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立体几何学习中的图形观



立体几何学习中的图形观
立体几何的学习离不开图形,图形是一种语言,图形能帮我们直观地感受空间 线面的位置关系, 培养空间想象能力. 所以在立体几何的学习中, 我们要树立图形观, 通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力. 一、作图 作图是立体几何学习中的基本功,对培养空间概念也有积极的意义,而且在作 图时还要用到许多空间线面的关系.所以作图是解决立体几何

问题的第一步,作好图 有利于问题的解决. 例1 已知正方体 中,点 P、E、F 分别是棱 AB、BC、 中点(如图 1).作出过点 P、E、F 三点的正方体的截面. 的

分析:作图是学生学习中的一个弱点,作多面体的截面又是作图中的难点.学 生看到这样的题目不知所云. 有的学生连结 P、 E、 F 得三角形以为就是所求的截面. 其 实,作截面就是找两个平面的交线,找交线只要找到交线上的两点即可.观察所给的 条件(如图 2),发现 PE 就是一条交线.又因为平面 ABCD//平面 面平行的性质可得,截面和面 故取 的交线一定和 PE 平行.而 F 是 ,由面 的中点,

的中点 Q,则 FQ 也是一条交线.再延长 FQ 和

的延长线交于一点 M,由

公理 3,点 M 在平面 和平面 的交线上,连 PM 交 于点 K,则 QK 和 KP 又是两条交线. 同理可以找到 FR 和 RE 两条交线 (如图 2).因此, 六边形 PERFQK 就是所求的截面.

二、读图

图形中往往包含着深刻的意义,对图形理解的程度影响着我们的正确解题,所 以读懂图形是解决问题的重要一环. 例2 如图 3, 在棱长为 a 的正方体 上的定点,P 在 中, EF 是棱 AB 上的一条 上滑动,则四面体 PQEF 的体

线段,且 EF=b<a,若 Q 是 积( ).

(A)是变量且有最大值 (B)是变量且有最小值 (C)是变量无最大最小值 (D)是常量 分析:此题的解决需要我们仔细分析图形的特点.这个图形有很多不确定因素, 线段 EF 的位置不定,点 P 在滑动,但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定 因素?求四面体的体积要具备哪些条件? 仔细观察图形,应该以哪个面为底面?观察 ,我们发现它的形状位置是 要变化的,但是底边 EF 是定值,且 P 到 EF 的距离也是定值,故它的面积是定值.再 发现点 Q 到面 PEF 的距离也是定值.因此,四面体 PQEF 的体积是定值.我们没有一 点计算,对图形的分析帮助我们解决了问题. 三、用图 在立体几何的学习中,我们会遇到许多似是而非的结论.要证明它我们一时无 法完成,这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻结论,这样的图形就是反例 图形.若我们的心中有这样的反例图形,那就可以帮助我们迅速作出判断. 例3 判断下面的命题是否正确:底面是正三角形且相邻两侧面所成的二面角 都相等的三棱椎是正三棱锥. 分析:这是一个学生很容易判断错误的问题.大家认为该命题正确,其实是错 误的,但大家一时举不出例子来加以说明.问题的关键是二面角相等很难处理.我们 是否可以考虑用一个正三棱锥通过变形得到?

如图 4, 设正三棱锥 的侧面等腰三角形 PAB 的顶角是 , 底角是 , 作 的平分线,交 PA 于 E,连接 EC.可以证明 是等腰三角形,所以 AB= BE.同理 EC=AB.那么,△EBC 是正三角形,从而 就是满足题设的三棱锥, 但不是正三棱锥. 四、造图 在立体几何的学习中,我们可以根据题目的特征,精心构造一个相应的特殊几 何模型,将陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题. 例4 设 a、b、c 是两两异面的三条直线,已知 ,且 d 是 a、b 的公垂线, 如果 ,那么 c 与 d 的位置关系是( ). (A)相交 (B)平行 (C)异面 (D)异面 或平行 分析:判断空间直线的位置关系,最佳方法是构造恰当的几何图形,它具有直 观和易于判断的优点. 根据本题的特点, 可以考虑构造正方体, 如图 5, 在正方体 中, 令 AB=a,BC=d, c 与 d 异面,故选 D. .当 c 为直线 时,c 与 d 平行;当 c 为直线 时,

五、拼图 空间基本图形由点、线、面构成,而一些特殊的图形也可以通过基本图形拼接 得到.在拼图的过程中,我们会发现一些变和不变的东西,从中感悟出这个图形的特 点,找出解决待求解问题的方法. 例5 给出任意的一块三角形纸片,要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全 面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种方案,并加以简要的说明. 分析:这是 2002 年高考立体几何题中的一部分.这个设计新颖的题目,使许多 平时做惯了证明、计算题的学生一筹莫展.这是一道动作题,但它不仅是简单的剪剪 拼拼的动作,更重要的是一种心灵的“动作”,思维的“动作”.受题目叙述的影响, 大家往往在想如何折起来?参考答案也是给了一种折的方法. 那么这种方法究竟从何 而来?其实逆向思维是这题的一个很好的切人点.我们思考:展开一个直三棱柱,如 何还原成一个三角形?

把一个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部分,甲内部的三角形和乙是全等的, 甲的三角形外是宽相等的三个矩形.现在的问题是能否把乙分为三部分,补在甲的三

个角上正好成为一个三角形(如图丙)?因为甲中三角形外是宽相等的矩形,所以三 角形的顶点应该在原三角形的三条角平分线上,又由于面积要相等,所以甲中的三角 形的顶点应该在原三角形的内心和顶点的连线段的中点上 (如图丁) . 按这样的设计, 剪开后可以折成一个直三棱柱. 六、变图 几何图形千变万化,在不断的变化中展示几何图形的魅力,在不断的变化中培 养我们的能力,在有意无意的变化中开阔我们的思路. 例6 已知在三棱锥 中,PA=a,AB=AC=2a, ,求三棱锥 的体积.

分析:此题的解决方法很多,但切割是不错的选择. 思路 1 设 D 为 AB 的中点,依题意有: , ,所以有:

此解法实际上是把三棱锥 一分为二,三棱锥 B-PAD 的底面是直角三角 形,高就是 BD,从而大大简化了计算.这种分割的方法也是立体几何解题中的一种 重要策略.它化复杂为简单,化未知为已知. 思路 2 从点 A 出发的三条棱两两夹角为 ,故可补形为正四面体.

如图,延长 AP 至 S,使 PA=PS,连 SB、SC,于是四面体 S-ABC 为边长等于 2a 的正四面体,而且 从上述的六个方面,我们可以看到,在立体几何的学习中如果我们能正确了解 图形,合理利用图形,不断变化图形,一定可以使我们的学习更上一个台阶.



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