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2017届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学(理)试题


银川一中 2017 届高三年级第二次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:

第Ⅰ卷

(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.满足条件{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是 ? A.8 2.若 z ? 1 ? 2i ,则 A.1 B.7 C.6 D.5

4i ? z z ?1
B.-1 C.i D.-i

3.一个扇形的弧长与面积的数值都是 6,这个扇形中心角的弧度数是 A.1 B.2
2

C.3

D.4

f ( x) ? log 2 ( x ? 2 x ? 3) , x2∈E, 4. <f 已知函数 给定区间 E, 对任意 x1, 当 x1<x2 时, 总有 f (x1) (x2) ,
3

则下列区间可作为 E 的是 A.(﹣3,﹣1) B.(﹣1,0) C.(1,2) D.(3,6)

5.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的形状为

A.锐角三角形
?
10

B.直角三角形

C.钝角三角形 ,则 C.c>a>b

D.不确定

6.若 a ? 2 , b ? log ? 3, c ? log 2 sin A.a>b>c 7.下列命题错误的是 B.b>a>c

?
5

D.b>c>a

2 A. “若方程 x2+x﹣m=0 无实数根, 命题“若 m>0, 则方程 x +x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为: 则 m≤0”

B.“ ? ?

?
6

”是“ sin(? ? 2k? ) ?

1 ”的充分不必要条件 2

C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 p:? x∈R,均有 x2+x+1≥0 D.对于命题 p:? x∈R,使得 x2+x+1<0,则? 8.A 在塔底 D 的正西面,在 A 处测得塔顶 C 的仰角为 45° ,B 在塔底 D 的南偏东 60° 处,在塔顶 C 处测 得到 B 的俯角为 30° ,AB 间距 84 米,则塔高为 A.24 米 B. 12 5 米 C. 12 7 米 D.36 米

9.现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2 的图象(部分)如下:

x

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A.①④③② B.③④②① C.④①②③ D.①④②③

10.函数 y ? g ? x ? 的图像是由函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图像向左平移

? 个单位而得到的,则函数 3

y ? g ? x ? 的图像与直线 x ? 0, x ?
A. ? B.1

2? , x 轴围成的封闭图形的面积为 3
C. 2 D.3

11.已知函数 y=f(x)是(﹣1,1)上的偶函数,且在区间(﹣1,0)上是单调递增的, A,B,C 是锐角三角形△ABC 的三个内角,则下列不等式中一定成立的是 A.f(sinA)>f(sinB) C.f(cosC)>f(sinB) B.f(sinA)>f(cosB) D.f(sinC)>f(cosB)

12.已知 e 为自然对数的底数,若对任意的 x ? [0,1] ,总存在唯一的 y ? [?1,1] ,使得 x ? y 2 e y ? a ? 0 成立, 则实数 a 的取值范围是 A. [1, e] B. (1 ? , e]

1 e

C. (1, e]

D. [1 ? , e]

1 e

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域为 ?0,2 ? ,则函数 y ? 14.已知 sinα+cosα= ,则 sin2α 的值为 .

f ( x) 的定义域为_______. x?2

x ? m, ?| x |, 15.已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 m ? 0 ,若存在实数 b,使得关于 x 的方程 ? x ? 2mx ? 4m, x ? m,

f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是_________. 16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若

2a ? c cos C ? ,b=4,则 a+c 的最大值为 b cos B



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) ? 2 sin( x ?

?
4

) sin( x ?

?
4

)

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程. (2)求函数 f ( x) 在区间 ?? 18.(本小题满分 12 分) 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,CD=2,∠ADC=120° , cos∠CAD=

? ? ?? , ? 上的值域. ? 12 12 ?

5 7 . 14

(1)求 AC 的长; (2)求梯形 ABCD 的高. 19.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ? x ? =alnx+x +bx+1 在点(1,f(1))处的切线方程为 4x?y?12=0.

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求 f ? x ? 的单调区间和极值。 20.(本小题满分 12 分) 如图,银川市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修 建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该 曲线段为函数 y=Asinωx(A>0,ω>0)x∈[0,4]的图 象,且图象的最高点为 S ( 3,2 3 ) ;赛道的后一部分为折 线段 MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120° (1)求 A、ω 的值和 M、P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? x 3 ? x 2 ? ax. (1)若 x ?

2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; 3

(2)若 y ? f ( x) 在 [1,??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? ?1 使方程 f (1 ? x) ? (1 ? x) ?
3

b 有实根,求实数 b 的取值范围. x

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 AB ? AC ,圆 O 是 ?ABC 的外接圆, CD ? AB , B D O C A

E

CE 是圆 O 的直径.过点 B 作圆 O 的切线交 AC 的延长线于
F

点F 。 (1)求证: AB ? CB ? CD ? CE ; (2)若 BC ?

2 , BF ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积。
? x ? 2 cos ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? sin ?

