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2007年天津数学高考压轴题的一个简便解法


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4 6  

数学通讯( 2 O 0 8年 第 1 8期)  

?课 外 园地 ?  

2 0 0 7年 天 津 数 学 高 考 压 轴 题 的 一 个简 便 解 法 
章世骏   指导老师   徐锐  
( 四 川 省 成 都 市 石 室 中学 高 2 0 0 9级 一 班 , 6 1 0 0 6 9 )  

2 0 0 7 年 高 考结 束 后 , 笔 者 对 各 省 市 的 高考 题 目都  整体 做 了 一遍 , 大 多 数 高考 题 给 出 的标 准 答 案 与笔 者  的相似, 不过, 天 津市 的高 考 压 轴 题 答 案 较 为 烦 琐 , 而 

解 得 l   F 。 A   l 一 号 , 而 I   F   A ; 一 等 , 得 等 = 号 ,  
即 a 一  .  

且运算量极大 , 很难在短时间内做 出准确的答案.  


这个问题对 于广大 的考 生都 是 很容 易得 出的 ,   况 且 又 是 证 明题 , 目标 十 分 明 确 , 所 以 此 小 问 难 度 不  大. 这 个 题 目压 轴 的 地 方 就 在 于 第 二 个 小 问 , 条 件 看  似很简单 , 但 是 在 图形 中不 是 那 么 容 易 找 出相 关 量  之间的关系 , 或者说 , 关 系不是 很难 找 , 但 是 在 直 线 
的 设 法 上 以 及 建 立 关 系 的 途 径 上 就 需 要 仔 细 地 斟 

2 

. . 2  

题目   设椭圆   +告 一1 ( n >b >o ) 的左 、 右  a   o  
焦点分 别 为 F   , F   , A 是椭 圆上 的一 点, A F   上 

F   F 。 , 原点 O到直线A F   的距离为÷ l   O F   I .  
( I) 证 明 日一 √ 2 6 ;   ( Ⅱ) 设 Q 】 , Q2为 椭 圆 上 的 两 个 动 点 , ∞  _ l _  

酌, 一 不 小 心 就会 陷 入 计 算 的误 区 中 . 然 而 高 考 没 有 
那么多时间给人运算 , 所 以 很 难 想 象 这 个 题 目有 人 

∞   , 过 原 点 O作 直 线 Q  Q   的垂线 0 1 9 , 垂 足 为 D, 求 
点 D 的 轨迹 方 程 .   第 一 个 小 问 根 据 目标 很 容 易 找 到 突 破 口 — —  

能 在 给 定 的时 间 内 用 一 般 方 法 做 出 来 . 以 下 便 是 标 
准答案 , 大家 可 以看 看 有 多 复 杂 .   ( Ⅱ)解 法 1   设点 D的坐标为 ( z o , y o ) .  

利 用 椭 圆 的 一 些 几 何 性 质来 推 出椭 圆形 状 参 数 的 关 
系, 于 是 便 自然 而 然 地 产 生 了 以下 的几 种 解 法 .   ( I) 证 法 1   由题 设 A Fz 上F   F 2 及 F1 ( 一C ,  

当y o ≠ 0时 , 由O D_ l I Q   Q   知, 直线 Q   Q2 的 斜 
率为 一 x 2 o _ , 所 以直线 Q 1   Q 2 的 方 程 为 y 一一  ( z— 
y o   yo  

o ) ,   ( c , O ) , 不妨 设点 A( c ,  ) , 其 中 > 0 . 由于点 A  
c z   y   Z


z 。 ) +  , 或  一 b + m, 其 中 k一一   , m一殉+堕
3 , o  

.  

在 椭 圆上 ,  
Y 一 一 0


。 n 

扫 

1 , 即 

口 

+ 

D 

一 1 . 解 得 

yo  

点 Q 1 ( z 1 , y   ) ,   ( z 。 ,   )的坐 标 满足 方 程组  f y一 妇 + m ( D  

从 而 得 到 A( c ,   ) .  
y  h   l  

直 线 AF  的方 程 为 Y 一  
( z+ c ) ,整 理 得 
2a c y+ b  C 一 0.  

