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河北省故城县高级中学2015-2016学年高二上学期12月月考数学试题



高二数学月考试题 学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________ 题号 得分 一 二 三 总分

评卷人

得分 一、选择题(共 60 分)

1.(5 分)给出命题“已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d”,对原命题、逆命

题、否命题、逆否命题而言,真命题的个数是( ) A.0 C.3 2.(5 分)“tanα =1”是“α = A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(5 分)x2+(y-2)2=0 是 x(y-2)=0 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B.2 D.4

”的?( )

4. (5 分) 已知全集 S=R,A A. C. A A∩B

S,B

S,若命题 p: B. D.

∈ (A∪B) ,则命题“ ∈ B

p”是? (



∈( A)∩( B)

5.(5 分)命题“原函数与反函数的图象关于 y=x 对称”的否定是( A.原函数与反函数的图象关于 y=-x 对称 B.原函数不与反函数的图象关于 y=x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x 对称 D.存在原函数与反函数的图象关于 y=x 对称 6.(5 分)方程 x2+xy=x 的曲线是( ) A.一个点 一条直线 C.两条直线



B.

D.一个点和一条直线

7.(5 分)已知点 O(0,0),A(1,-2),动点 P 满足|PA|=3|PO|,则 P 点的轨迹方程是( ) A.8x +8y +2x-4y-5=0 B.8x +8y -2x-4y-5=0 C.8x +8y +2x+4y-5=0 D.8x +8y -2x+4y-5=0
2 2 2 2 2 2 2 2

8.(5 分)方程 A.-16<m<25 B. C. D.

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( )

9.(5 分)已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 (3,-2),则此椭圆的方程为( ) A.

有相同的焦点,并且经过点

B.

C.

D.

10.(5 分)已知点(m,n)在椭圆 8x +3y =24 上,则 2m+4 的取值范围是( ). A. C. B. D.

2

2

11.(5 分)设 F1、F2 是椭圆 离之差为 2,则△PF1F2 是( ) A.钝角三角形 C.斜三角形

的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 P 到两个焦点的距

B.锐角三角形 D.直角三角形

12.(5 分)(文科做)过椭圆

=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, ) C.

F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(
A. B.

D.

(理科做)设 a>1,则双曲线

的离心率 e 的取值范围是( ).

A.

B.

C.(2,5)

D.

评卷人

得分 二、填空题(共 20 分)

13.(5 分)命题“ x0 R,x0≤1 或
2

”的否定为____________________________.

14.(5 分)已知命题 p:x -x≥6,q:x Z,“p 且 q”与“非 q”同时为假命题,则 x 的取 值为________. 15.(5 分)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ________.

16.(5 分)已知椭圆

+

=1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1、F2 连线的夹角为直角,则

|PF1|?|PF2|=____________.

评卷人

得分 三、解答题(共 70 分)

17.(10 分)已知 p、q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,那么: (1)s 是 q 的什么条件? (2)r 是 q 的什么条件? (3)p 是 q 的什么条件? 18.(12 分)在直角坐标系中,求点(2x+3-x2,

)在第四象限的充要条件.

19.(12 分)椭圆过(3,0)点,离心率 e=

,求椭圆的标准方程.

20.(12 分)椭圆 ax +by =1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B,C 是 AB 的中点,若|AB|=2

2

2

,OC 的

斜率为

,求椭圆的方程.

21. (12 分) 如图,已知椭圆的中心在原点,它在 x 轴上的一个焦点 F 与短轴的两个端点

B1、B2 的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为
的方程.

,求这个椭圆

22. (文科做)(12 分)椭圆

(a,b>0)的两个焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,

且 PF1⊥F1F2,



.求椭圆 C 的方程.

(理科做)已知直线 y=ax+1 与双曲线3x2-y2=1 交于 A、B 两点,(1)若以 AB 为直径的圆过坐标 原点,求实数 a 的值;(2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线 请求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 高二数学参考答案 一、选择题 1.答案:B 解析:原命题为真,逆否命题为真,逆命题,否命题为假. “a=b,c=d”的否定为“a≠b 或 c≠d”. 对称?若存在,

2.答案:B 解析:若“tanα =1”,则 α =kπ + ∴“tanα =1”是“α = 3.答案:B 解析:若 x2+(y-2)2=0 ,α 不一定等于 ;而若“α = ”,则 tanα =1,

”的必要而不充分条件,选 B.

x=0 且 y-2=0

x(y-2)=0,但当 x(y-2)=0 时

x2+(y-2)2=0,如

x=0,y=3.
4.答案:D 解析:因为 p:2∈(A∪B),所以 2∈( A)∩( B). 5.答案:C 解析:原函数与反函数的图象关于 y=x 对称的否定是存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x 对称. 6.答案:C 解析:由 x +xy=x,得 x(x+y-1)=0. ∴x=0 或 x+y-1=0,它们表示两条直线. 7.答案:A 解析:设 P 点的坐标为(x,y),则 整理,得 8x2+8y2+2x-4y-5=0. 8.答案:B 解析:∵方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆, ,
2

p:2 (A∪B),即 2 A 且 2 B.所以 2∈ SA 且 2∈ B.故





.

