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高三一模填选难题解析(普陀、长宁、嘉定、静安、闸北、宝山)



高三一模客观压轴题汇编 (普陀、长宁、嘉定、静安、闸北、宝山) 填空题
1.(2014 年普陀一模文理 12)已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8} ,在 U 中任取四个元素组成的集合记为

A ? {a1 , a2 , a3 , a4 },余下的四个元素组成的集合记为 CU A ? {b1 , b2 , b3 , b4 } ,

/>若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则集合 A 的取法共有 答案:31 详解:可根据枚举法进行解题. 正面枚举:利用 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b 4 ? 36 以及 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 可知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 18 ,进行枚举(依据字典排序) 种.

?4 ?5 ? ? 1, 2,3, ?6; ?7 ? ? ?8

?5 ?5 ?6 ?6 ?6 ?6 ?7 ?7 ? ? ? ? 1, 2, 4, ? ; 1, 2,5, ?7 ; 1, 2,6, ? ; 1,3, 4, ? ; 1,3,5, ?7 ; 1,3,6, ? ; ?8 ?8 ?8 ?8 ?7 ?7 ? ? ? ? ?8 ?8 ?5 ?6 ?6 ? 2,3, 4, ? ; 2,3,5 ? ; 总共 31 种; ?7 ?7 ? ?8

?6 1, 4,5, ? ; ?7

反面枚举:由于对称性可知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 与 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4
4 对应的情况应该是相同的,所以只需要算出总数: C8 =70 ,以及 a1 ? a2 ? a3 ? a4 =b1 ? b2 ? b3 ? b 4 的

1,3,6,8; 总数即可 a1 ? a2 ? a3 ? a4 =b1 ? b2 ? b3 ? b 4 =18 ,则 a1 , a2 , a3 , a4 可为 1, 2,7,8; 1, 4, ?

?6 7 ; ?5 8

?6 7 70 ? 8 ? 31 . 2, 4,5, 7; 3, 4,5, 6; 总共 8 种,故 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 的情况为 2,3 ? ; 2 ?5 8
教法指导:本题主要考查了排列组合问题中枚举的应用,注意点是枚举过程中要寻到一条准线,按照这 条准线来枚举做到不重不漏;另外就是需要注意问题化归(像反面进行枚举就是抓住大于以 及小于的情况一样,所以可以从等于入手)

1

BSC SH

2.(2014 年普陀一模文理 14) 已知函数 f ( x) ? ? 则实数 a 的取值范围是 答案: a ? 2 .

?2 x ? a , x ? 0 ? f ( x ? 1), x ? 0

,若方程 f ( x) ? x ? 0 有且仅有两个解,

详解:本题考查了函数的有关性质.若方程 f(x)+x=0 有且仅有两个解,令 h(x)=-x,则 h(x) 图像与 f ( x ) 图 像有且仅有两个交点,即 f(x)+a 与-x+a 图像有两个交点.如图所示:易知 a<2.

教法指导:本题是一个典型的数形结合的问题,将方程的根的问题转化为两个函数图像的交点问题, 注意如何构造两个函数尤为重要.

3.(2014 年长宁一模文 14)设 a 为非零实数,偶函数 f ( x) ? x2 ? a | x ? m | ?1 (x?R)在区间(2,3)上存在 唯一零点,则实数 a 的取值范围是 答案: ( ? .

10 5 ,? ) 3 2

详解:(方法一) f ( x) ? x2 ? a | x ? m | ?1 与 y ? x2 ? 1 为偶函数,故 y ? a | x ? m | 为偶函数, a ? 0 ,
2 故 m ? 0 . f ( x) ? x ? a | x | ?1在(2,3)上存在唯一零点可转化为 y ? a, y ? ?( x ? ) 在(2,3)上

1 x

有唯一交点.通过图形易知 ?

10 5 ?a?? . 3 2

(方法二) f ( x) ? x2 ? a | x ? m | ?1 与 y ? x2 ? 1 为偶函数,故 y ? a | x ? m | 为偶函数, a ? 0 , 故 m ? 0 . f ( x) ? x2 ? a | x | ?1在(2,3)上存在唯一零点可转化为 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 在(2,3)上 有唯一零点. (1) 考虑 x ? ax ? 1=0 中 ? =0 的情况,此时方程的根为 x ? 1 不符合条件;
2

(2) 考虑两个端点异号 f (2) f (3) ? 0 【利用根的存在性定理】 (5+2a)(10 ? 3a) ? 0 得 ? (3) 考虑两个端点其中一个函数值为 0 的情况,

10 5 ?a?? ; 3 2

5 5 1 f (2)=0 得 a ? ? , f ( x) ? x 2 ? x ? 1 零点为 x ? 2 与 x ? ,不符合条件; 2 2 2
2 BSC SH

10 10 1 2 x ? 1 零点为 x ? 3 与 x ? ,不符合条件; , f ( x) ? x ? 3 3 3 10 5 ?a?? 综上: ? 3 2

f (3)=0 得 a ? ?

