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§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)


X

§2.2.2 椭圆的简单几何性质 2.2 (2)

例1.点 M ( x, y) 与定点F ( 4, 0) 的距离和它到直线

y

25 4 l : x = 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹. 4 5 O 25 解.设d 是点M 到直线l : x = 的距离, 根据题意, 4 | MF | ? ? 图 点 M的 轨 迹 就 是 集 合 P = ? M | = ?.

M

d

H

F
l

x

?

d

?

. ?

直接法: 直接法:

由此得

(x ? )

+y

= .

建→设→限→代→化 设 限 代 化

?x

将上式两边平方, 并化简, 得 9 x 2 + 25 y 2 = 225, x2 y2 即 + = 1. 25 9 6 所以 , 点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为 10、 的椭圆

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种? 问题 :直线与圆的位置关系有哪几种?

怎么判断它们之间的位置关系? 怎么判断它们之间的位置关系?

几何法: 几何法: d>r 代数法: 代数法:?<0

d=r ?=0

d<r ?>0

问题2:椭圆与直线的位置关系? 问题 :椭圆与直线的位置关系?

问题3:怎么判断它们之间的位置关系?能用几何法吗? 问题 :怎么判断它们之间的位置关系?能用几何法吗? 不能! 因为他们不像圆一样有统一的半径。 不能! 因为他们不像圆一样有统一的半径。 求解直线与二次曲线有关问题的通法 所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线有关问题的通法

一.直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0 由方程组: 由方程组: x2 y2 + 2 =1 2 a b

这是求解直线与二 mx2+nx+p=0(m≠ 0) 次曲线有关问题的 ( ) 通法。 通法。 2
= n -4mp
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离

>0 =0 <0

解:联立方程组 ?x ? x = ? 1 1 ? 1 2 5 ? y = x ? 消去 消去y 2 2 5x ? 4x ?1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根, 因为 ?=36>0,所以方程(1)有两个根, ,所以方程( 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交

1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2,判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 , ? x1 + x2 = ? 2 5 由韦达定理 ? 的位置关系。 的位置关系。 ?

1 1 7 变式1:交点坐标是什么? 变式 :交点坐标是什么? A(1, ), B(? , ? ) 2 5 10 6 变式2:相交所得的弦的弦长是多少? 变式 :相交所得的弦的弦长是多少? | AB |= 5 5
| 弦长公式: 弦长公式:AB |= 1+ k x1 ? x2 = 1+ k (x1 + x2 ) ? 4x1x2 k表示弦的斜率,x1、x2表示弦的端点坐标 表示弦的斜率, 表示弦的斜率
2
2 2

x2 y2 1、y=kx+1与椭圆 + =1恰有公共点,则m的范围 恰有公共点, 、 与椭圆 的范围 5 m ( )

C

A、( ,1) 、(0, ) 、( C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ ) 、 , ) ,

B、( ,5 ) 、(0, 、( D、( ,+ ∞ ) 、(1, 、(

2、过椭圆 x2+2y2=2 的左焦点作倾斜角为 0的直线, 、 的左焦点作倾斜角为60 的直线,

8 2 直线与椭圆交于A,B两点,则弦长 两点, 直线与椭圆交于 两点 则弦长|AB|= _______. 7

x y 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x ? 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

2

2

分析: 是椭圆上任一点, 分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 的距离的表达式. 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y + 40 = 0 的距离的表达式.

42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.

d=

4 x0 ? 5 y0 + 40

=

4 x0 ? 5 y0 + 40 41



x0 2 25

+

y0 2 9

=1

几何画板显示图形 几何画板显示图形

x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x ? 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l,则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x ? 5 y + k = 0
?4 x ? 5 y + k = 0 ? 2 联立方程组 ? x y2 =1 ? + ? 25 9
m

消去 y,得 25 x2 + 8kx + k 2 ? 225 = 0 k=25, k=令△= 64k 2 ? 4 × 25 × (k 2 ? 225) = 0 解得 k=25,或 k=-25 由图可知, 由图可知,当 k=25 时,直线 m 与椭圆的交点到直线 的距离最近, 4xl 的距离最近,此时直线 m 的方程为 4x-5y+25=0 | 40 ? 25 | 15 直线 m 与直线 l 间的距离 d = 41 =

41 65 15 41. 思考:最大距离为多少? 所 以最 小 距 离 是 41 思考:最大距离为多少? 41 41

42 + 52

1、判断直线与椭圆位置关系的方法:(代数法) 判断直线与椭圆位置关系的方法: 代数法) 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交 弦长公式: 2、弦长公式: 与椭圆C 设直线 l与椭圆 相交于 x1 ,y1) ,B( x2,y2 ), 与椭圆 相交于A( , 则 |AB|= =

