文科) (六)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则(1﹣2i) (2+i)=( ) A.4﹣3i B.3﹣4i C.﹣3﹣4i D.﹣4+3i 2.已知集合 A={a,4},B={2,a2},且 A∩B={4},则 A∪B=( ) A.{2,4} B.{﹣2,4} C.{﹣2,2,4} D.{﹣4,2,4} 3.已知命题 p:? x0>0,2x0=3,则¬p 是( ) A.? x∈R,2x≠3 B.? x>0,2x≠3 C.? x≤0,2x=3 D.? x≤0,2x≠3 4.已知向量 , 的夹角的余弦值是 ,且满足| |=| |=1,则| + |=( A. B. C. D. ) )

5.已知 A+B=π,B∈( A. B.

,π) ,且 sinB= ,则 tanA=( D. )

C.2

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

A.2 B.4 C.6 D.12 7.已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为 q,且 a7,a1,a4 成等差数列,则 q=( A.1 或 B. C.1 或 D.1



8.已知抛物线 y2=2x 的焦点为 F,准线为 l,且 l 与 x 轴交于点 E,A 是抛物线上一点,AB ⊥l,垂足为 B,|AF|= ,则四边形 ABEF 的面积等于( )

A.19 B.38 C.18 D.36 9.已知函数 f(x) (x∈R) ,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(3﹣x)=f(x) ,则 f A.0 B.3 C.﹣3 D.不确定 10.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定他们在一昼夜时间内随机到达,试求 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是( )

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A.

B.

C.

D. )

11.如图,一个几何体的三视图是三个直角三角形,则该几何体的最长的棱长等于(

A.2

B.3

C.3 ﹣

D.9 ,0)作圆(x﹣ ) )2+y2=1

12.过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣

的切线,切点在双曲线上,则双曲线的离心率等于( A.2 B. C. D.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,A(1,2,3) ,B(4,5,6) ,则|AB|= . 14. 某校为了调查高三年级参加某项户外活动的文科生和理科生的参与情况, 用简单随机抽 样,从报名参加活动的所有学生中抽取 60 名学生,已知每位学生被抽取的概率为 0.05.若 按文科生和理科生两部分采取分层抽样,共抽取 30 名学生,其中 24 名是理科生,则报名参 加活动的文科生共有 人. 15.已知函数 f(x)=(sinx+cosx)cosx,则 f(﹣ 16.关于函数 f(x)=xln|x|的五个命题: ①f(x)在区间(﹣∞,﹣ )上是单调递增函数; ②f(x)只有极小值点,没有极大值点; ③f(x)>0 的解集是(﹣1,0)∪(0,1) ; ④函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 x﹣y+1=0; ⑤函数 g(x)=f(x)﹣m 最多有 3 个零点. 其中,是真命题的有 (请把真命题的序号填在横线上) . )= .

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,2Sn=3an﹣3. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且满足 b1=a1,b7=b1?b2,求 Tn. 18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取 8 次,记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 77 83 80 90 85 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据,并写出乙组数据的中位数;
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(Ⅱ)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为
2


=85,

=85.25,乙的方差为 S

≈36.4, 现要从中选派一人参加数学竞赛, 你认为选派哪位学生参加较合适?请说明理由; (Ⅲ)从甲、乙不低于 85 分的成绩中各抽取一次成绩,求甲学生成绩高于乙学生成绩的概 率. (参考公式:S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2])

19.在底面为正方形的四棱锥 S﹣ABCD 中,AD⊥平面 ABCD,E、F 是 AS、BC 的中点, (Ⅰ)求证:BE∥平面 SDF; (Ⅱ)若 AB=5,求点 E 到平面 SDF 的距离.

20.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,长轴长等于 4,离心

B 两点 率为 , 直线 AB 过焦点 F1 且与椭圆 C 交于 A、 (A 在第一象限) , △F1AF2 与△F1BF2 的面积比为 7:3. (1)求椭圆的方程; (2)求直线 AB 的方程. 21.已知 a> ,函数 f(x)= x3+ (a﹣2)x2+b,g(x)=2alnx,且曲线 y=f(x)与曲 线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处的切线互相垂直. (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)设 F(x)=f′(x)﹣g(x) ,若对任意的 x1,x2∈(0,4) ,且 x1≠x2,都有 F(x1) =F(x2) ,求证:x1+x2>4. (参考公式: (ln(a﹣x) )′= ,a 为常数) .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,自圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线,切点为 A,M 为 AP 的中点,过点 M 引圆的割 线交圆 O 于 B,C 两点,且∠BMP=120°,∠BPC=30°,MC=8. (Ⅰ)求∠MPB 的大小; (Ⅱ)记△MAB 和△MCA 的面积分别为 S△ MAB 和 S△ MCA,求 .

