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2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(辽宁卷)



辽宁文科
1.(2012 辽宁,文 1)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x).若 a· b=1,则 x=( ). 1 1 A.-1 B.C. D.1 2 2 D 由 a·b=1,得 1× 2-1× x=1,解得 x=1,故选 D. 2.(2012 辽宁,文 2)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={

2,4,5,6,8},则 (?UA)∩(?UB)=( ). A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} B 由已知可得,?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9}, 于是(?UA)∩(?UB)={7,9},故选 B. 3.(2012 辽宁,文 3)复数 1 =( ). 1? i A. 1 - 1 i B. 1 + 1 i 2 2 2 2 C.1-i D.1+i 1 = 1? i A = 1 ? i = 1 - 1 i,故选 A. 2 2 2 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 4.(2012 辽宁,文 4)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 B.16 C.20 D.24 ). ).

B 由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选 B. 5.(2012 辽宁,文 5)已知命题 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p 是( A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 C 全称命题的否定为存在性命题,即 若 p 为“?x∈M,q(x)”, 则p 为“?x∈M,q(x)”,故选 C. 6.(2012 辽宁,文 6)已知 sin α-cos α= 2 ,α∈(0,π),则 sin 2α=( A.-1 B.- 2 2 C. 2 2 ). D.1

A 将 sin α-cos α= 2 两端同时平方得,(sin α-cos α)2=2, 整理得 1-2sin αcos α=2,于是 sin 2α=2sin αcos α=-1,故选 A. 7.(2012 辽宁,文 7)将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 C B.x+y+3=0 D.x-y+3=0 ).

圆 x2+y2-2x-4y+1=0 可化为标准方程 (x-1)2+(y-2)2=4,要使直线平分此圆,则直线需过圆心(1,2). 因此可通过代入法,看哪一条直线过圆心(1,2)即可.经检验,选项 C 满足条件.故选 C.

8.(2012 辽宁,文 8)函数 y= 1 x2-ln x 的单调递减区间为( A.(-1,1] C.[1,+∞)

).

2 B.(0,1] D.(0,+∞)

2 B 对函数 y= 1 x2-ln x 求导,得 y'=x- 1 = x ? 1 (x>0), x 2 x

1

? x2 ?1 ? 0, 解得 x∈(0,1].因此函数 y= 1 x2-ln x 的单调递减区间为(0,1].故选 B. 令? ? x 2 ? x ? 0, ? ? x ? y ? 10, 9.(2012 辽宁,文 9)设变量 x,y 满足 ?0 ? x ? y ? 20, 则 2x+3y 的最大值为( ). ? ? 0 ? y ? 15, ?
A.20 B.35 C.45 D.55 D 作出可行域如图所示.

令 z=2x+3y,则 y=- 2 x+ 1 z,要使 z 取得最大值,

3 3 2 x+ 1 z 在 y 轴上的截距的最大值,移动直线 l :y=- 2 x,可知当 l 过点 C(5,15)时,z 取最大值, 则需求直线 y=0 0 3 3 3 且 zmax=2×5+3×15=55,于是 2x+3y 的最大值为 55.故选 D.

10.(2012 辽宁,文 10)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是( A.4 B. 3

).

2 C. 2 3 D.-1 D 初始:S=4,i=1,
第一次循环:1<6,S= 2 =-1,i=2;

2?4 第二次循环:2<6,S= 2 = 2 ,i=3; 2 ?1 3 第三次循环:3<6,S= 2 = 3 ,i=4; 2 2 2? 3 第四次循环:4<6,S= 2 =4,i=5; 3 2? 2

2

2?4 6<6 不成立,此时跳出循环,输出 S 值,S 值为-1.故选 D. 11.(2012 辽宁,文 11)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该 矩形面积大于 20 cm2 的概率为( ). 1 1 A. B. C. 2 D. 4 6 3 3 5 C 此概型为几何概型,由于在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,因此总的几何度量为 12,满足矩形面积大于 20 cm2 的点在 C1 与 C2 之间的部分,如图所示.

