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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《1.2.1-2任意角的三角函数》导学案



§1.2.1
学习目标

任意角三角函数(2)

1.利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、 余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线 表示出来,并能作出三角函数线。 2.培养分析、探究问题的能力。促进对数形结合思 想的理解和感悟。

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P15~ P17,找

出疑惑之处) 我们已学过任意角的三角函数,给出了任意角的正 弦,余弦,正切的定义。想一想能不能用几何元素表示三角函数值?(例如,能不能用线段 表示三角函数值?)

二、新课导学 ※ 探索新知
问题 1: 在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线段的比,那么,任意角的三角函数是 否也可以看成是线段的比呢?

问题 2:在三角函数定义中,是否可以在角 ? 的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达 式更为简单?

问题 3.有向线段,有向线段的数量,有向线段长度的概念如何。

问题 4.如何作正弦线、余弦线、正切线。

※ 典型例题
例 1:作出下列各角的三角函数线 2? 11? (1) (2) ? 3 6

例 2:比较下列各组数的大小 (1)sin1 和 sin

? 3

(2)cos

4? 5? 和 cos 7 7

(3)tan

9? 9? 和 tan 7 8

(4)sin

? ? 和 tan 5 5

变式训练①:若 ? 是锐角(单位为弧度) ,试利用单位圆及三角函数线,比较 ? , sin ? , tan ? 之间的大小关系。

变式训练②:根据单位圆中的正弦线,你能发现正弦函数值有怎样的变化规律。

例 3:利用单位圆分别写出符合下列条件的角 ? 的集合 (1) sin ? ? ? (3) tan ? ?

1 , 2
3 。

(2) sin ? ? ?

1 , 2

变式训练①:已知角 ? 的正弦线和余弦线分别是方向一正一反,长度相等的有向线段,则 ? 的 终边在 ( ) A 第一象限角平分线上 B 第二象限角平分线上 C 第三象限角平分线上 D 第四象限角平分线上 变式训练②:当角 ? , ? 满足什么条件时有 sin ? ? sin ? .

变式训练③:sin ? >cos ? ,则 ? 的取值范围是 _________。 变式训练④:已知集合 E={ ? |cos ? <sin ? ,0 ? ? ? 2? }, F={ ? tan ? <sin ? }。 求集合 E ? F

※ 动手试试

π 1、若 <θ 4

<

π ,则下列不等式中成立的是( ) 2 B.cosθ >tanθ >sinθ D.sinθ >tanθ >cosθ

A.sinθ >cosθ >tanθ C. tanθ >sinθ >cosθ

2、角 ? (0< ? <2π )的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异.那么 ? 的值为( ) π A. 4 3π B. 4 7π C. 4 3π 7π D. 或 4 4

3、若 0< ? <2π ,且 sin ? < π π A. (- , ) 3 3

3 2

, cos ? >

1 .利用三角函数线,得到 ? 的取值范围是( ) 2

π B. (0, ) 3

5π π 5π C. ( ,2π ) D. (0, )∪( ,2π ) 3 3 3 4、依据三角函数线,作出如下四个判断: ①sin π 7π π π =sin ;②cos(- )=cos ; 6 6 4 4 ;④sin 3π 5 >sin 4π . 5 D.4 个

π 3π ③tan >tan 8 8

其中判断正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

三、小结反思 ①正弦线、余弦线、正切线,它们分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,三角函数线是 有向线段,在用字母表示这些线段时,注意它们的方向。 ② 利用数形结合来比较三角函数值的大小关键应注意正负。

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、若角 ? (0 ? ?

? 2? ) 的正弦与余弦线的长度相等且符号相同,那么角α 的值为(
C.



A.

? 4

B.

5? 4

? 5? 或 4 4

D.以上都不对 )

2、用三角函数线判断 1 与 | sin ? | ? | cos? | 的大小关系是( A、 | sin ? | ? | cos? | >1 C、 | sin ? | ? | cos? | =1 B、 | sin ? | ? | cos? | ≥1 D、 | sin ? | ? | cos? | <1

3、利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的集合。

⑴ cos x ? ⑵ cos x ?

1 : 2 1 : 2

; ; 。

⑶ | cos x |?

3 : 2

4、已知角α 的终边是 OP,角β 的终边是 OQ, 试在图中作出α ,β 的三角函数线,然后用不等号填空: P ⑴ sin ? sin ? ; y ⑵ cos? cos ? ; P ⑶ tan? tan ? 。 ? Q
x 2π π 5、若- ≤θ ≤ ,利用三角函数线,可得 sinθ 的取值范围是 6 3
O
?



课后作业
6、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: ⑴
5? ; 4
7? ; 6



⑶?

?
3



? ? 7、已知α 是第三象限角,问点 P(cos , sin ) 在第几象限?请说明理由。 2 2



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