1 + k | x1 ? x2 | , 其中 k 是直线的斜率 2 2 = 1 + k (x1 + x2 ) ? 4 x1 x2
2

课后作业: 《金榜》素能综合检测( ) 课后作业:1.《金榜》素能综合检测(13) 2.抓紧时间进行中段考复习!! 抓紧时间进行中段考复习!! 抓紧时间进行中段考复习

y

B 例 如图 . ? ,一种 反射镜面 E 电影放映灯泡的反射镜 O F ( 是旋转椭圆面椭圆绕 A F x D 其对称轴旋转一周形成 透明窗 C ) . 的曲面的一部分过对 BAC是椭圆的一部分灯丝位于椭圆 , 称轴的截口 , F . 一个焦点F 上 片门位于另一个焦点 上由椭圆 , 一个焦点F 发出的光线经过旋转椭圆面反射后 F 已知BC ⊥ F F ,| F B |= . 集中到另一个焦点 . cm,| F F |= . cm, ,求截口 BAC 所在的椭圆方程 .
1 2

y

,演 操作打开的几何画板 . 示椭圆镜面工作原理

B E
O

反射镜面

解 建立图 . ?

所示

A

F1

的直角坐标系, 设所求椭 x y 圆方程为 + = . a b 在Rt?BF F 中,
C

F2

x

D

透明窗

图 . ?

| F B |= | F B | + | F F | =

.

+ . .

由椭圆的性质知, | F B | + | F B |= a, 所以
a= (| F B | + | F B |) =

(.

+

.

+ .

)≈

. ;

y
B

反射镜面
E O

A

F1

F2
D

x

C

透明窗

图 . ?

b= a ?c =

.

? .

≈ . .

x 所以 , 所求的椭圆方程为 .

y + .

= .

2 x2 += y1 4

例3、对不同的实数值 ,讨论直线 、对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆 与椭圆 的位置关系。 的位置关系。

练习

x2 + y2 =1 被过右焦点且垂直于 轴 1、求椭圆 被过右焦点且垂直于x轴 、 4
的直线所截得的弦长。 的直线所截得的弦长。

通径

2b2 a

2、中心在原点,一个焦点为F(0, 50)的椭圆被 、中心在原点,一个焦点为 ( , 所截得弦的中点横坐标是1/2, 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是 ,求椭圆 所截得弦的中点横坐标是 方程。 方程。

例1、 已知椭圆 2+9y2=45,椭圆的右焦点为 , 、 已知椭圆5x ,椭圆的右焦点为F, (1)求过点 且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长 求过点F且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长. 求过点 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长 (2)判断点 判断点A(1,1)与椭圆的位置关系 并求以 为中点 与椭圆的位置关系,并求以 判断点 与椭圆的位置关系 并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程. 椭圆的弦所在的直线方程

归纳:这类问题的两种解决方法 归纳: (1)联立方程组,解出直线与圆锥曲线的交点,再利用两点距离公式来求解; )联立方程组,解出直线与圆锥曲线的交点,再利用两点距离公式来求解; (2)联立方程组,运用“设而不求”解法技巧,结合韦达定理完成求解。 )联立方程组,运用“设而不求”解法技巧,结合韦达定理完成求解。

例3
交于A、 两点 两点, 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 、B两点,M 中点, 为原点) 为AB中点,直线 (0为原点)的斜率为 中点 直线0M( 为原点 OA⊥OB,求椭圆方程。 ⊥ ,求椭圆方程。
变式

2 ,且 2

OA⊥OB ⊥

| AB |= 2 2

练习: 练习:

25 1.点 1.点 P 与定点 F (0, 3) 的距离和它到定直线 l : y = 的 3 距离之比为 3:5,则点 P 的轨迹方程是 则点 的轨迹方程是_________.

x y =1 + =1 16 25

2

2

练习巩固: 练习巩固: 巩固
x2 y2 1.过椭圆 引一条弦, 1.过椭圆 + = 1 内一点 M (2,1) 引一条弦, 使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. 平分,求这条弦所在的直线方程. x + 2 y ? 4 = 0 x2 y2 2.椭圆 2. 椭圆 + = 1 上的点到直线 x + 2 y ? 2 = 0 最大距离 16 4 是________. 3.已知椭圆的焦点 3.已知椭圆的焦点 F1 ( ?3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x ? y + 9 = 0 有 2 2 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______. 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.

10

x y + =1 45 36

x2 y2 例4、过点 、过点A(5,5)与椭圆 与椭圆 + = 1 只有一个公共点的直 25 16

线有( 线有( ) A.0条 条

A的坐标变为 (0,2),结果如何? 的坐标变为 ,结果如何? B.1条 条 C.2条 条 D.3条 条

注:解析几何是数形结合的产物,而数形结合是解几问 解析几何是数形结合的产物, 题的一个重要方法与工具。 题的一个重要方法与工具。 变式:过点 变式:过点(0,2)与抛物线 y2 = 8x 只有一个公共点的 与抛物线 直线有( 直线有( C ) (A)1条 条 (C)3条 条 (B)2条 条 (D)无数多条 无数多条
P

.


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