9.答案:C

解析:由题设,知椭圆的方程为

(a>b>0),则

故所求的椭圆方程为

10.答案:A 解析:方程可化为 ,故椭圆焦点在 y 轴上,又 , ,所以

,故

.

11.答案:D 解析:由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8.由题可得|PF1|-|PF2|=2,则|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=4, ∴△PF1F2 为直角三角形. 12.答案:B 解析:由 P ,再由∠F1PF2=60°,有 =2a,从而可得 e= ,故选 B.

答案:B

解析:

.

∵a>1,∴ ∴ ∴ ,



,故选 B.

二、填空题

13.答案: x R,x>1 且 x ≤4

2

14.答案:-1,0,1,2 解析:∵“非 q”为假命题,则 q 为真命题; 又“p 且 q”为假命题,则 p 为假命题, ∴x -x<6,即 x -x-6<0 且 解得-2<x<3 且 ∴x=-1,0,1,2. ,
2 2



15.答案:



解析:由条件知 4b=2a+2C. ∴2b=a+c,4b2=a2+c2+2ac, 4(a2-c2)=a2+c2+2ac, 即 5c2+2ac-3a2=0,解得 .

16.答案:48 解析:两焦点的坐标分别为 F1(-5,0)、F2(5,0), 由 PF1⊥PF2,得|PF1| +|PF2| =|F1F2| =100.而|PF1|+|PF2|=14, ∴(|PF1|+|PF2|)2=196,100+2|PF1|?|PF2|=196,|PF1|?|PF2|=48. 三、解答题 17.答案:解:(1)由图知:∵q ∴s 是 q 的充要条件. (2)∵p s.s
2 2 2

r

q.

q,q

s

r,

∴p 是 q 的充要条件. (3)∵q s

r

p,∴p 是 q 的必要不充分条件.
”图(如图).

解析:将已知 r、p、q、s 的关系作一个“

18.答案:解:该点在第四象限

或 2<x<3.

所以该点在第四象限的充要条件是 解析:第四象限点的横、纵坐标都小于零. 19.答案:解:当椭圆的焦点在 x 轴上时, ∵a=3, ,∴c= .

或 2<x<3.

从而 b2=a2-c2=9-6=3, ∴椭圆的方程为 当椭圆的焦点在 y 轴上时, ∵b=3, ,



.∴a2=27.

∴椭圆的方程为

.

∴所求椭圆的方程为

20.答案:解法一:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得

a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.
而 , =kOC= ,

代入上式可得 b= 再由|AB|=

a.
,其中 x1、x2 是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0 的两根,

|x2-x1|=2

故( 将 b=

) -4?

2

=4, ,

a 代入得 a=

∴b=

.

∴所求椭圆的方程是 x2+

y2=3.

解法二:由 得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 ??

∵|AB|=2

,∴

.①

设 C(x,y),则 x=

=

,y=1-x=

,

∵OC 的斜率为

,∴

=

.

代入①,得 a=

,b=

.

∴椭圆方程为

.

解析:点评:解法一利用了设点代入、作差,借助斜率的解题方法,称作“差点法”,解法二是 圆锥曲线弦长的基本求法,是利用两点间的距离公式求得.

21.答案:如题图,由椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上知,椭圆方程的形式是 >b>0),再根据题目条件列出关于 a、b 的方程组,求出 a、b 的值. 解:设椭圆方程为 (a>b>0).

(a

由椭圆的对称性知,|B1F|=|B2F|,又 B1F⊥B2F, 因此△B1FB2 为等腰直角三角形.

于是|OB2|=|OF|,即 b=c. 又|FA|= ,即 a-c= ,且 a2=b2+c2.

将以上三式联立,得方程组

解得

所求椭圆方程是

.

解析:点评:要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用 a、b、c 表示出来,例如焦点与各顶点所 连线段的长等.这将有利于提高解题能力. 22. 答案:(文科) 解:因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, 从而 b =a -c =4, 所以椭圆 C 的方程为 .
2 2 2

,故椭圆的半焦距



(理科)答案:解:(1)由

消去 y,得(3-a )x -2ax-2=0.①

2

2

依题意





.



设 A(x1,y1),B(x2,y2),



∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB. ∴x1x2+y1y2=0. 但 y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,

由③④, ∴ 解得 a=±1 且满足②.

, .

.

(2)假设存在实数 a,使 A、B 关于 ∴ a,即 a=-2.

对称,则直线 y=ax+1 与

垂直,

直线 l 的方程为 y=-2x+1. 将 a=-2 代入③得 x1+x2=4. ∴AB 中点横坐标为 2, 纵坐标为 y=-2?2+1=-3. 但 AB 中点(2,-3)不在直线 即不存在实数 a,使 A、B 关于直线 上, 对称.



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