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[选修 4-4:极坐标与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C1: =1. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 θ= (ρ≥0)与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的交点为 B,求|AB|. 为参数) ,曲线 C2:

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (Ⅰ)若不等式 f(x)≤2 的解集为[0,4],求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若? x0∈R,使得 f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m,求实数 m 的取 值范围.

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2016 年吉林省东北师大附中高考数学模拟试卷(文科) (六)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则(1﹣2i) (2+i)=( ) A.4﹣3i B.3﹣4i C.﹣3﹣4i D.﹣4+3i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解: (1﹣2i) (2+i)=2+2+i﹣4i=4﹣3i. 故选;A. 2.已知集合 A={a,4},B={2,a2},且 A∩B={4},则 A∪B=( A.{2,4} B.{﹣2,4} C.{﹣2,2,4} D.{﹣4,2,4} )

【考点】并集及其运算. 【分析】由 A 与 B 交集的元素为 4,得到 4 属于 A 且属于 B,得到 a2=4,求出 a 的值,确 定出 A 与 B,即可确定出两集合的并集. 【解答】解:∵集合 A={a,4},B={2,a2},且 A∩B={4}, ∴a2=4,解得:a=2 或 a=﹣2, 当 a=2 时,A={2,4},B={2,4},不合题意,舍去; 当 a=﹣2 时,A={﹣2,4},B={2,4}, 则 A∪B={﹣2,2,4}. 故选:C 3.已知命题 p:? x0>0,2x0=3,则¬p 是( ) A.? x∈R,2x≠3 B.? x>0,2x≠3 C.? x≤0,2x=3 D.? x≤0,2x≠3 【考点】命题的否定. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题 p:? x0>0,2x0=3,则¬p 是: ? x>0,2x≠3. 故选:B.

4.已知向量 , 的夹角的余弦值是 ,且满足| |=| |=1,则| + |=( A. B. C. D.



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知结合 【解答】解:∵ ,展开平方后代入向量数量积得答案. =
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= ∴| + |= 故选:B. .



5.已知 A+B=π,B∈( A. B.

,π) ,且 sinB= ,则 tanA=( D.



C.2

【考点】三角函数的化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosB,利用诱导公式,同角三角函数基 本关系式即可得解. 【解答】解:∵B∈( ∴cosB=﹣ ,π) ,且 sinB= , =﹣ =﹣ ,

∴tanA=tan(π﹣B)=﹣tanB=﹣

=﹣

=



故选:D. 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A.2

B.4

C.6

D.12

【考点】程序框图. 【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件 就退出循环,从而到结论. 【解答】解:模拟执行程序,可得 k=0,s=0 满足条件 k<3,执行循环体,s=0,k=1 满足条件 k<3,执行循环体,s=2,k=2 满足条件 k<3,执行循环体,s=6,k=3
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不满足条件 k<3,退出循环,输出 s 的值为 6. 故选:C. 7.已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为 q,且 a7,a1,a4 成等差数列,则 q=( A.1 或 B. C.1 或 D.1 )

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由题意可得 a7+a4=2a1,即 ,求解该方程得答案.

【解答】解:在等比数列{an}中,由 a1≠a2,得 q≠1, ∵a7,a1,a4 成等差数列, ∴a7+a4=2a1,即 ,

∴q6+q3﹣2=0,解得 q3=1(舍)或 q3=﹣2. ∴ 故选:B. 8.已知抛物线 y2=2x 的焦点为 F,准线为 l,且 l 与 x 轴交于点 E,A 是抛物线上一点,AB ⊥l,垂足为 B,|AF|= A.19 B.38 C.18 ,则四边形 ABEF 的面积等于( D.36 ) .