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M 1 、 M 2 的极坐标分别为 ? 1,

? ?? ? 和 ? 2, 0 ? ,直线 M 1M 2 与曲线 C2 相交于 P, Q 两点,射线 ? 2?
1 1 ? 的值. 2 | OA | | OB | 2

OP 与曲线 C1 相交于点 A ,射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B ,求
24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 8 x ? 16 .

(1)求 f ( x) ? f (4) 的解集; (2)设函数 g ( x) ? k ( x ? 3) , k ? R ,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 都成立,求实数 k 的取值范围.

银川一中 2016 届高三第二次月考数学(理科)试卷答案
一.选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 B 6 A 7 C 8 C 9 D 10 D 11 C 12 B

二.填空题: 13.(2,4) 三.解答题 17.解:(I) 14. ?
5 9

15. (3, ??)

16. 8

∴周期

.由

,得

.

∴函数图象的对称轴方程为 (II)∵ x ? [? ∴?
, ] ,∴ 2 x ? ? [? ,0] . 12 12 6 3

?

?

?

?

3 ? ? sin( 2 x ? ) ? 0 2 6

3 ∴ f ( x ) 的值域为 [ ,0] 2

18.解:(1)在△ACD 中,∵cos∠CAD=

,∴sin∠CAD=



由正弦定理得:

,即

=

=2



(2)在△ACD 中,由余弦定理得:AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos120°, 整理得 AD2+2AD﹣24=0,解得 AD=4.过点 D 作 DE⊥AB 于 E, 则 DE 为梯形 ABCD 的高.∵AB∥CD,∠ADC=120°,∴∠BAD=60°. 在直角△ADE 中,DE=AD?sin60°=2 即梯形 ABCD 的高为 19.(1)求导 f ' ( x) ? . .

? f (1) ? b ? 2 ? ?8 a ? 2 x ? b ,由题 f ' (1) ? 4, f (1) ? ?8 则 ? , x ? f ' (1) ? a ? b ? 2 ? 4

解得 ?

?a ? 12 ?b ? ?10

所以 f ( x) ? 12 ln x ? x 2 ? 10 x ? 1 (2) f ( x) 定义域为 (0,??) , f ' ( x) ?

12 2( x 2 ? 5 x ? 6) f ' ( x) ? 0 令 ,解得 x ? 2或x ? 3 , ? 2 x ? 10 ? x x

所以 f ( x) 在区间 (0, 2) 和 (3, ??) 单调递增,在区间 (2,3) 单调递减. 故 f 极大值 ? f (2) ? 12 ln 2 ? 15, f 极小值 ? f (3) ? 12 ln 3 ? 20

20.【解答】

21.解:(I) f ?( x) ?

a ? 3x 2 ? 2 x ? a ax ? 1

?

x[3a 2 ? (3 ? 2a ) x ? (a 2 ? 2)] ax ? 1

?x ?

2 2 为f ( x) 的极值点,? f ?( ) ? 0 3 3

2 2 2 ? 3a ( ) 2 ? (3 ? 2a ) ? (a 2 ? 2) ? 0且 a ? 1 ? 0 ? a ? 0 3 3 3
又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x(3 x ? 2) , 从而 x ?

2 为f ( x) 的极值点成立. 3

(II)因为 f ( x)在[1,??) 上为增函数, 所以

x[3a 2 x ? (3 ? 2a ) x ? (a 2 ? 2)] ? 0在[1,??) 上恒成立. ax ? 1

6分

若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? x(3 x ? 2) ,? f ( x)在[1,??) 上为增函数成立 若 a ? 0,由ax ? 1 ? 0对x ? 1恒成立知a ? 0. 所以 3ax 2 ? (3 ? 2a ) x ? (a 2 ? 2) ? 0对x ? [1,??) 上恒成立. 令 g ( x) ? 3ax 2 ? (3 ? 2a ) x ? (a 2 ? 2) , 其对称轴为 x ? 因为 a ? 0, 所以 ?

1 1 ? , 3 2a

1 3

1 1 ? , 从而 g ( x)在[1,??) 上为增函数. 2a 3

所以只要 g (1) ? 0 即可,即 ? a 2 ? a ? 1 ? 0 所以

1? 5 1? 5 1? 5 又因为 0 ? a ? ?a? 2 2 2
3

8分

(III)若 a ? ?1 时,方程 f (1 ? x) ? (1 ? x) ? 可得 ln x ? (1 ? x) ? (1 ? x) ?
2

b x

b x

即 b ? x ln x ? x(1 ? x) 2 ? x(1 ? x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 在x ? 0 上有解 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 的值域. 法一: b ? x(ln x ? x ? x 2 ) 令 h( x) ? ln x ? x ? x 2 由 h ?( x) ?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x

? x ? 0 ?当0 ? x ? 1时, h?( x) ? 0 ,

从而 h( x)在(0,1) 上为增函数;当 x ? 1时, h ?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数.