第五次循环:5<6,S= 2 =-1,i=6.

因此所求概率为 8 ,即 2 ,故选 C.

12

3
). C.-4

12.(2012 辽宁,文 12)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线, 两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( A.1 B.3 C D.-8

如图所示,由已知可设 P(4,y1),Q(-2,y2), ∵点 P,Q 在抛物线 x2=2y 上, ? 2 ∴ ?4 ? 2y1 ,       ① 2 ? (-2) ? 2y 2 ,     ② y ? 8, ∴? 1 ? ? y 2 ? 2, ∴P(4,8),Q(-2,2),又∵抛物线可化为 y= 1 x2,∴y'=x,

2
∴过点 P 的切线斜率为 y'
x ?4

=4,

∴过点 P 的切线为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8. 又∵过点 Q 的切线斜率为 y'
x ??2

=-2,

∴过点 Q 的切线为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2. y ? 4x ? 8, 解得 x=1,y=-4, 联立 ? ? ? y ? ?2x ? 2, ∴点 A 的纵坐标为-4. 13.(2012 辽宁,文 13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

3

12+π

如图所示,由已知得该几何体为一组合体,上面是底面圆半径为 1,高为 1 的圆柱,下面是长为 4,宽为 3,高

为 1 的长方体,如图所示.

故所求体积 V=π× 2× 1 1+4× 1=12+π. 3× 14.(2012 辽宁,文 14)已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比 q= 2 ∵等比数列{an}为递增数列,且 a1>0, ∴公比 q>1. 又∵2(an+an+2)=5an+1, ∴2an+2anq2=5anq. ∵an≠0,∴2q2-5q+2=0. ∴q=2 或 q= 1 (舍去).

.

2 ∴公比 q 为 2. 15.(2012 辽宁,文 15)已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点.若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的 值为 . 2 3 设|PF1|=m,|PF2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2,m2+n2=4c2=8,
故 mn=2,(|PF1|+|PF2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=4+4× 2=12,于是|PF1|+|PF2|=2 3 . 16.(2012 辽宁,文 16)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方 形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为 3 3 如图所示,∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AC. 故可知 PC 为球 O 直径,则 PC 的中点为 O,取 AC 的中点为 O', .

则 OO'= 1 PA= 6 ,

2
又∵AC= (2 3) 2 ? (2 3) 2 =2 6 ,PA=2 6 , ∴PC= (2 6) 2 ? (2 6) 2 =4 3 , ∴球半径 R=2 3 ,故 OC=OA=OB=2 3 ,又∵AB=2 3 , ∴△OAB 为等边三角形. ∴S△OAB= 1 × 3 × 3 × 60° 2 2 sin =3 3 .

2 17.(2012 辽宁,文 17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值. 解:(1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180° ,解得 B=60° ,所以 cos B= 1 . 2 (2)方法一: 由已知 b2=ac,及 cos B= 1 , 2 2 根据正弦定理得 sin B=sin Asin C,所以 sin Asin C=1-cos2B= 3 . 4
4

方法二: 由已知 b2=ac,及 cos B= 1 ,

2 2 2 根据余弦定理得 cos B= a ? c ? ac ,解得 a=c,所以 B=A=C=60° sin Asin C= 3 . ,故 2ac 4 18.(2012 辽宁,文 18)

如图,直三棱柱 ABC-A'B'C',∠BAC=90° ,AB=AC= 2 ,AA'=1,点 M,N 分别为 A'B 和 B'C'的中点. (1)证明:MN∥平面 A'ACC'; (2)求三棱锥 A'-MNC 的体积. (锥体体积公式 V= 1 Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

3
(1)证法一:

连结 AB',AC',由已知∠BAC=90° , AB=AC,三棱柱 ABC-A'B'C'为直三棱柱, 所以 M 为 AB'中点.又因为 N 为 B'C'的中点, 所以 MN∥AC'. 又 MN?平面 A'ACC',AC'?平面 A'ACC',因此 MN∥平面 A'ACC'. 证法二:取 A'B'中点 P,连结 MP,NP. 而 M,N 分别为 AB'与 B'C'的中点,所以 MP∥AA',PN∥A'C', 所以 MP∥平面 A'ACC',PN∥平面 A'ACC'.又 MP∩NP=P, 因此平面 MPN∥平面 A'ACC'.而 MN?平面 MPN, 因此 MN∥平面 A'ACC'. (2)解法一:连结 BN,由题意 A'N⊥B'C',平面 A'B'C'∩平面 B'BCC'=B'C',所以 A'N⊥平面 NBC. 又 A'N= 1 B'C'=1,故 VA'-MNC=VN-A'MC= 1 VN-A'BC= 1 VA'-NBC= 1 .

2 2 6 1V 1. 解法二:VA'-MNC=VA'-NBC-VM-NBC= A'-NBC= 2 6 19.(2012 辽宁,文 19)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行 调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

2

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2× 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 2

5

非体育迷 男 女 合计

体育迷

合计

(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性.若从“超级 体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. 2 附:χ2= n(n11n 22 ? n12 n 21 ) . n1? n 2? n ?1n ?2 P(χ2≥k) k 0.05 3.841 0.01 6.635

解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”为 25 人,从而完成 2× 列联表如下: 2
非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2× 列联表中的数据代入公式计算,得 2 2 2 χ2= n(n11n 22 ? n12 n 21 ) = 100 ? (30 ?10 ? 45 ?15) = 100 ≈3.030. 75 ? 25 ? 45 ? 55 33 n1? n 2? n ?1n ?2 因为 3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}. 其中 ai 表示男性,i=1,2,3.bj 表示女性,j=1,2. Ω 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}, 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= 7 .

10
20.

(2012 辽宁,文 20)如图,动圆 C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆 C2: x +y2=1 相交于 A,B,C,D 四点,点 A1,A2 分别为 C2 的左, 9 右顶点. (1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程. 解:(1)设 A(x0,y0),则矩形 ABCD 的面积 S=4|x0||y0|. 2 2 2 2 由 x 0 + y 0 =1 得 y 0 =1- x 0 ,从而 9 9
2 2 2 2? x 0 y 0 = x 0 ?1 ? x 0 9 ?

2

? =- 1 ? 2 9 ? + 9 . ? ? x0 ? ? 4 2? ? 9?
2

6

2 2 当 x 0 = 9 , y 0 = 1 时,Smax=6.从而 t= 5 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 6.

2 2 (2)由 A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知 直线 AA1 的方程为 y= y0 (x+3),① x0 ? 3
直线 A2B 的方程为 y= ? y0 (x-3),② x0 ? 3 由①②得 2 y2= ? y 0 (x2-9).③ 2 x0 ? 9 又点 A(x0,y0)在椭圆 C 上,故 x2 2 y 0 =1- 0 .④ 9 2 将④代入③得 x -y2=1(x<-3,y<0). 9 因此点 M 的轨迹方程为 x 2 -y2=1(x<-3,y<0). 9 21.(2012 辽宁,文 21)设 f(x)=ln x+ x -1,证明: (1)当 x>1 时,f(x)< 3 (x-1); (2)当 1<x<3 时,f(x)< 9(x ? 1) .

2

x ?5

(1)证法一:记 g(x)=ln x+ x -1- 3 (x-1),则当 x>1 时,

2
g'(x)= 1 + 1 - 3 <0. x 2 x 2 又 g(1)=0,有 g(x)<0,即 f(x)< 3 (x-1).