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】根据抛物线的定义,到焦点的距离等于到准线的距离,求出 A 的坐标,而四边形 ABEF 为直角梯形,直角梯形的面积可求. 【解答】解:∵抛物线 y2=2x 的焦点为 F,准线为 l, ∴F( ,1) ,准线 l 为 x=﹣ , ∴|EF|=1,|AB|=|AF|, 设 A(x0,y0) , ∴|AB|=x0+ , ∵|AF|= ∴x0+ = , ,

解得 x0=8, ∴y02=2x0=16, ∴|y0|=4, ∴|BE|=|y0|=4, ∴S 四边形 ABEF= (|EF|+|AB|)×|BE|= (1+ )×4=19,

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故选:A

9.已知函数 f(x) (x∈R) ,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(3﹣x)=f(x) ,则 f A.0 B.3 C.﹣3 D.不确定 【考点】函数的值. 【分析】可判断 f(x)的周期为 6,从而可得 f=f(0) ,从而解得. 【解答】解:∵f(x)=f(3﹣x)=﹣f(x﹣3) =﹣f(3﹣(x﹣3) )=﹣f(6﹣x)=f(x﹣6) , f x 6 ∴ ( )的周期为 , 而 435=72×6+3, ∴f=f(0) , ∵f(0)=﹣f(0) ,∴f(0)=0, 故选:A. 10.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定他们在一昼夜时间内随机到达,试求 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是( ) A. B. C. D.

【考点】几何概型;简单线性规划. 【分析】设出甲、乙到达的时刻,列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有 一艘在停靠泊位时必须等待约束条件, 利用线性规划作出平面区域, 利用几何概型概率公式 求出概率. 【解答】解:设甲到达的时刻为 x,乙到达的时刻为 y 则所有的基本事件构成的区域 Ω= 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域

A=

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 P(A)=

=1﹣

=

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故选 A

11.如图,一个几何体的三视图是三个直角三角形,则该几何体的最长的棱长等于(



A.2

B.3

C.3

D.9

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥,由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的 位置关系,由图判断出几何体的最长棱,由勾股定理求出即可. 【解答】解:由三视图知几何体是一个三棱锥 P﹣ABC, 直观图如图所示:PC⊥平面 ABC,PC=1, 且 AB=BC=2,AB⊥BC, ∴AC= , =3,

∴该几何体的最长的棱是 PA,且 PA= 故选:B.

12.过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣ )

,0)作圆(x﹣

)2+y2=1

的切线,切点在双曲线上,则双曲线的离心率等于(

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A.2

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据直线和圆相切的性质,结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即可. 【解答】解:由圆的方程(x﹣ ∵过左焦点 F(﹣ )2+y2=1 知圆心坐标为 G( ,0) ,半径 R=1,

,0)作圆(x﹣

)2+y2=1 的切线,切点在双曲线上,

∴设切点为 P, 则 PG=1,PF=1+2a,FG=2c= 则 PF2+PG2=FG2, 即(1+2a)2+1=10,



即(1+2a)2=9,得 1+2a=3,a=1,c= ∴双曲线的离心率 e= = 故选:D. ,



二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,A(1,2,3) ,B(4,5,6) ,则|AB|= 3 【考点】空间两点间的距离公式. 【分析】根据空间中两点间的距离公式,进行计算即可. 【解答】解:空间直角坐标系 O﹣xyz 中,A(1,2,3) ,B(4,5,6) , ∴|AB|= 故答案为:3 . = .



14. 某校为了调查高三年级参加某项户外活动的文科生和理科生的参与情况, 用简单随机抽 样,从报名参加活动的所有学生中抽取 60 名学生,已知每位学生被抽取的概率为 0.05.若 按文科生和理科生两部分采取分层抽样,共抽取 30 名学生,其中 24 名是理科生,则报名参 加活动的文科生共有 240 人. 【考点】分层抽样方法. 【分析】 从报名参加活动的所有学生中抽取 60 名学生, 已知每位学生被抽取的概率为 0.05, 求出所有的人数, 根据每个个体被抽到的概率, 用概率乘以所有人数得到要抽取的样本容量. 【解答】解:从报名参加活动的所有学生中抽取 60 名学生,已知每位学生被抽取的概率为 0.05, 故总人数为 60÷0.05=1200 人, 共抽取 30 名学生, 其中 24 名是理科生, 则文科生共有 6 人, 则文科生抽取的概率为 则则报名参加活动的文科生共有 1200× =240 人 故答案为:240 = ,

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15.已知函数 f(x)=(sinx+cosx)cosx,则 f(﹣ 【考点】三角函数的化简求值.