? h( x) ? h(1) ? 0, 而h( x) 可以无穷小.? b的取值范围为(??,0]
法二: g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3 x g ??( x) ?
2

15 分

1 6x 2 ? 2x ? 1 ? 2 ? 6x ? ? x x

当0 ? x ? 当x ?

1? 7 1? 7 上递增; 时, g ??( x) ? 0 ,所以 g ?( x)在0 ? x ? 6 6

1? 7 1? 7 上递减; 时, g ??( x) ? 0, 所以 g ?( x)在c ? 6 6 1 ? 7 ?当0 ? x ? x 时, g ?( x) ? 0, 0 6

又 g ?(1) ? 0,? 令g ?( x 0 ) ? 0,0 ? x 0 ?

所以 g ( x)在0 ? x ? x 0 上递减;当 x 0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x)在x 0 ? x ? 1 上递增;当 x ? 0时, g ( x) ? 0, 所以g ( x)在x ? 1 上递减;

又当 x ? ??时, g ( x) ? ?? ,

1 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x(ln x ? x ? x 2 ) ? x(ln x ? ) 4
当 x ? 0时, ln x ?

1 ? 0, 则 g ( x) ? 0, 且g (1) ? 0 所以 b的取值范围为(??,0] 4

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解 析 : ( 1 ) 连 接 AE , ∵CE 是 直 径 , ∴ ?CAE ? 90? , 又 CD ? AB , ∴ ?CDB ? 90? , ∵

?CBD ? ?CEA , 故 Rt ?CBD ~ Rt? CEA ∴
∴ AB ? CB ? CD ? CE (5 分)

CD AC ? , ∴ AC ? CB ? CD ? CE CB CE

又 AB ? AC ,

(2)? FB 是 ? ? 的切线,??CBF ? ?CAB ? 在 ?ABF 和 ?BCF 中, ?

??FAB ? ?FBC , ??AFB ? ?CFB
B D O C A E

FB AF 2 2 ? ? ? 2 ,? FA ? 2 AB ? 2 AC , ??ABF ? ?BCF ? BC AB 2

? AC ? CF 设 AC ? x ,则根据切割线定理有 FA ? FC ? FB 2 ? x ? 2 x ? 8 ,? x ? 2 ,

F

1 1 7 .(10 分) ? S ?ABC ? ? 2 ? 4 ? ? 2 2 2
x2 ? 2 cos 2 ? ? y 2 ? 1 ,化成极坐标方程为 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 -----------3 分 曲 4 4
2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (1) 曲线 C1 的普通方程为

线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? 1

……………5 分
2

(2)在直角坐标系下, M 1 ? 0,1? , M 2 ? 2, 0 ? ,线段 PQ 是圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 的直径

? ?POQ ? 90?

由 OP ? OQ

得 OA ? OB A, B 是 椭 圆

x2 ? y2 ? 1 上 的 两 点 , 在 极 坐 标 下 , 设 4

?? ? ? 2 cos 2 ? A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ? ? 分别代入 1 ? ?12 sin 2 ? ? 1 中, 2? ? 4


?12 cos 2 ?
4

? ?12 sin 2 ? ? 1



? 2 2 cos 2 ? ? ?

? ? 4

??

1 cos 2 ? 1 sin 2 ? 2 ? ? ? ? sin ? , ? ? cos 2 ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 2 sin 2 ? ? ? ? ? 1 ?12 4 ?2 4 2? ?




1

?12

?

1

?22

?

5 , 4

1 OA
2

?

1 OB
2

?

5 . 4

……………10 分

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 解:(1) f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 8 x ? 16 ? ( x ? 3) 2 ? ( x ? 4)2 ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | ,

∴ f ( x) ≥ f (4) ,即 | x ? 3 | ? | x ? 4 | ≥ 9 ,

(2 分)

? x ≤ ?4, ??4 ? x ? 3, ? x ≥ 3, ∴? ① 或? ② 或? ③ ?3 ? x ? x ? 4 ≥ 9 ?3 ? x ? x ? 4 ≥ 9 ? x ? 3 ? x ? 4 ≥ 9,

解得不等式①: x ≤ ?5 ;②:无解;③: x ≥ 4 , 所以 f ( x) ≥ f (4) 的解集为 {x | x ≤ ?5 或 x ≥ 4} . (5 分) (6 分)

(2) f ( x) ? g ( x) 即 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | 的图象恒在 g ( x) ? k ( x ? 3) 图象的上方,
??2 x ? 1, x ≤ ?4, ? 可以作出 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? ?7, ? 4 ? x ? 3, 的图象, ?2 x ? 1, x ≥ 3 ?

而 g ( x) ? k ( x ? 3) 图象为恒过定点 P(3, 0) ,且斜率 k 变化的一条直线, 作出函数 y ? f ( x), y ? g ( x) 图象如图 3, (8 分)其中 k PB ? 2,
A(?4, 7) ,∴ k PA ? ?1 ,由图可知,要使得 f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图

象的上方,实数 k 的取值范围应该为 ?1 ? k ≤ 2 .

(10 分)


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