I  。 +2 y 。一 2 b 。  

② 

将 ① 式代入 ② 式 , 得z   +2 ( b +m)  一 2 b 。 , 整 
理得 ( 1 +2 k   ) z 。 +4 k mx+ 2 m。 一2 b 。一 0 , 于是 
4 k m  2 m  一 2  

一  

由题设 , 原 点 0 到 直 线 

z   十X 2=一 丁  
由 ① 式 得 

  l

’ z  z一 — T   二 _  

A F   的 距 离 为 ÷I   o v   l , 即  
C 

y z: ( b 1+ m) ( 如 2+ m)  

b z   c  
’ 

图 1  



k 。  1 z2 + 
? 

(  1 + z2 )+ m 
+  + 
, 、 |  

3  

将C 。一 n 。 一b 。 代 入 上 式 并 化 简 得  一 2 b   , 即  
d 一   .  

m 一 2 b  k 。  
—   -  

证法 2   同证 法 1 , 得到点 A的坐标为 ( c ,   ) .  

由∞   上∞ z 知z   +y 1 y 2 —0 . 将 ③ 式 和 ④ 

过 点 0作 O B上A F1 , 垂足为 B, 易知 △ F 1 t 3 0   C O  
螂   =  .  

式 代 人 得   王 气  
y o  


: 。 , 3  一 2   。 ( 1 + 志 。 ) .  
yo  

将 k=一塑 , m一   + 堕 代 入 上式 , 整理得 z 3 + 

由椭 圆 定 义 得 l   A F   f + f   A F 。 } 一 2 a ,又  

i   t 3 0   f 一÷ I   O F   l , 所以  
L 3


÷b 。 .  
当y o一 0时 , 直线 Q   Q  的 方 程 为 z — z 。 ,  

褂 f   F   A一 I     2 a   — f   F 2 A   f , ’  

Q   ( z 1 , y 1 ) , Q 2 ( z 2 , y z ) 的 坐 标 满 足 方 程 组 

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?

课 外 园地 ?  

数 学通 讯 ( 2 0 0 8年 第 l 8期)  

4 7  



 

1  

f  2 Y 。一 2 b   . …



所 以 
… 

一   。  

X o ’   。  

满 足 什 么条 件 时 , 对C   上 任 意 一 点 P, 均存 在 以 P为  顶点 与 C o 外切 , 与C  内接 的 平 行 四边 形 ? 并 证 明你 









 
O   r 解 得 5一  6 z .  

的结论.  

由 ∞ 1上 OQ 2知 z 1 z 2   f  Y 1 Y 2— 0 ,即 z 3 一 

解   所 求 条 件 为  + 古一 1  
证 明  必 要 性 : 易 
Y  J  

知, 圆 外 切 平 行 四 边 形 一 

P 

这时, 点 D 的坐标仍满足 5   fY 5一 ÷ 6 。 .   综上, 点 D 的轨迹 方程为  fY 。一 ÷ 6 。 .  

定 是 菱 形 ,圆 心 即 菱 形 
中心 .  

假设 结论成 立 , 则 对 
点( 口 , O ) , 有( 口 , O ) 为 顶 点 
尺 

解法 2   设 点 D 的坐 标 为 ( z 。 , Y 。 ) , 直线0 1 9的  方 程 为  z— z o  一 0 , 由O D上 Q 1 Q z , 垂 足 为 D, 可 
知直线 Q   Q 2的方 程 为 z o Xf Y 。 Y— z 3   f 5 .   记 m一   f 3 ( 显然 m≠ O ) , 点 Ql ( z 1 , Y 1 ) ,  
m  ① 

的菱形 与 C 1内 接 , 与 C o   外 切 .( n , O )的 相 对 顶 点 

图 2  

为( 一。 , O ) , 由于 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 , 另 外  两 个 顶 点 必 在 Y轴 上 , 为( O , 6 )和 ( O , 一6 ) . 菱 形 一 条  边 的方 程 为 三 +  一 1 , 即b xf a y— a b . 由于 菱 形 
与C a 外切 , 故 必 有 
1.  