)=



【分析】先根据二倍角公式和两角和的正弦公式 f(x)= + 即可.

sin(2x+

) ,再代值计算

【解答】解:f(x)=(sinx+cosx)cosx=sinxcosx+cos2x= sin2x+ (1+cos2x)= + (2x+ ∴f(﹣ ) , )= + sin(2× + )= + × =

sin

故答案为:

16.关于函数 f(x)=xln|x|的五个命题: ①f(x)在区间(﹣∞,﹣ )上是单调递增函数; ②f(x)只有极小值点,没有极大值点; ③f(x)>0 的解集是(﹣1,0)∪(0,1) ; ④函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 x﹣y+1=0; ⑤函数 g(x)=f(x)﹣m 最多有 3 个零点. 其中,是真命题的有 ①⑤ (请把真命题的序号填在横线上) . 【考点】分段函数的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由 x<0 的函数解析式,求出导数,判断符号,即可判断①; 求得 x>0,x<0 的解析式,可得导数和单调区间,可得极值,即可判断②; 讨论 x>0,x<0,解不等式即可判断③; 求得 x=1 处的切线的斜率和切点,由点斜式方程,可得切线方程,即可判断④; 令 g(x)=0,可得 m=f(x) ,由②求得极值,可得当﹣ <m< 时,有 3 个交点,即可 判断⑤. 【解答】解:①x<0 时,f(x)=xln(﹣x)的导数为 f′(x)=ln(﹣x)+1,当 x∈(﹣∞, ﹣ )时,f′(x)>0, 可得 f(x)在区间(﹣∞,﹣ )上是单调递增函数,故①对; ②当 x>0 时,可得 f(x)=xlnx 的导数为 f′(x)=1+lnx,可得 f(x)在(0, )递减; 在( ,+∞)递增.可得 f(x)在 x= 处取得极小值﹣ ; x<0 时,f(x)=xln(﹣x)的导数为 f′(x)=ln(﹣x)+1,可得 f(x)在区间(﹣∞,﹣ ) 上递增;

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在(﹣ ,0)递减,f(x)在 x=﹣ 处取得极大值 .故②错; ③f(x)>0 等价为 x>0,xlnx>0 或 x<0,xln(﹣x)>0,即为 x>1 或﹣1<x<0.故 ③错; ④函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率为 1,切点为(1,0) ,即有切线的方程为 y=x﹣1,故 ④错; ⑤令 g(x)=f(x)﹣m=0,即有 m=f(x) ,由②可得 f(x)在区间(﹣∞,﹣ ) , ( , +∞)上递增, 在区间(﹣ ,0) , (0, )上递减,且极大值为 ,极小值为﹣ ,当﹣ <m< 时, 有 3 个交点, 即零点个数最多 3 个.故⑤对. 故答案为:①⑤. 三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,2Sn=3an﹣3. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且满足 b1=a1,b7=b1?b2,求 Tn. 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【分析】 (I)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出. (II)利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)由 ,得 an+1=3an,且 a1=3,

则数列{an}为以 3 为首项公比为 3 的等比数列, 故 (Ⅱ)设等差数列{bn}的公差为 d,则由 b1=a1=3,b7=b1?b2, 得 3+6d=3(3+d) , 解得 d=2,又 b1=a1=3, ∴bn=2n+1, ∴ .

18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取 8 次,记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 77 83 80 90 85 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据,并写出乙组数据的中位数; (Ⅱ)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为
2


=85,

=85.25,乙的方差为 S

≈36.4, 现要从中选派一人参加数学竞赛, 你认为选派哪位学生参加较合适?请说明理由;

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(Ⅲ)从甲、乙不低于 85 分的成绩中各抽取一次成绩,求甲学生成绩高于乙学生成绩的概 率. (参考公式:S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2])

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数;极差、方差与 标准差. 【分析】 (1)由题意能作出茎叶图,并能求出乙组数据的中位数. (2)求出甲、乙二人的方差,由此得到如果想冒险一点取得好成绩,就派乙去参加,想保 守一些就让甲去参赛. (3)共有 12 个基本事件,其中,甲成绩高于乙成绩有 7 个基本事件,由此能求出结果. 【解答】解: (1)由题意作出茎叶图:

乙组数据的中位数为 84. (2)计算 由 由 ,说明甲学生发挥稳定, ,说明乙学生成绩稍高一些, ,

如果想冒险一点取得好成绩,就派乙去参加,想保守一些就让甲去参赛. (只要学生理由充分,即可得满分) (3)共有 12 个基本事件,其中,甲成绩高于乙成绩有 7 个基本事件,所以 .