教法指导:本题考查了特殊函数(二次函数)的零点问题,该类问题一方面可以利用参变分离转化为两个 函数的交点问题,特别是有解与一解问题利用此方法就很简洁明了,并且很直观.对于方法二中利用根的 分布思考时容易遗漏情况(3) ,所以老师在讲这类方法时需要举出另一个容易漏解的例子. 变式:函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? a 在 (0,3) 上有一个零点,求 a 的范围. 答案: (0,3] {4} .

4.(2014 年长宁一模理 14)定义: min ?a1 , a2 , a3 ,

, an ? 表示 a1 , a2 , a3 ,

, an 中的最小值.若定义
? f (2n ? 1) ? f (2n) ? kf (n)

f ( x) ? min x , 5 ? x , x 2 ? 2 x ? 1 ,对于任意的 n ? N? ,均有 f (1) ? f (2) ?
成立,则常数 k 的取值范围是 答案: [ ? .

?

?

1 ,0 ] 2

详解:本题考查了分段函数,不等式恒成立问题.由题意得,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 3 ? 5 ? x, x ? 3



所以 f (1) ? ?2 , f (2) ? ?1 , f (3) ? 2 , f (4) ? 1 , f (5) ? 0 , f (6) ? ?1 ,? 则当 n ? 1 时, f (1) ? f (2) ? kf (1) ,即 ?3 ? ?2k ,解得 k ?

3 ; 2

当 n ? 2 时, f (1) ? f (2)+f (3) ? f (4) ? kf (2) ,即 0 ? ? k ,解得 k ? 0 ; 当 n ? 3 时, f (1) ? f (2)+f (3)+ 当 n ? 4 时, f (1) ? f (2)+f (3)+ 当 n ? 5 时, f (1) ? f (2)+f (3)+

1 ? f (6) ? kf (3) ,即 -1 ? 2k ,解得 k ? - ; 2
? f (8) ? kf (4) ,即 -6 ? k ,解得 k ? -6 ; ? f (10) ? kf (5) ,即 ?15 ? 0 ,恒成立;

当 n ? 6 时, k ? 32 ;故 n ? 6 时, k 的取值应都是小于等于一个正数.综上所述, 要使 f (1) ? f (2)+

+f (2n ?1) ? f (2n) ? kf (n) 恒成立,则 k 的取值范围应取上述

所求解的交集,即 ? ?

? 1 ? ,0 . ? 2 ? ?

教法指导:本题考查了数列的恒成立问题,若利用参变分离亦可解决,不过计算量上偏大, 而且需要分段清晰.

3

BSC SH

5.(2014 年嘉定一模理 13 文 14)已知函数 f ( x) ? ?

2 ? ?ax ? 2 x ? 1 , x ? 0 , 是偶函数,直线 y ? t 与函数 2 ? ? x ? bx ? c , x ? 0 ?

f ( x) 的图像自左至右依次交于四个不同点 A 、 B 、 C 、 D ,若 | AB |?| BC | ,则实数 t 的值为________.
答案:

7 4

详解:由函数 f ( x ) 是偶函数可知 f ( x) ? f (? x) ,
2 即 f ( x) ? ax2 ? 2x+1 ? a(? x)2 ? 2(? x) ? ax2 ? 2 x ? f (? x) ? ? x ?bx +c ,故 a ? ?1, b ? ?2 , c ? 1 ,

则 f ( x) ? ?

?? x 2 ? 2 x ? 1, x …0 ? ? x ? 2 x ? 1, x ? 0
2

, 由函数图像可知:①当 x …0 时,?

y ?t , 解得 x ? 1 ? 2 ? t , ?? x ? 2 x ? 1 ? y ?
2

故 C 点坐标为 (1 ? 2 ? t , t ) ②当 x ? 0 时, ?

y ?t ,解得 x ? ?1 ? 2 ? t . ?? x ? 2 x ? 1 ? y ?
2

因为 AB ? BC 可知, 2 ? 2 2 ? t ? 2 2 ? t ,得 t ?

