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正弦定理



sinA
B

∠A的对边
斜边 ∠A的邻边 斜边

cosA
∠A的 对边

A
∠A的邻边

tanA
C

∠A的对边 ∠A的邻边

特殊角的三角函数值表
角 三角函数

0

0
0

0 30
1 2

0 45
2 2 2 2

0 60
3 2 1 2

0 90
1
0

sin? cos ?

1
0

tan ?

3 2 3 3

1

3

不存在

复习三角形中的边角关系
(一)任意三角形中的边角关系

1、角的关系 2、边的关系

A ? B ? C ? 180
大角对大边

?

a?b?c, a?b? c
A ? B ? 90 2 2 2 a ?b ?c
?

3、边角关系
1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系

(二)直角三角形中的边角关系 (角C为直角)

1.1.1 正弦定理

2017、1、12

引入

直角三角形中边与角的关系?
a b sin A ? , sin B ? , sin C ? 1 A c c a b c c= ,c = ,c = sin A sinB sinC b

c
a B

a b c = = sin A sin B sin C

C

问题:在任意三角形中,这一关系式是否成立?

在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C

b A c

a

B

(1) 若三角形是锐角三角形, 如图
过点A作AD⊥BC于D, 此时有
c
学科网

A

b

sin B ?

b c ? , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C
同理可得

AD , sin C c

?

AD b

B

D

C

a b c a c ? ? ? , 即: sin A sin C sin A sin B sin C

(2) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角 过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D, 此时也有

sin B ?

AD c
B

A

c
b 图2 C D

(? ? C) ? 且 sin

AD ? sin C b

可得

a b c ? ? sin A sin B sin C

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.


a

a b c ? ? sin A sin B sin C
b c

那么 sinA = sinB= sinC =?

证明:作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
' ? ? ?BAC ? 90 ?, ?C ? ?C

B
a O A b C

c

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

c ? sin C ? sin C ? 2R c ? ? 2R sin C
'

C/

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等,即

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
一般的,把三角形的三个角A,B,C和它们 的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角 形的几个元素求其他元素的过程叫做解三 角形。

注 意:
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

( 3) S ΔABC

1 1 ? ab sin C ? bc sin A 2 2 1 ? ac sin B 2

a+c 2.在△ABC 中,已知 =2,则其外接圆的直径为 sin A+sin C ( A.1 B.2 C.0 D.4 )

a+c a c 【解析】 根据正弦定理有sin A=sin C= =2R(其 sin A+sin C 中 R 是其外接圆的半径),故由已知得 2R=2.

【答案】

B

3.在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC =( ) 3 A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 2 3 2 BC AC AC 【解析】 由正弦定理得sin A=sin B,即sin 60° =sin 45° ,解
得 AC=2 3.
【答案】 B

4.在△ABC 中,A=45° ,c=2,则 AC 边上的高等于______.

【解析】 【答案】

AC 边上的高为 ABsin A=csin A=2sin 45° = 2. 2

剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题:

a b c ? ? sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角,求另一边

的对角,进而可求其他的边和角.

② 已知两角和一边,求其他角和边.

典型例题

已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角

在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 4 2 , B ? 45? , 求 A .

a b ? 解:由 sin A sin B
∵ ∴

a sin B 1 ? 得 sin A ? b 2

在?ABC 中 a ? b A 为锐角

?  A ? 30?

1、已知a=16, b= 16 3, A=30° . 求角B,C和边c
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 ? 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2
16 3
300

C
16 16

所以B=60°,或B=120° 当 B=60°时
C=90°

A

B

B

c ? 32 .
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时 C=30°

变式: a=30, b=26, A=30°求角B,C和边c
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 A ? ? 得 sin B ? a 30 30
C
26
300

30

B

所以B=25.70, 或B=1800-25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 (如图) C=124.30,
a sin C c? ? 49.57 sin A
13 sin 25.7 ? 30
?

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13,a=26,B=30°.

[B=90°,C=60°,c= 13 3 ]
(2) b=40,c=20,C=45°.

无解 注:三角形中角的正弦值小于1时,角可能有两解

定理的应用

已知两角和任意边, 求其他两边和一角


例 1 在△ABC 中,已知c = 10,A = 45 , C = 30 C 求 a , b.
a c 解: ? ∵ sin A sin C
A



b
c

a B

c ? sin A 10 ? sin 45? ? 10 2 ∴a = = sin C sin 30?
b c ? ∵ sin B sin C

且 B ? 180? ? (A ? C) ? 105?

c ? sin B 10 ? sin 105? ? 5( 6 ? 2 ) ∴ b= = sin C sin 30?

练习
在△ABC中,已知 A=30°,B=120°,b=12 求 a , c.

[a= 4 3 ,c= 4 3 ]

课堂小结
a b c ? ? (1)正弦定理: sin A sin B sin C
(2)正弦定理应用范围:
① ② =

2R

已知两角和任意边,求其他两边和一角

已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。(注意解的情况)

课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?

已知边a,b和角A,求其他边和角. A为锐角
C C a B1 A b a B

b


a A


b a B A b



B2

a<bsinA 无解

a=bsinA 一解
C b

bsinA<a<b 两解
C a A B b

a≥b 一解
a A

A为直角或钝角

a>b 一解

a≤b 无解

已 知 两 边 一 对 角, 三 角 形 解 的 个 数

解的情 a 角A 况 a<bsinA 无解 a=bsinA 一解 锐 bsinA<a 两解 <b 角 a≥b 一解 a≤b 无解 直角或钝 角 a>b 一解

知识归纳: 知识归纳:
1. 已知两角及一边解三角形一定只有 一解。

2. 已知两边及一边的对角解三角形,可 能无解、一 解或两解。

∵a>b,

∴A>B,B<60°

∴B=45°.

故B=30°或 150°. 由a>b, 得A>B,∴B= 30°, 由勾股定理得c=2.

故C= 90°,

所以本题有两解,由正弦定理得: 故B=60°或 120°. 当B=60°时,C= 30°,

当B=120°时,C=30°,

解析

∵△ABC的外接圆直径为2R=2,

解析

设三角形外接圆半径为R,则由πR2=π, 得 R= 1 ,

∴abc=1.

10.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A, B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A= ______. 解析 ∵ b= 2a ∴sin B=2sin A,

又∵B=A+60°,

∴sin(A+60°)=2sin A

即sin Acos 60°+cos Asin 60°=2sin A,

∴A=30°.

所以等式成立

又0<B<π,

又a<b,

∴A<B,



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