2 证法二:由均值不等式,当 x>1 时,2 x <x+1,故 x < x + 1 .① 2 2 令 k(x)=ln x-x+1,则 k(1)=0,k'(x)= 1 -1<0. x 故 k(x)<0,即 ln x<x-1.② 由①②得,当 x>1 时,f(x)< 3 (x-1). 2 9(x ? 1) . (2)证法一:记 h(x)=f(x)x ?5 1 + 1 - 54 由(1)得 h'(x)= x 2 x (x ? 5) 2
= 2 ? x - 54 < x ? 5 - 54 2x 4x (x ? 5) 2 (x ? 5) 2 = (x ? 5) ? 216x . 4x(x ? 5) 2
3

令 g(x)=(x+5)3-216x. 7

则当 1<x<3 时,g'(x)=3(x+5)2-216<0, 因此 g(x)在(1,3)内是递减函数. 又由 g(1)=0,得 g(x)<0, 所以 h'(x)<0, 因此 h(x)在(1,3)内是递减函数. 又 h(1)=0,得 h(x)<0. 于是当 1<x<3 时,f(x)< 9(x ? 1) .

x ?5

证法二:记 h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1), 则当 1<x<3 时,由(1)得 h'(x)=f(x)+(x+5)f'(x)-9 < 3 (x-1)+(x+5) ? 1 ? 1 ?x 2 2 x ?

? -9 ? ?

= 1 [3x(x-1)+(x+5)(2+ x )-18x]

2x < 1 ?3x(x ? 1) ? (x ? 5) ? 2 ? x ? 1 ? ? 18x ? ? ? ? 2x ? 2 2? ? ? ? 1 (7x2-32x+25)<0, = 4x 因此 h(x)在(1,3)内单调递减. 又 h(1)=0,所以 h(x)<0,即 f(x)< 9(x ? 1) . x ?5 22.(2012 辽宁,文 22)选修 4-1:几何证明选讲

如图,☉O 和☉O'相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连结 DB 并延长交☉O 于点 E.证明: (1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE. 证明:(1)由 AC 与☉O'相切于 A,得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, 所以△ACB∽△DAB, 从而 AC = AB ,即 AC·BD=AD·AB.

AD BD (2)由 AD 与☉O 相切于 A,得∠AED=∠BAD. 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD, 从而 AE = AD ,即 AE·BD=AD·AB. AB BD 结合(1)的结论,AC=AE. 23.(2012 辽宁,文 23)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标 (用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. (1)解:圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. ρ ? 2, 得 ρ=2,θ=±? , 解? ? 3 ?ρ ? 4cosθ
8

故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? ? , ? 2,- ? ? . ? ? ? ? 3? ? 3? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. x ? ρcosθ, 得圆 C 与 C 交点的直角坐标分别为(1, (2)解法一:由 ? 3 ),(1,- 3 ). 1 2 ? ? y ? ρsinθ x ? 1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ? 3 ≤t≤ 3 . ? ? y ? t,

x ? 1, (或参数方程写成 ? 3 ≤y≤ 3 ) ? y ? y, ? x ? ρcosθ, 得 ρcos θ=1, 解法二:将 x=1 代入 ? ? ? y ? ρsinθ,
从而 ρ= 1 .

cosθ

x ? 1, - ? ≤θ≤ ? . 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ? ? 3 ? y ? tanθ, 3 24.(2012 辽宁,文 24)选修 4-5:不等式选讲
已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值; (2)若 f (x)-2f ? x ? ≤k 恒成立,求 k 的取值范围. ? ? ?2? 解:(1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2. 又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以当 a≤0 时,不合题意. 当 a>0 时,- 4 ≤x≤ 2 ,得 a=2.

a ? x ?, (2)记 h(x)=f(x)-2f ? ? ?2? ? ? 1, x ? ?1, 则 h(x)= ? 1 ? ??4x ? 3,-1 ? x ? ? , 2 ? 1 ? ?1, x ? ? , ? 2 ? 所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.

a

9



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