7 . 4

第 5 题图 教法指导:本题主要考查了函数奇偶性以及方程求解能力,如果刻意去用韦达定理求解会陷入死胡同. 6. (2014 年嘉定一模理 14) 某种平面分形图如下图所示, 一级分形图是一个边长为 1 的等边三角形 (图 ( 1) ) ; 二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形, 然后去掉底边(图(2) ) ;将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的作图方法,得到三级分形图 (图 (3) ) ; ?; 重复上述作图方法, 依次得到四级、 五级、 ?、n 级分形图. 则 n 级分形图的周长为_____.

??

图 (1) 答案: 3 ? ? ?

?4? ?3?

n ?1

图 (2)

图 (3)

详解:注意观察每个分形图的线段长度会在下一级分形图中变为

4 倍的折线;一级分形图的图形周长为 3
BSC SH

4

?4? ?4? ? 4? 3 ? 3? ? ? , 二 级 分 形 图 的 图 形 周 长 为 4 ? 3? ? ? ? 3? ? ? ?3? ? 3? ?3? 16 ? 4? ?4? ? 3? ? ? ? 3? ? ? 3 ?3? ?3?
2 3?1

0

1

2? 1

,三级分形图的图形周长为
n ?1



,故 n 级分形图的图形周长为 3 ? ?

?4? ? ?3?

.

教法指导:本题主要针对于孩子的归纳推理能力进行考查,重点需要注意相邻两个图形之间的关系, 采用特殊化归纳得到一般的结论. 7.(2014 年静安一模理 12)

答案: 2 详解: (方法一)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , PA 的直线方程为 y ? kx ? 2 ? k ,则 PB 的直线方程为

x2 y 2 ? 1 联立得:? 2 ? k 2 ? x2 ? 2k y ? ?kx ? 2 ? k,分别与椭圆方程 ? 2 4

?

2 ?k x?

? ?

2 ?k

?

2

?4 ? 0

k 2 ? 2 2k ? 2 k 2 ? 2 2k ? 2 由题知,1 是方程的一个根,根据根与系数的关系得: x1 ? ,同理 x2 ? , 2 ? k2 2 ? k2
则 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 4 4 2k , x2 ? x1 ? ,则 AB 的斜率为 2 2?k 2 ? k2

2k 2 ? 4 ?k ? ? 2k y2 ? y1 ?k ? x2 ? x1 ? ? 2k 2 ? k2 ? ? 2. ? x2 ? x1 x2 ? x1 4 2k 2 ? k2
(方法二)利用特殊值将 PA 斜率设为 1 则 PB 斜率为-1,从而联立求解. (方法三) 利用图形中的极限位置思考,考虑 PA 、 PB 重合的情况;即过 P 点做 x 轴垂直的情况,交于 椭圆与另外一点 P?(1, ? 2) ,则 AB 的斜率即过 P? 的切线斜率 k ,利用 kOP k ? ? 可得 k ?

b2 ? ?2 a2

2

教法指导:孩子需要熟练掌握直线与圆锥曲线联立韦达定理的应用,同时也得在填选的技巧中 记忆一些小结论. 8.(2014 年静安一模理 14)
5 BSC SH

答案: b ? 4, a ? b ? 4 详解:

3 2 4 x ? 3x ? 4 ? x 得 3x2 ? 16 x ? 16 ? 0 所以 ?3x ? 4?? x ? 4? ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 4 . 3 4 3 2 4 4 8 4 3 2 3 2 当 x ? 3 x ? 4 ? 时,解得 x ? 或 x ? ,因为 x ? 3 x ? 4 ? ( x ? 2) ? 1 …1 ,而 ? 1 , 3 3 3 4 3 4 4 4 8 3 2 因此 a ? , b ? 不合题意.当 x ? 3 x ? 4 ? 4 时,解得 x ? 0 或 x ? 4 ,而 0 ? 1 , 3 3 4 所以 a ? 0,b ? 4 ,则 a ? b ? 0 ? 4 ? 4. 3 2 (方法二)将不等式解集问题转化为方程根的问题,可看做 f ( x) ? x ? 3x ? 4 夹在 y ? a 与 y ? b 4
(方法一)由

? f min ? a ? 部分的图像对应的 x 的范围为 [ a, b] ,由图像易知: ? f ( a ) ? b 可解得 a ? 0,b ? 4 ? f (b) ? b ?
教法指导:本题第二个方法相对简单直观,许多学生会把问题进行错误转换: f ( x) ?

