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福建省福州市第八中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题



福州八中 2015—2016 学年第一学期期末考试 高一数学 必修 2
考试时间:120 分钟 2016.1.26 第Ⅰ卷(100 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.每题有且只有一个选项是正确 的,请把答案填在答卷相应位置上) 1.直线 x=1 的倾斜角和斜率分别是 A.45°,1 A.(-1,2) B.135°,-1 B.(2,- 1

) C.90°,不存在 ) D.(2,1) ) C.(1,2) D.180 °,不存在 2.直线 y-2=mx+m 经过一定点,则该点的坐标为 ( 试卷满分:150 分

3.对于直线 m,n 和平面α ,β ,能得出α ⊥β 的一个条件是 ( A. m ⊥n, m∥α ,n∥β C. m∥n, n⊥β ,m? α 腰梯形,那么原平面图形的面积是( A. 2 ? 2 C. B. 2 ? 1 D. 2 2
2 2 2 2

B. m⊥n, α ∩β =m, n? α D. m∥n, m⊥α , n⊥β )

4.如图所示,直观图四边形 A?B?C ?D? 是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等

2 2
)

5.与圆 O1:x +y +4x-4y+7=0 和圆 O2:x +y -4x-10y+13=0 都相切的直线条 数是( A.4 A.1∶ 3 B.3 B.1∶3 C.2 ) D.1∶3 3 ) C.1∶9 D.1

6.正方体的内切球和外接球的体积之比为(

7.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 DD1,D1C1 的中点,则直线 OM( A.与 AC,MN 均垂直相交 B.与 AC 垂直,与 MN 不垂直 C.与 MN 垂直,与 AC 不垂直 D.与 AC,MN 均不垂直 8.设 A 为圆(x-1) +y =1 上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程 是( ) A. (x-1) +y =4 C.y =2x
2 2 2 2 2

B.(x-1) +y =2 D.y =-2x
2

2

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 9.直线 x+2ay-1=0 与直线(a-1)x-ay-1=0 平行,则 a 的值是________.
1

10.若点 P(-4,-2,3)关于坐标平面 xOy 及 y 轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d), 则 c+e= . . 11.一个圆锥的轴截面是个边长为 2 的正三角形,这个圆锥的侧面积等于 12.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E, F 分别为 PA,PD 的中点.在此几何体中,给出下面四个结论: ①B,E,F,C 四点共面; ②直线 BF 与 AE 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD;. ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发,绕过三角形 PAD 面,到 达点 C 的一条最短路径. 其中正确的有_____________.(请写出所有符合条件的序号) 三、解答题(本大题共有 4 个小题,共 40 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程.) 13. (本小题满分 10 分) 如图,已 知点 A(2,3),B(4,1),△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形, 点 C 在直线 l:x-2y+2=0 上. (1)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程; (2)求△ABC 的面积.

14. (本小题满分 10 分) 下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD, 且 PD=AD=2EC=2. (1)请画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B—CEPD 的体积.

15. (本小题满分 10 分) 已知圆 C 经过点 A( ?1,0) 和 B(3,0) ,且圆心在直线 x ? y ? 0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若点 P( x, y ) 为圆 C 上任意一点,求点 P 到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离的最大值和 最小值. 16. (本小题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点. (1)求证: BC ? 平面 PAC ;
2

(2)设 Q 为 PA 的中点, G 为 ?AOC 的重心,求证: QG //平面 PBC .

第Ⅱ卷 一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.每题有且只有一个选项是正确 的,请把答案填在答卷相应位置上) 17.已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离相等,则正确的结论是( A.平面 ABC 必平行于 α B.平面 ABC 必不垂直于 α C.平面 ABC 必与 α 相交 D. 存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内 18.函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B. (0,1)
2 x

)

) D.(1,2)

C. (-1,0)

19.已知集合 M={(x,y)|y= 9-x ,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若 M∩N≠ ? , 则实数 b 的取值范围是( A.[-3 2,3 2] C.(-3,3 2] ) B.[-3,3] D.[-3 2,3)

20. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 4 )? f ( x ) , 且 在 区 间 [0 , 2] 上

f ( x) ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? loga x 有三个不同的根,则 a 的范围为(
A. ( 2,4) B. (2,2 2 ) C. ( 6, 2 2) D. ( 6, 10)



二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 21.设点 A(-3,5)和 B(2,15),在直线 l:3x-4y+4=0 上找一点 P,使|PA|+|PB|为 最小,则这个最小值为________ 22.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则 四面体 ABCD 的外接球的体积为 三、解答题(本大题共有 2 个小题,共 26 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程.) 23. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB 的外接 圆圆心为 E. (1)若圆 E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值. (2)设点 P 在圆 E 上,使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有 3 个,试问这样的圆 E 是否
3

存在?若存在,求出圆 E 的标准方程;若不存在,说明理由.

24. (本小题满分 14 分) 在四棱柱 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 中, AA 1 ? 底面

ABCD,底面 ABCD 为菱形,O 为 AC 1 1与B 1D 1交
点,已知 AA 1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60 .
?

D1 A1 O B1

C1

(Ⅰ)求证: A1C1 ? 平面 B1BDD1 ; (Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ; ( Ⅲ ) 设 点 M 在 ?BC1D 内 ( 含 边 界 ) , 且 D A B C

OM ? B1D1 ,说明满足条件的点 M 的轨迹,并求 OM 的最小值.

4

福州八中 2015—2016 学年第一学期期末考试 高一数学 必修 2 试卷参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1-8 CACA BDAB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 1 9. 0 或 10. 1 11. 2π 12. ①②③ 2 三、解答题:本大题共有 4 个小题,共 40 分 13. 解:(1)由题意可知,E 为 AB 的中点, 1 ∴E(3,2),且 kCE=- =1 -----------2 分 kAB ∴CE 所在直线方程为:y-2=x-3,即 x-y-1=0. -----------4 分
? ?x-2y+2=0, (2)由? ?x-y-1=0, ?

