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广东省佛山一中2013届高三第二次段考数学(文)试题



佛山一中 2013 届高三第二次段考 数学(文)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 y ? 1 ? 2x 的定义域为集合 A ,函数 y ? ln ? 2x ? 1? 的定义域为集合 B ,则 A ? B ? ( A. ? ? )

? 1 1? , ? 2 2? ?

B. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?
n

C. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

D. ? , ?? ? )

?1 ?2

? ?

2.已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? ?1? A. ?55 B. ?5 C.5

? n ? 1? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a10 ? (
D.57 )

3.函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x 在 ? A.1 B.2

?? ? ? 上的最大值( , ?6 3? ? 3 C. 3 D. 2

?x ? 0 4.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域 ? ?3 x ? y ? 4 ?
被 直线 y ? kx ? ( D. )

4 分 为面积相 等的两 部分, 则 k 的值 是 3 3 7 4 A. B. C. 7 3 3

3 4

5. 若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输 出的 B 等于( ) A. 63 B. 31 C. 15 D. 7 6.设 a , b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ? 成立的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

1 1 ?b? ” a b

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7. 已知 f1 ? x ? ? sin x ? cos x ,fn?1 ? x ? 是 fn ? x ? 的导函数, 即 f 2 ? x ? ? f1? ? x ? ,f3 ? x ? ? f 2? ? x ? , ?,

f n ?1 ? x ? ? f n? ? x ? , n ? N* ,则 f2011 ? x ? ? ( ) A. sin x ? cos x B. sin x ? cos x C. ? sin x ? cos x D. ? sin x ? cos x 2 2 x y 2 8. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y = x +1 相切,则该双曲线的离心率等于 a b
( A. 3 B.2 C. 5 D. 6 )

9.点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 内一点,且满足 AP ? 1

??? ?

? 3 ??? 1 ???? 2 ???? AB ? AD ? AA1 ,则点 4 2 3

P 到棱 AB 的距离为(
A.

)

5 6

B.

3 4
2

C.

13 4

D.

145 12
)

10.如果函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 ? a ? 0 ? 没有零点,则 a 的取值范围为( A. ? 0,1? B. ? 0,1? ?

?

2, ??

?

C. ? 0,1? ? (2,??)

D. 0, 2 ? ? 2,???

?

?

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.若 tan ? ? ?

? ?

??

? =3,则 tan a 的值为 4?



2 12.若关于 x 的不等式 m ? x ?1? ? x ? x 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,则实数 m 的值为

?

?



13.已知空间四边形 ABCD 中,AB⊥BC,BC⊥CD, CD⊥AB,且 AB=2,BC= 5 , CD= 7 ,则 AD= .

14.将正整数12分解成两个正整数的乘积有 1 ? 12 , 2 ? 6 , 3 ? 4 三种,其中 3 ? 4 是这三种分解中,
* 两数差的绝对值最小的, 我们称 3 ? 4 为12的最佳分解. p ? q p ? q且p, q ? N 是正整数 n 的 当

?

?

最佳分解时,我们规定函数 f ? n ? ?

3 p ,例如 f ?12 ? ? .关于函数 f ? n ? 有下列叙述: ① 4 q 1 3 4 9 f ? 7 ? ? , f ? 24 ? ? , f ? 28 ? ? , f ?144 ? ? .其中正确的序号为 ② ③ ④ (填 7 8 7 16

入所有正确的序号) .

三、解答题(共 80 分) 15. (本小题满分12分) 如图1, 渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处, 且与岛屿 A 相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方 向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船 乙,刚好用2小时追上. 西 (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值.
?

北 C

?
B

60?

A





16. (本小题满分 12 分) 雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出 20 名学生作为样本,其选报文 科理科的情况如下表所示。 男 文科 理科 2 10 女 5 3

(Ⅰ)若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出 3 人召开座谈会,试求 3 人中既有男生也有女生 的概率; (Ⅱ)用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关? 参考公式和数据: K 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d )
0.05 3.84 0.025 5.02 0.010 6.64 0.005 7.88 0.001 10.83

p( K 2 ? k )
k

0.15 2.07

0.10 2.71

17. (本小题满分14分) 一个几何体是由圆柱 ADD1 A 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,其 1 正 (主) 视图、 (左) 侧 视图的面积分别为 10 和 12, 如图 2 所示, 其中 EA ? 平面ABC ,AB ? AC ,

AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: AC ? BD ; (2)求三棱锥 E ? BCD 的体积.