Q 2 ( z 。 , Y   )的 坐 标 满 足 方 程 组 
f 勘 zf  Y o Y  

I   f  2 y  一 2 b 。  
由 ① 式 得  Y— m— z 。 x   由 ② 式 得 3   f  2 y 5  。一 2  6 。  

② 
③  ④ 

一l , 整 理 得  +  1 — 

将 ③ 式 代入 ④ 式得 Y 5 z  f  2 ( m — 。  )  一   2  b 。 , 整理得 ( 2   +  5 )   一4   。 z +2 m  一2  y ' o 一  
0 , 于 是 
X 1 I 2   一 
一 —

充 分 性 : 设   + 古 一 1 , P 是 c   上 任 意 一 点 , 过  
P、 0作 c  的 弦 P R, 再 过 0作 与 P R 垂 直 的 弦 Qs, 则 

yo 2 2 m  2   _ 2 b z
_


P Q RS 为与 C  内 接 的菱 形 , 设 1   O P   I —r   ,1   0Q   l — 
⑤  ⑨ 

广

r 2 , 则 点 P的 坐标 为 ( r 1   c o s O   s i n O ) 一1 , 点 Q 的 坐标 

由 ① 式得 z o z=   一  Y  
由 ② 式得 z 3 z   +2 x 5 Y 。 一 2 x 5 b  

⑥ 
⑦ 

( r z c o s ( O f导) , Y 2   S i n ( O f导) ) , 代 人 椭 圆 方 程, 得  
( r  ̄ c o s O ) + 
口 

将 ⑥ 式代入 ⑦ 式得 ( m— Y o  )  f  2 x 5 Y  一  
2  b   , 整 理得 ( 2 x 5 +Y 5 )   一2 m y o Y fm   一2 b   z 3 —  
0 , 于 是 


。  

b 0  



l,   ’  

r 2 o o s ( O f 吾) ] 。[ r  ̄ s i n ( O f导) ]  
— —   — 一

.  

m  一2 b   z 5  
yl , Yz 一   .

十 — — —   — 一

一  ’  

于是 ,  

由∞ 1 上∞ 2 知  X z +Y   弛 一0 , 将 ⑤ 式 和 ③  式 代 人 得  2  f 3   +    2 。   f 3 一 ”  。 ,  


l  

1  

1   ,   1  

下十  
c   + 

丁 
川  

十  

即 3 m   一2 6 。 ( z 5 +Y 5 )一 0 .  
0 

将 m— z 5 十   代入 上式 , 得z 3 +   一 ÷b 。 .  
0  0 

s i n 2 ( Of 7 r . )  
上  ! ]  

b 。   1  
一  十  

所 以, 点 D 的轨迹 方程为 z 。 f  3 , 。一 ÷ 6 。 .  
0 

1  


,  
L 

上 面 的解 答 确 实 可 以 说 是 容 易 想 到 , 可 是 很 难  算 出来 , 尤其是 高考考场 上, 而 且 标 准 答 案 给 出 的 两 

又 在 Rt △P O Q 中, 设 点 0到 P Q 的距 离 为 ^, 则 


种解 答都没有逃过运算量大这个 坎.  
当 时 做 了这 道 题 以后 , 我就想 , 有 没 有 什 么好 方 

一 南 1   O P   l   +   1 ∞I 。 一   故 得 ^ 一    


法可以避免这种复杂运算 的过程 呢? 经过 反复思考 ,  
联系过去做过的题 目, 终于有所发现.   我们先来看下 面一道题 :   ( 2 0 0 0年 全 国 高 中联 赛 题 )已 知 C o :   +   一l  


同理 , 点 0到 Q R, R S, S P 的距 离 也 为 1 , 故 菱 形  P Q RS 与 C 。外切 , 充分性得证.  

鉴于 2 0 0 0年联赛 试题的做法 , 我们 不难 迁移到 
2 0 0 7年天 津数 学 高 考 压 轴 题 来 , 于 是 便 产 生 了 一 种  很 简 单 的方 法 :  
( 下转第 4 8页)  

Z  

一2  

和c   :   +告 一 1 ( n >b >0 ) . 试问: 当且仅 当 n , b  

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数学通讯( 2 0 0 8年 第 1 8期 )  

? 课 外 园地 ?  