3 2 x ? 3x ? 4 4

在 [ a, b] 上的值域为 [ a, b] ,进而求出错误的答案,注意问题等价转换,并且注意不等式的 解集与对应方程的根的联系. 9.(2014 年闸北一模理 9) 设 a ? 0, a ? 1 ,已知函数 f ( x) ? a ? 2 sin 2? x ? 2,( x ? 0) 至少有 5 个零点,则 a 的取值范围为
x

答案: (0,1) ? (1, 2)
x 详解:即函数 y ? 2 sin 2? x 与 y ? 2 ? a 在 x ? (0, ??) 上的交点个数,分两种情况 0 ? a ? 1 和 a ? 1 ;

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, ??) 两个函数图像有无数个交点,如下图所示

x 当 a ? 1 时,如下图所示,在 x ? (0, ??) 要至少有 5 个零点,函数 y ? 2 ? a 在 x ? 1 处要大于 0

即 2 ? a ? 0, a ? 2 ,综上所述, a ? (0,1) ? (1, 2) 教法指导:这是一道典型的数形结合的题型,将零点问题转化成函数的交点个数问题,注意理解题意,审
6 BSC SH

清题意,以及数与形之间的转化

变式练习(2014 年闸北区一模文科 9) 设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? a x ? 2 | sin 2?x | ?2 ( x ? 0 )有四个零点,则 a 的值为 答案:2 详解:如下图所示,函数 y ? 2 ? a x 在 x ? 1 处要等于 0

10. (2014 年闸北一模理 10) 设曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 3( x ? y ) ,则曲线 C 所围封闭图形的面积为 答案:

32 ? ?8 3 3

详解:因为图像关于 x 轴、 y 轴对称,所以可以先画第一象限的图像,第一象限 x ? 0, y ? 0 ,绝对值 直接去掉,可得一段圆弧,然后关于 x 轴、 y 轴对称翻折,得到如下图像,根据题目数据, 可得 ?ABC ? 150? , AB ? 2 ,可以先算第一象限的面积,由一个扇形与一个四边形构成, 然后再乘以 4,全面积为

32 ? ?8 3 3

教法指导:方程图像问题,含绝对值,所以根据象限分类讨论,根据相关性质画出方程图像, 割补法求面积

变式练习(2014 年闸北区一模文科 10) 由曲线 x ? y ?| x | ? | y | 所围成的封闭图形的面积为
2 2

答案: 2 ? ? 详解:根据题意,如下图,有四个半圆面积和一个正方形面积构成

7

BSC SH

11. (2014 年宝山一模理 14) 关于函数 f ( x) ?

x x ?1

,给出下列四个命题: ②方程 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 一定有解;

①当 x ? 0 时, y ? f ( x) 单调递减且没有最值;

③如果方程 f ( x) ? k 有解,则解的个数一定是偶数; ④ y ? f ( x) 是偶函数且有最小值; 则其中真命题是 答案:②④ 详解:含绝对值,分类讨论,先画 x ? 1 和 0 ? x ? 1 的部分,然后根据偶函数画出左半部分, 函数图像如下图:

①明显错误;③ k ? 0 时,解的个数为 1;所以选②④ 教法指导:含绝对值数形结合题型,根据绝对值内的情况,进行分类讨论,结合函数性质,根据函数图象 进行分析甄别

选择题
1.(2014 年静安一模理 18)

答案:D 详解:如图,在直线 l1 与直线 l2 处时,直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, 2? 内恰有两个交点,直线 l2 与
8 BSC SH

1 1 y ? x2 相切,联立解得 a1 ? ? ,明显直线 l1 过原点,即 a2 ? 0 ,综上, a 的值是 0 或 ? . 4 4

教法指导:该题目比较简单,考查学生对于周期函数的理解以及数形结合的应用. 2.(2014 年长宁一模文理 18)函数 y ? 2 的定义域为 [a, b] ,值域为 [1,16] , a 变动时, 方程 b ? g (a) 表示的图形可以是 ( )
x

b 4 -4 O a -4 O 4

b 4 a -4 O C.

b

b 4 a -4 O a

A. 答案: B

B.

D.