19.在底面为正方形的四棱锥 S﹣ABCD 中,AD⊥平面 ABCD,E、F 是 AS、BC 的中点, (Ⅰ)求证:BE∥平面 SDF; (Ⅱ)若 AB=5,求点 E 到平面 SDF 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)取 SD 的中点 Q,连接 QF、QE,证明 BFQE 为平行四边形,可得 BE∥QF, 即可证明:BE∥平面 SDF; (Ⅱ)若 AB=5,利用等体积方法求点 E 到平面 SDF 的距离. 【解答】证明: (Ⅰ)取 SD 的中点 Q,连接 QF、QE, 由于点 E 为侧棱 AS 的中点,Q 为 SD 的中点
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故在△DAS 中,QE 由于 F 是 BC 的中点 故 BF ,



故 QE 故 BFQE 为平行四边形 故 BE∥QF,又 QF? 平面 EFD1,BE?平面 EFD1 故 BE∥平面 SDF; 解: (Ⅱ)由 DS⊥面 ABCD, 又 AB? 面 ABCE,故 DS⊥AB 又 AB⊥AD,故 AB⊥面 ADS,又 BC∥面 ADS 故 F 到面 ADS 的距离为 AB 的长,即为 5. 设点 E 到平面 SDF 的距离为 h. 又 VF﹣SED=VE﹣SDF 故

20.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,长轴长等于 4,离心

B 两点 率为 , 直线 AB 过焦点 F1 且与椭圆 C 交于 A、 (A 在第一象限) , △F1AF2 与△F1BF2 的面积比为 7:3. (1)求椭圆的方程; (2)求直线 AB 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由于 2a=4, = ,a2=b2+c2,联立解出即可得出.

(2)可设直线 AB 的方程为:my﹣1=x,A(x1,y1) ,B(x2,y2) .与椭圆方程联立化为: (3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,由△F1AF2 与△F1BF2 的面积比为 7:3.可得 系数的关系联立解出 m 即可得出. 【解答】解: (1)∵2a=4, = ,a2=b2+c2,解得 a=2,c=1,b2=3. = ,与根与

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∴椭圆的方程为:

=1.

(2)可设直线 AB 的方程为:my﹣1=x,A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立 ,化为: (3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,

∴y1+y2=

,y1y2=

, (*)

∵△F1AF2 与△F1BF2 的面积比为 7:3. ∴ = ,

与(*)联立可得:m= ∴直线 BA 的方程为:

. y﹣1=x,即 3x±4y+3=0.

21.已知 a> ,函数 f(x)= x3+ (a﹣2)x2+b,g(x)=2alnx,且曲线 y=f(x)与曲 线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处的切线互相垂直. (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)设 F(x)=f′(x)﹣g(x) ,若对任意的 x1,x2∈(0,4) ,且 x1≠x2,都有 F(x1) =F(x2) ,求证:x1+x2>4. (参考公式: (ln(a﹣x) )′= ,a 为常数) .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)分别求得 f(x) ,g(x)的导数和切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率 1 f' 1 g' 1 = 之积为﹣ , ( ) ( ) ﹣1,f(1)=g(1)=0 解方程可得 a,b,c 的值; (Ⅱ)求得 F(x)的导数,可得单调区间,由题意可设 0<x1<2<x2<4,设 G(x)=F(x) ﹣F(4﹣x)=2x﹣2lnx+2ln(4﹣x)﹣4,x∈(2,4) ,求出导数,判断单调性,即可得证. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)= x3+ (a﹣2)x2+b 的导数为 ,可得 g(x)=2alnx 的导数为 依题意有 f'(1)g'(1)=﹣1, 由题意可得(a﹣ )?2a=﹣1, (a> ) , 解得 a=1; 又 f(1)=g(1)=0, , ,可得 g'(1)=2a,