18. (本小题满分 14 分)

3 1 ? ?an ? 4 an ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 ? 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , b1 ? 1 ,且 ? ( n≥ 2 ) , 1 3 ?b ? a ? b ? 1 ? n 4 n ?1 4 n ?1 ? 数列 {cn } 满足 cn ? an ? bn (1)求 c1 和 c 2 的值,
(2)求证:数列 {cn } 为等差数列,并求出数列 {cn } 的通项公式 (3)设数列 {cn } 的前 n 和为 Sn ,求证:

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1 S1 S2 S3 Sn

19. (本小题满分 14 分)

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax , g ( x) ? e x ln x .(其中 e 为自然对数的底数) , (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? (e ? 1) y ? 1垂直,求 a 的值; (Ⅱ)若对于任意实数 x ≥0, f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? ?1 时,是否存在实数 x0 ??1, e? ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

2012 学年度上学期高三级第二次段考文科数学答题
座位号: 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) :答案请涂在答题卡上 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 试室号: ; ;

11.

12.



13. 三、解答题(共 80 分) 15.(本题满分 12 分)



14.



姓名:



班级:

16.(本题满分 12 分)

线

考号:

17. (本小题满分 14 分)

18. (本小题满分 14 分)

19. (本题满分 14 分)

20.(本题满分 14 分)

2012 学年度上学期高三级第二次段考文科数学答案
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 三、解答题(共 80 分) 15. (本小题满分12分)
? 解: (1)依题意, ?BAC ? 120 , AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 , ?BCA ? ? .???2分 在△ ABC 中,由余弦定理,得 北 2 2 2 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ????????4分 C ? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120? ? 784 . 解得 BC ? 28 .?????????????????????6分

11.

1 2

12.

2

13.

4

14.

① ③

BC ? 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.?????????????7分 西 ? ? (2)方法1:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120 , BC ? 28 , B ?BCA ? ? , AB BC ? 由正弦定理,得 .?????????9分 sin ? sin120? 3 12 ? ? AB sin120 2 ?3 3. ? 即 sin ? ? BC 28 14 3 3 答: sin ? 的值为 .???????????????12 分 14 方法2:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , AC ? 20 , BC ? 28 , ?BCA ? ? , AC 2 ? BC 2 ? AB 2 由余弦定理,得 cos ? ? .????9分 2 AC ? BC 202 ? 282 ? 122 13 ? . 即 cos ? ? 2 ? 20 ? 28 14
所以渔船甲的速度为 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ?
2

60?

A





3 3 ? 13 ? . ? ? 14 ? 14 ?

2

答: sin ? 的值为

3 3 .??????????12 分 14

16.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设样本中两名男生分别为 a,b,5 名女生分别为 c,d,e,f,g,则基本事件空间为; (abc)(abd) (abe) (abf) (abg) (acd) (ace) (acf) (acg) (ade) (adf) (adg) (aef) (aeg) (afg) (bcd) (bce) (bcf) (bcg) (bde) (bdf) (bdg) (bef) (beg) (bfg) (cde) (cdf) (cdg) (cef) (ceg) (cfg) (def) (deg) (dfg) (efg) 共 35 种, ??????????????????????3 分 其中,既有男又有女的事件为前 25 种,?????????????????4 分

故 P( “抽出的 3 人中既有男生也有女生” )=
2

25 5 = 。??????????6 分 35 7

20 ? ? 50 ? 6 ? (Ⅱ) k ? =4.43 ??????????????????9 分 7 ?13 ?12 ? 8 ??????????????????10 分 ? 3.841,
对照参考表格,结合考虑样本是采取分层抽样抽出的,可知有 95%以上的把握认为学生选报 文理科与性别有关。 ???????12 分 17. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为 EA ? 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ? AC ,即 ED ? AC . 又因为 AC ? AB , AB ? ED ? A ,所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ? BD .???????????4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? ?2rh ? 2 r ? 2 ? 10, ? ????????????????6 分 ? ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2 ? r ? 2, 解得 ? ? h ? 2.
以下给出求三棱锥 E ? BCD 体积的两种方法:

E C A1
1

O B

A

所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .????????????8 分 D1
1

D

1 S ?EBD ? CA .??10 分 3 因为 EA ? 平面ABC , AB ? 平面ABC ,所以 EA ? AB ,即 ED ? AB .
方法 1:由(1)知, AC ? 平面 EBD ,所以 VE ? BCD ? VC ? EBD ? 其中 ED ? EA ? DA ? 2 ? 2 ? 4 ,因为 AB ? AC , AB ? AC ? 2 2 ,

1 1 ? ED ? AB ? ? 4 ? 2 2 ? 4 2 .???????????13 分 2 2 1 16 所以 VE ? BCD ? ? 4 2 ? 2 2 ? .?????????????14 分 3 3 方法 2:因为 EA ? 平面ABC , 1 1 1 所以 VE ? BCD ? VE ? ABC ? VD ? ABC ? S ?ABC ? EA ? S ?ABC ? DA ? S ?ABC ? ED .??10 分 3 3 3 其中 ED ? EA ? DA ? 2 ? 2 ? 4 ,因为 AB ? AC , AB ? AC ? 2 2 , 1 1 所以 S?ABC ? ? AC ? AB ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 .???????????13 分 2 2 1 16 所以 VE ? BCD ? ? 4 ? 4 ? .??????????????????14 分 3 3
所以 S?EBD ? 18. (本小题满分 14 分) 解(1) c1 ? a1 ? b1 ? 3 ………1 分

a2 ?

3 1 11 a 1? b 1 1 ? , ………2 分 ? 4 4 4

1 3 9 a1 ? b1 ? 1 ? , ……3 分 c2 ? a2 ? b2 ? 5 ………4 分 4 4 4 3 1 ? ?an ? 4 an ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 ? (2)证明:因为 ? , ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 ? n 4 n ?1 4 n ?1 ? 3 1 1 3 ? cn ? an ? bn ? ( an ?1 ? bn ?1 ? 1) ? ( an ?1 ? bn ?1 ? 1) ? an ?1 ? bn ?1 ? 2 ? cn ?1 ? 2 ……6 分 4 4 4 4 ? n ? 2, cn ? cn?1 ? 2 ,即数列 {cn } 以 c1 ? 3 为首项,2 为公差的等差数列……………7 分 b2 ?

?cn ? 3 ? (n ?1)2 ? 2n ? 1 …………………8 分

20. (本小题满分14分)

解: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? a , ?1 分 , y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线 l 的斜率为 e ? a ,?2 分 又直线 x ? (e ? 1) y ? 1的斜率为 ∴( e ? a ) ?

1 , 1? e

?????????3 分

1 =-1,∴ a =-1. ????????5 分 1? e (Ⅱ)∵当 x ≥0 时, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立,∴ 先考虑 x =0,此时, f ( x) ? e x ,

a 可为任意实数;

?????????6 分
x

又当 x >0 时, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,则 a ? ? 设 h( x ) = ?

ex 恒成立, x

????7 分

ex (1 ? x)e x ,则 h?( x) = , x x2 当 x ∈(0,1)时, h?( x) >0, h( x) 在(0,1)上单调递增,当 x ∈(1,+∞)时, h?( x) <0, h( x) 在 (1,+∞)上单调递减,故当 x =1 时, h( x) 取得极大值, h( x)max ? h(1) ? ?e , ???9 分
∴ 要使 x ≥0, f ( x) ? 0 恒成立, a >- e ,∴ 实数 a 的取值范围为 ? ?e, ?? ? .
x x

?10 分

(Ⅲ)依题意,曲线 C 的方程为 y ? e ln x ? e ? x ,

ex ?1 ? ? e x ln x ? e x ? 1 = ? ? ln x ? 1? e x ? 1 x ?x ? 1 1 1 x ?1 设 v ( x ) ? ? ln x ? 1 ,则 v?( x) ? ? 2 ? ? 2 , x x x x ?( x) ? 0 ,故 v( x) 在 ?1,e? 上的最小值为 v(1) ? 0 ,???????12 分 当 x ??1, e? , v
令 u ( x) = e ln x ? e ? x ,则 u?( x) ?
x x

?1 ? ? ln x ? 1? e x ? 1 >0, ?x ? 而若曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直,则 u?( x0 ) =0,矛盾。 ?13 分
所以 v( x) ≥0,又 e ? 0 ,∴ u?( x) ? ?
x

所以,不存在实数 x0 ??1, e? ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直. ????????????????14 分



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