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专题十三:极坐标与参数方程2013-2016高考数学全国卷(文)



1、 (2016 全国 I 卷 23 题) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数,a>0) 。在以坐标

原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ. (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a。 【答案】 (I)圆, 【解析】 (II)1. ;

考点:参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 2、 (2015 全国 I 卷 23 题) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :x= ?2 ,圆 C2 : ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求 C1



C2 的极坐标方程。

(2)若直线 C3 的极坐标为 ? =

? (ρ ? R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的面积 4

3、 (2014 全国 I 卷 23 题) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? 已知曲线 C : ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值. 【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

………5 分

d?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? ? ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 3 sin 30 5

则 | PA |?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
…………10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

4、 (2013 全国 I 卷 23 题) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 5 ? 5sin t

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。

(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。

5、(2016 全国 II 卷 23 题)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x + 6)2 + y 2 = 25 . (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
ì ? ? x = t cos α, t l 与 C 交于 A, B 两点,AB = 10 , (Ⅱ) 直线 l 的参数方程是 í ( 为参数) , ? ? ? y = t sin α,

求 l 的斜率. 【答案】 (Ⅰ) ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0 ; (Ⅱ) ? 【解析】 试题分析: (I)利用 ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos ? 可得 C 的极坐标方程; (II)先将直线 l 的参 数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得 l 的斜率. 试题解析: (I)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 可得 C 的极坐标方程 ? ? 12? cos ? ? 11 ? 0.
2

15 . 3

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R) 由 A, B 所对应的极径分别为 ?1 , ?2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得

? 2 ? 12? cos ? ? 11 ? 0.

于是 ?1 ? ?2 ? ?12cos ? , ?1?2 ? 11,

| AB |?| ?1 ? ?2 |? ( ?1 ? ?2 ) 2 ? 4 ?1 ?2 ? 144cos 2 ? ? 44,
由 | AB |? 10 得 cos 2 ? ?

3 15 , , tan ? ? ? 8 3

所以 l 的斜率为

15 15 或? . 3 3

考点:圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式. 6、 (2015 全国 II 卷 23 题) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O ? y ? t sin ? ,

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 【答案】(I) ? 0, 0 ? , ? 【解析】 试 题 分 析 : ( I ) 把 C2 与 C3 的 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 分 别 为

? 3 3? ? 2 ,2? ? ;(II)4. ? ?

x2 ? y 2 ? 2 y ? 0

,

x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0

,







考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化. 7、 (2014 全国 II 卷 23 题) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极 坐标方程为 p=2cosθ,θ ? [0, (I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(I)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标。

? ]。 2

8、 (2013 全国 II 卷 23 题) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 已知动点 P、Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2 cos t , ( t 为参数)上,对应参数分别为 t =? 与 t =2? ? y ? 2sin t

( 0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

9、 (2016 全国 III 卷 23 题) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ? ( 为参数) 。以坐标原点为极 ? ? y ? sin ?

点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? (I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;

?
4

)?2 2.

(II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标. 【答案】 ( I ) x ? y ? 4 ? 0;( II ) P ( , ). 【解析】 试题分析:

3 1 2 2



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