个 基 本 公 式 的 妙 用  
刘   佩  
( 华中科技大学附中 2 2 0班 ,4 3 0 0 7 4 )  

设8 , b 是正数 ,   为 正 整 数 ,有 基 本 公 式 
扩  一 口 ” 一 ( 6 一n ) ( 扩 + 扩一   口 + … +  +n , 1 )  

① 

众 所 周 知 ,公 式 ① 在 高 中 数 学 中 有 广 泛 的 应  用 .下 面 介绍 它在 证 明 一个 不 等 式 上 的 妙 用 .   命题 设 0<  ≤ 1 ,   为 正整 数 , 试证 :  
( 1 + 三 )  < ( 1+ 


从这个证 明过程中我们看到 , 取 + 1 个 数 十 分  关键 , 有 了这  + 1个 数 , 才 有 可 能 联 想 到 重 要 不 等  式的重要推广 , 使命题得证 .   若我们 用公式 ① , 则 得 到 以 下 比 较 简 洁 的 证 明  方 法 ,其 证 明过 程 如 下 :   设 b> 口> 0 ,由 公 式 ① 有 
b - +  一 口 州 < (  + 1 ) 6 , l ( 6一 n ) ,  

)   .  
1 

整 理 后 得 不 等 式 

关于这一命题 , 我 们 从 许 多 中 学 数 学 竞 赛 书 中 
可 以看 到 如 下 证 法 :  

a n +   >b   E ( n +1 ) a 一 曲]  
现 取 n一 1 + 
n 十 1 

② 

由于  > 0 ,考 虑  + 1 个数 
l, 1+ 点 , l + 三 , … , 1 + 一 3 7,  
挖 

, b 一1 + 兰 ,由 于 (   +1 ) a — 

n b— l , 根 据 不 等 式 ② ,我们 有 

( 1 +三)   <( 1 +÷ 十
共^ 十 

i  

) 计   .  

那么 由几何平均数与算术平均数 的关系式得 
1+ ( 1+ 三 )+ ( 1 + 三 )+ … + ( 1 + 三 )  
, z   挖 

故命题得 证.  

另 外 由 上 述命 题 , 我 们 显 然 有 不 等 式 
1   1  



l  

( 1 +  )  < ( 1 + —  )  
十 i 
1  

③ 

≥√ ( 1 + 詈 )   ,  
所以1 +   十1   ≥( 1 +÷)  .  
又 由 于 0<  ≤ 1 , 那 么 

如果令 如 一 ( 1 +  )  , 那 么 不 等式 ③ 说 明数 列 
, z  

{  ) 是 单 调 递增 数 列 , 这 是 一 个 非 常重 要 的 数 列.  
( 收稿 日期 : 2 0 0 8 一O 3 —2 8 )  

( 1 + 詈 )   <( 1 +   十 i   )  ?  
( 上接 第 4 7页)  
设 Q1 ( n   c o s O , ns i n O ) ,  
Q2 ( r 2 c o s (   +  ) , / ' 2 S i n ( O  ̄ 
J  
一   一  


+ Y 。一  

\Q 、 \ 2   \
~  



詈 ) ) .  
I . . Q 1 ,   在椭圆上 ,  


√ 寺 6   ( 或 者 √ 专   ) ?  
D 的 轨 迹 是 一 个 圆 ,方 程 为 
0 

( - / 1 t o s S ) 。  
—   一  

  I
十  

÷6 。 ( 或者÷口   )  
0 



图3  

( r l   s i n ( / ) ‘  
—   —  

1  

这 种 解 法 既 简 单 又快 捷 , 最可贵的是不易算 错.   由这 种 方 法 , 我 们 还 可 以解 决 下 面 的问 题 :   设 A, B是椭圆 z 。 +3 y 。一 l上 的 两个 动 点 , 且  O A上O B( o为 原 点 ) , 求 I   AB   I 的最大值和最小值.   该 题 留 给 读者 思 考 .   总结 : 通过这次探究 , 我 收 获 不少 . 其实 , 很多题  目都 是 相 通 的 , 只要 自己善于观 察、 联想 , 数 学 就 会  带 给 我 们 意想 不 到 的 收 获 !  
( 收 稿 日期 : 2 0 0 8 ~0 1 —0 3 )  

( r 2   s i n O ) 。 l( r 2 c o s O )  
—  

1  
— h 

十 —  


十 


一  

1 +  1
. 

?


‘ S a m   口 2 一 ÷I ∞ t   I ?   I O Q z     I
一  

l   Q 1 Q 2  

O D  I .  



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