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高考数学二轮复习考点突破专题演练专题2第1讲



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专题二
第一讲
一、选择题

三角函数与平面向量
三角函数的图象及性质

1.(2010· 全国Ⅰ)记 cos(-80° )=k,那么 tan 100° = A. C. 1-k2 k k 1-k2 B.- D.- 1-k2 k k 1-k2<

br />
(

)

解析:∵cos(-80° )=cos 80° =k,sin 80° = 1-k2,∴tan 80° = 1-k2 =-tan 80° =- ,故选 B. k 答案:B

1-k2 ,而 tan 100° k

5π 5π? 2.(2010· 浙江第二次五校联考)已知角 α 的终边上一点的坐标为? ?sin 6 ,cos 6 ?,则角 α 的最小正值为 5π A. 6 2π B. 3 5π C. 3 11π D. 6 ( )

5π 1 5π 3 解析:∵sin = ,cos =- , 6 2 6 2

?cos α=2, ∴? 3 ?sin α=- 2 ,
π ∴α=- +2kπ,k∈Z. 3 ∵α>0,∴αmin= 答案:C 5π .故选 C. 3

1

3.(2009· 海南、宁夏卷)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则
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7π? f? ?12?= A.0 C.2 B.1 1 D. 2

(

)

2 5π π? 2π - = , 解析:由图象知最小正周期 T= ? 3? 4 4 ? 3 π? T π ?π T? ∵f? ?4?=0,∴f?4+2?=0,又2 =3, 7π? ?π π? ?π T? ∴f? ?12?=f?4+3?=f?4+2?=0. 答案:A

4.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一 周, 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l, 弦 AP 的长为 d, 则函数 d=f(l)的图象大致是( )

l? l l 解析: ? sin? AP =l,当 0≤l≤π,d=2sin2,当 π<l≤2π,d=2· ?π-2?=2sin2,∴d= l 2sin ,0≤l≤2π. 2 答案:C π? 4π 5.(2010· 辽宁)设 ω>0,函数 y=sin? ?ωx+3?+2 的图象向右平移 3 个单位后与原图象重 合,则 ω 的最小值是 2 A. 3 4 B. 3 3 C. 2 D.3 ( )

4π π 右移 个单位 3― ωx+ ?+2― 解析:y=sin? ― ― ― →y1 3? ?

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4π π x- ? ? =sin?ω? ? ? 3 ?+3?+2, π 4π ? 即 y1=sin? ?ωx+3- 3 ω?+2, 又 y 与 y1 的图象重合, 4π 则- ω=2kπ(k∈Z), 3 3 ∴ω=- k,又 ω>0,k∈Z, 2 3 ∴k=-1 时 ω 取最小值为 .故选 C. 2 答案:C 二、填空题 6.已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是________. 解析:f(x)=sin2x-sin xcos x 1 1 = (1-cos 2x)- sin 2x 2 2 =- π 1 2 ? sin?2x+4? ?+2, 2

2π ∴T= =π. 2 答案:π 7.(2009· 海南)y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图,则 φ=________.

3π 5π 2π 5π 4 2π- ?= ,即 = 则 ω= ; 解析:T=2? 4? 2 w 2 ? 5 3π 3π 3π 3π 9π 当 x= 时,ωx+φ= ,即 +φ= ,解得:φ= . 4 2 5 2 10 9π 答案: 10

2 2 8.函数 f(x)= 3cos x+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 5 5 2 π? 2 2 解析:f(x)= 3cos x+sin x=2sin? ?5x+3?, 5 5
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2π T 5π ∴周期为 T= =5π,则相邻的对称轴间的距离为 = . 2 2 2 5 5π 答案: 2 9.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围是________.

解析:数形结合法:f(x)=
? ?3sin x, ? ?-sin x, ?

x∈[0,π], x∈?π,2π].

由图象知 1<k<3. 答案:1<k<3 三、解答题 1 2 ? 10.(2010· 苏北四市二模)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ? ?2,cos θ?在角 α 的终边上, 1 → → 点 Q(sin2θ,-1)在角 β 的终边上,且OP· OQ=- .,(1)求 2 (1)求 cos 2θ 的值; (2)求 sin(α+β)的值. 1 1 1 1 1 → → 解: (1)因为OP· OQ=- ,所以 sin2θ-cos2θ=- ,,即 (1-cos2θ)-cos2θ=- , 2 2 2 2 2 2 1 2 1 所以 cos2θ= ,,所以 cos 2θ=2cos2θ-1= .,(2)因为 cos2θ= ,所以 sin2θ= ,所以点 3 3 3 3 1 2? ?1 ? P? ?2,3?,点 Q?3,-1?. 1 2? 又点 P? ?2,3?在角 α 的终边上,所以 4 3 sin α= ,cos α= . 5 5 -3 10 10 同理 sin β= ,cos β= , 10 10 所以 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 4 10 3 ? 3 10? 10 = × + × =- . 5 10 5 ?- 10 ? 10

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π 11.(2010· 广东)已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在 x= 时 12 取得最大值 4. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; 2 π ? 12 (3)若 f? ?3α+12?= 5 ,求 sin α. 2π 解:(1)T= . 3 π 3× +φ?=1, (2)由题设可知 A=4 且 sin? ? 12 ? π π π 则 φ+ = +2kπ,得 φ= +2kπ(k∈Z). 4 2 4 π π 3x+ ?. ∵0<φ<π,∴φ= ,∴f(x)=4sin? 4 ? ? 4 2 π π 12 α+ ?=4sin?2α+ ?=4cos 2α= , (3)∵f? 2? ?3 12? ? 5 3 1 1 ∴cos 2α= ,∴sin2α= (1-cos 2α)= , 5 2 5 5 ∴sin α=± . 5 π 12.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象如图所示. 2

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求直线 y= 6与函 4 数 y=f(x)+g(x)的图象在(0,π) 内所有交点的坐标. 2π π 解:(1)由图知 A=2,T=π,于是 ω= =2,将 y=2sin 2x 的图象向左平移 ,得 T 12 y=2sin(2x+φ)的图象. π π π 2x+ ?. 于是 φ=2· = ,∴f(x)=2sin? 6? ? 12 6 π π x- ?+ ? (2)依题意得 g(x)=2sin?2? ? 4? 6

?

?

π 2x+ ?. =-2cos? 6? ? π π 2x+ ?-2cos?2x+ ? 故 y=f(x)+g(x)=2sin? 6? 6? ? ?
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π? =2 2sin? ?2x-12?.

? ?y= 6 π? 3 ? 由? π ? 得 sin?2x-12?= 2 . ? ? ?y=2 2sin?2x-12?
π π π 2π ∴2x- = +2kπ 或 2x- = +2kπ(k∈Z) 12 3 12 3 5π 3π ∴x= +kπ 或 x= +kπ 24 8 ∵x∈(0,π) 5π 3π ∴x= 或 x= 24 8 5π ? ?3π ? ∴交点坐标为? ?24, 6?,? 8 , 6?.

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