得 C(4,3),-----------6 分

∴|AC|=|BC|=2,AC⊥BC,-----------8 分 1 ∴S△ABC= |AC|·|BC|=2. -----------10 分 2 14. 解 (1)该组合体的三视图如图所示.

-----------3 分 (2)∵PD⊥平面 ABCD,PD? 平面 PDCE, ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD. ----------5 分 ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BC⊥CD,且 BC=DC=AD=2. 又∵平面 PDCE∩平面 ABCD=CD,BC? 平面 ABCD. ∴BC⊥平面 PDCE. -----------7 分 ∵PD⊥平面 ABCD,DC? 平面 ABCD,∴PD⊥DC. 又∵EC∥PD,PD=2,EC=1, ∴四边形 PDCE 为一个直角梯形,其面积: 1 1 S 梯形 PDCE= (PD+EC)·DC = ×3×2=3, 高一数学期末考试卷答案 第1页 共4页 2 2 1 1 ∴四棱锥 B—CEPD 的体积 VB—CEPD= S 梯形 PDCE·BC= ×3×2=2. -------10 分 3 3
5

15. 解:(1) AB 的中点坐标为 (1, 0) , ∴圆心在直线 x ? 1 上, ………… 1 分 又知圆心在直线 x ? y ? 0 上, ∴圆心坐标是 (1,1) ,圆心半径是 r ?

5 ,…………3 分

∴圆方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ;………… 5 分 (2)设圆心到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离 d ? ∴直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与圆 C 相离, ∴点 P 到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离的最大值是 最小值是

1? 2 ? 4 5

?

7 5 ? 5 ,………7 分 5

7 12 5? 5? 5 , ………9 分 5 5

7 2 5? 5? 5 .………… 10 分 5 5
平面 ABC ,

16. 证明:(1) AB 是圆 O 的直径,得 AC ? BC ,… 1 分 由 PA ? 平面 ABC , BC 得 PA ? BC ,………3 分 又 PA ? AC ? A , PA 平面 PAC , AC 平面 PAC ,……… 4 分

所以 BC ? 平面 PAC .……… 5 分 (2)连 OG 并延长交 AC 于 M ,连接 QM , QO ,由 G 为 ?AOC 的重心, 得 M 为 AC 中点.……… 6 分 由 Q 为 PA 中点,得 QM / / PC , 又 O 为 AB 中点,得 OM / / BC ,……… 7 分 因为 QM ? MO ? M , QM 平面 QMO , MO 平面 QMO ,

BC ? PC ? C, BC

平面 PBC , PC

平面 PBC

所以平面 QMO / / 平面 PBC .……… 9 分 因为 QG 平面 QMO ,所以 QG / / 平面 PBC .……… 10 分

第Ⅱ卷 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 17-20 DBCD 二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分 21. 5 13 22. 125 π 6

三、解答题: 本大题共有 2 个小题,共 26 分

6

23. 解:(1)直线 CD 的方程为 y=x+4,圆 E 的圆心为 E( , ),半径为 r=

a. ……2 分由题意



=

a, ………4 分

解得 a=4. ………5 分 (2)因为 |CD|= =4 , ………6 分 .………8 分

所以当△PCD 面积为 12 时,点 P 到直线 CD 的距离为 3 又圆心 E 到直线 CD 距离为 2 (定值),

要使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有 3 个,需圆 E 的半径 解得 a=10, ……11 分 此时,圆 E 的标准方程为(x-5) +(y-5) =50. ……12 分
2 2

=5

,……1 0 分

24. 解: (Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? 底面 A1B1C1D1 . 又 A1C1 ? 底面 A1B1C1D1 , 所以 BB1 ? AC 1 1. 所以 AC 1 1 ?B 1D 1. 而 BB1 ? B1D1 ? B1 , ……3 分 所以 A1C1 ? 平面 B1BDD1 . ……4 分 (Ⅱ)连接 AC ,交 BD 于点 E ,连接 C1E . 依题意, AA1 ∥ CC1 , 且 AA1 ? CC1 , AA1 ? AC , 所以 A 1 ACC1 为矩形. ……6 分 所以 OC1 ∥ AE . A ……1 分 因为 A1B1C1D1 为菱形, D E B A1 D1 O B1 M C C1

1 1 A1C1 , AE ? AC , AC 1 1 ? AC , 2 2 所以 OC1 = AE ,所以 AOC1E 为平行四边形, 则 AO ∥ C1E . ……8 分
又 OC1 ? 所以 AO ∥平面 BC 1 D . ……9 分

高一数学期末考试卷答案 第 3 页 共 4 页 又 AO ? 平面 BC1D , C1E ? 平面 BC1D ,

(Ⅲ)在 ?BC1D 内,满足 OM ? B1D1 的点 M 的轨迹是线段 C1E ,包括端点. 分析如下:连接 OE ,则 BD ? OE . 由于 BD ∥ B1D1 ,故欲使 OM ? B1D1 ,只需 OM ? BD , 从而需 ME ? BD . 又在 ?BC1D 中, C1D ? C1B ,又 E 为 BD 中点,所以 BD ? C1E . 故 M 点一定在线段 C1E 上. ……11 分
7

当 OM ? C1E 时, OM 取最小值.

……12 分

在直角三角形 OC1E 中, OE ? 1 , OC1 ? 所以 OM min ?

3 7 , C1 E ? , 2 2

OC1 ? OE 21 . ? C1E 7

……14 分

8



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