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可得

. ,

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 a=1,则 可得 ,

即有 F(x)在(0,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增, 若对任意的 x1,x2∈(0,4) ,且 x1≠x2,都有 F(x1)=F(x2) , 不妨设 0<x1<2<x2<4, 设 G(x)=F(x)﹣F(4﹣x)=2x﹣2lnx+2ln(4﹣x)﹣4,x∈(2,4) , 可得 ,2<x<4,可得 G'(x)<0,

则 G(x)单调递减,可得 G(x)<G(2)=0, 故对 x∈(2,4) ,F(x)<F(4﹣x) , 由 x2∈(2,4) ,可得 F(x2)<F(4﹣x2) , 又 F(x1)=F(x2) ,则 F(x1)<F(4﹣x2) , 因为 x1∈(0,2) ,4﹣x2∈(0,2) , 而 F(x)在(0,2)上单调递减, 所以 x1>4﹣x2,即 x1+x2>4. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,自圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线,切点为 A,M 为 AP 的中点,过点 M 引圆的割 线交圆 O 于 B,C 两点,且∠BMP=120°,∠BPC=30°,MC=8. (Ⅰ)求∠MPB 的大小; (Ⅱ)记△MAB 和△MCA 的面积分别为 S△ MAB 和 S△ MCA,求 .

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 【分析】 (Ⅰ)由切割线定理,得 MA2=MB?MC,再根据 M 为 PA 的中点,将 MA 换成 MP, 得到△PMB∽△CMP,从而∠MPB=∠MCP,最后在△CMP 中利用内角和为 180°列式,可 得∠MPB 的大小; (Ⅱ)证明△MAB~△MCA,可得 ,即可求 .

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【解答】解: (Ⅰ)∵MA 是圆 O 的切线,MC 是圆 O 的割线,∴MA2=MB?MC, 又∵M 为 AP 的中点,∴MA=MP, ∴MP2=MB?MC,且∠PMB=∠CMP, ∴△PMB~△CMP,∴∠MPB=∠MCP, 又∵∠MPB+∠MCP+∠CMP+∠CPB=180°, 且∠BMP=120°,∠BPC=30°,∴∠MPB=15°. (Ⅱ)∵MA 是圆 O 的切线,∴∠MAB=∠ACM, ∴△MAB~△MCA, ∴ ,

在△CMP 中,MC=8,∠CPM=45°,∠PCM=15°, 由正弦定理得: ,∵MA=MP,∴ ∴ .



[选修 4-4:极坐标与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C1: =1. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 θ= (ρ≥0)与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的交点为 B,求|AB|. 为参数) ,曲线 C2:

【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (Ⅰ)由 可得 C1,C2 的极坐标方程;

(Ⅱ)求出 A,B 的极径,即可求|AB|. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 由 =2. (Ⅱ)射线 射线 , 所以 . 与曲线 C1 的交点 A 的极径为 与曲线 C2 的交点 B 的极径满足 , ,解得 为参数)可化为普通方程: (x﹣1)2+y2=1,

2 1+sin2θ) 可得曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2cosθ, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(

[选修 4-5:不等式选讲]
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24.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (Ⅰ)若不等式 f(x)≤2 的解集为[0,4],求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若? x0∈R,使得 f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m,求实数 m 的取 值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (Ⅰ)若不等式 f(x)≤2 的解集为[0,4],可得 ,即可求实数 a 的值;

(Ⅱ)根据第一步所化出的分段函数求出函数 f(x)的最小值,若? x0∈R,使得 f(x0) +f(x0+5)﹣m2<4m 成立,只需 4m+m2>fmin(x) ,解出实数 m 的取值范围. x a 2 a 2 x a 2 【解答】解: (Ⅰ)∵| ﹣ |≤ ,∴ ﹣ ≤ ≤ + , ∵f(x)≤2 的解集为[0,4],∴ ,∴a=2.

(Ⅱ)∵f(x)+f(x+5)=|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5, ∵? x0∈R,使得 即 成立, ,

∴4m+m2>[f(x)+f(x+5)]min,即 4m+m2>5,解得 m<﹣5,或 m>1, ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣5)∪(1,+∞) .

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2016 年 9 月 3 日

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