详解: 本题考查了函数的图像.若 a ? 0 , 则b ? a ? 0 , ∴ y ? 2 在定义域 [ a, b] 上的值域不可能为[1,16],
x
4 ∴ a ? 0 .又∵ 2 =1 , 2 =16 ,∴当 a =0 时, b ? 4 ;当 ?4 ? a ? 0 时, b ? 4 ;当 a ? ?4 时, 0 ? b ? 4 .
0

故选 B. 教法指导:主要针对于函数值域一定的情况下求定义域,注意定义域的不确定性,可以结合图像夹在

y ? 1, y ? 16 之间进行定义域的选取.
3.(2014 年嘉定一模理 18)设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足: ① f ( x) 在 [a , b] 上是单调函数;② f ( x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] ; 则称区间 [a , b] 是函数 f ( x) 的“和谐区间” .下列结论错误的是( A.函数 f ( x) ? x 2 ( x ? 0 )存在“和谐区间” B.函数 f ( x) ? e x ( x ? R )不存在“和谐区间”
9 BSC SH



C.函数 f ( x ) ?

4x ( x ? 0 )存在“和谐区间” x ?1
2

D.函数 f ( x) ? loga ? a ? ? ( a ? 0 , a ? 1 )不存在“和谐区间”
x

? ?

1? 8?

答案: D 详解:利用 f (x) 与 y ? 2 x 的交点易知: A 中函数 f ? x ? ? x2 在区间 ? 0, 2? 上单调递增, 且其值域为 ? 0, 4? , 故存在 “和谐区间” ; B 中函数 f ? x ? ? ex 在 x ? R 上单调递增,且不存在“和谐区间” ;C 中函数 f ? x ? ? 为 ? 0, 2? ,故存在“和谐区间” ;D 中函数,当 x ? ?log a

4x 在区间 ?0,1? 上单调递增,且其值域 x ?1
2

? ?

2? 2 2? 2? , log a ? 上时, 4 4 ?

? 3? 2 2 3? 2 2 ? ? 2? 2 2? 2? y ? ?log a , log a , 2 log a ? ? ? 2 log a ? ,故满足 “和谐区间”的定义, 8 8 ? ? 4 4 ? ?
即存在“和谐区间” ,综上,D 选项错误. 教法指导:本题主要按照新定义去求解一些问题即可,注意将问题转换为函数 f (x) 与 y ? 2 x 相交的问题 4.(2014 年普陀一模文理 18) 若 Ai ( i ? 1,2,3,?, n )是 ?AOB 所在的平面内的点,且 OA i ? OB ? OA ? OB .给出下列说法: ① | OA 1 |?| OA 2 |? ? ?| OA n |?| OA | ;② | OAi | 的最小值一定是 | OB | ;

A B
第 18 题

② ③点 A 、 Ai 在一条直线上;④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是( )

O

( A) 1个.
答案: B

( B ) 2 个.

(C ) 3 个.

( D ) 4 个.

详解:本题考查了平面向量的有关知识.如图,过点 A 作直线 l ? OB 于点 C,依题意知点 Ai 在直线 l 上, 可知①错误, | OAi | 的最小值可能为 OC,②错误;③④正确.

第 4 题图 教法指导:主要针对于向量投影的概念进行考查,注意在向量数量积中已知其中一个向量,另外一个向量
10 BSC SH

模长与夹角皆不知,则数量积可以利用其几何意义思考.

5.(2014 年闸北一模理 13) 给出下列等式: 1 ? 2 ? 3 , 1
3 3 2

3

? 23 ? 33 ? 6 2 , 13 ? 23 ? 33 ? 4 4 ? 102 ,……
n ??

现设 1

3

? 23 ? 33 ? ... ? n3 ? an , n ? N * , n ? 2 ,则 lim(
B. 2 C. 1 D. 0

2

1 1 1 ? ? ... ? ) ? ( a2 a3 an



A.4 答案:C

详解: 解法一: 降次累加法, 得到 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
3 3 3 3

1 2 1 1 2 n (n ? 1) 2 , 所以 an ? n( n ? 1) , ? , 4 2 an n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ) = 2?( ? ), = 2 ? ( ? ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 a2 a3 an 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)
综上 lim(
n ??

1 1 1 ? ? ... ? ) ? 1 a2 a3 an
3 3 3 3

解法二:观察归纳,得到得到 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? [

n(n ? 1) 2 ] ,然后解法如上 2

教法指导:解法一中的“降次累加法”一般学生都不知道,还是让学生观察归纳一下,总结规律较好 变式练习(2014 年闸北区一模文科 13) 给出下列等式: 1 ? 2 ? 3 , 1
3 3 2

3

? 23 ? 33 ? 6 2 , 13 ? 23 ? 33 ? 4 4 ? 102 ,……
*

n2 现设 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? an , n ? N , n ? 2 ,则 lim ?( n ?? a n
3 3 3 3 2

) D. 4

A. 0 答案:C

B. 1

C. 2

11

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