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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第三章 三角恒等变形 三角恒等变换公式的综合应用练习 北师大版必修4



习题课——三角恒等变换公式的综合应用
1.已知 θ 为第二象限角,sin(π -θ )=,则 cos 的值为( A. B. C.± ) D.±

解析:∵θ 为第二象限角,∴为第一、三象限角.

∴cos 的值有两个.
由 sin(π -θ )=,可知 sin θ =,∴cos θ =-.

∴2co

s2=cos θ +1=.∴cos=±.
答案:C 2.的值是( A. 解析:原式= ) B. C. D.

= =.
答案:C 3.若 sin,则 cos=( A. 解析:∵sin,∴sin, ) B.C. D.-

∴cos, ∴cos=2cos2-1 =2×-1=-,选 D.
答案:D 4.函数 y=cos 的图像沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0)后,所得图像关于 y 轴对称,则 a 的最小值为 ( A.π
2 2

) B. C. D.

解析:∵y=cos =-sin 2x+,将 y=-sin 2x+向右平移 a 个单位后得到 y=-sin(2x-2a)+,又根据其图像 关于 y 轴对称,则 2a=kπ +,k∈Z,∴amin=. 答案:D 5.关于函数 f(x)=2(sin x-cos x)cos x 的四个结论:

P1:最大值为; P2:把函数 g(x)=sin 2x-1 的图像向右平移个单位后可得到函数 f(x)=2(sin x-cos x)cos x 的图像; P3:单调递增区间为,k∈Z; P4:图像的对称中心为,k∈Z.
其中正确的结论有( A.1 个 ) B.2 个
2

C.3 个

D.4 个

解析:因为 f(x)=2sin xcos x-2cos x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以最大值为-1,所以 P1 错误. 将 g(x)=sin 2x-1 的图像向右平移个单位后得到 h(x)=·sin 2-1=sin-1 的图像,所以 P2 错误.

1

由-+2kπ ≤2x-+2kπ ,k∈Z, 解得-+kπ ≤x≤+kπ ,k∈Z,即增区间为,k∈Z,所以 P3 正确. 由 2x-=kπ ,k∈Z,得 x=π +,k∈Z, 所以图像的对称中心为,k∈Z,所以 P4 正确,所以选 B. 答案:B 6.= 解析:

. =.

答案: 7. 导学号 03070144 若 sin,0≤α ≤π ,则 tan α 的值是 解析:.∵0≤α ≤π ,∴0≤. 当 0≤时,cos≥sin,∴原式=2sin. 又原式=sin,∴sin=0,∴tan=0,

.

∴tan α ==0.
当<α ≤时,cos<sin,∴原式=2cos. 又原式=sin,∴tan=2,∴tan α =-. 答案:0 或8.(2015 湖北高考)函数 f(x)=4cos cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为 答案:2 解析:令 f(x)=4··sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|=0,即 sin 2x=|ln(x+1)|,在同一 坐标系作出 y=sin 2x 与 y=|ln(x+1)|的图像.
2

.

由图像知共 2 个交点,故 f(x)的零点个数为 2. 答案:2 9.(2015 广东高考)已知 tan α =2. (1)求 tan 的值; (2)求的值. 解:(1)tan

==-3.
(2)

= = ==1.
10.已知 5sin β =sin(2α +β ),求证:2tan(α +β )=3tan α . 证明:5sin β =5sin[(α +β )-α ]

2

=5sin(α +β )cos α -5cos(α +β )sin α ,
sin(2α +β )=sin[(α +β )+α ]

=sin(α +β )cos α +cos(α +β )sin α . ∵5sin β =sin(2α +β ),∴5sin(α +β )cos α -5cos(α +β )sin α =sin(α +β )·cos
α +cos(α +β )sin α ,∴4sin(α +β )cos α =6cos(α +β )sin α ,∴2tan(α +β )=3tan α . 11. 导学号 03070145 已知向量 a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). (1)若 x=,求向量 a,c 的夹角; (2)当 x∈时,求函数 f(x)=2a·b+1 的最大值. 解:(1)∵a=(cos x,sin x),c=(-1,0),

∴|a|==1,|c|==1.
当 x=时,a=, a·c=×(-1)+×0=-,cos<a,c>==-.∵0≤<a,c>≤π ,∴<a,c>=. (2)f(x)=2a·b+1=2(-cos x+sin xcos x)+1
2

=2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x =sin. ∵x∈,∴2x-,
故 sin,

∴当 2x-,即 x=时,f(x)max=1.

3



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