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河南省邓州、灵宝、巩义、孟津四校2012届高三第三次联考理科数学



河南省邓州、灵宝、巩义、孟津四校 2012 届 高三第三次联考理科数学

数学(理)试题
2012-4-29

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? { x | 0 ? x ? 3}, B ? { y | y ?

2 , x ? 1} ,则 A∩B 为
x

A.[0,3]

B. (2, 3]

C. [3, ?? )

D.[1,3]

2.若复数(a +i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是 A.-l B. 1
1 2

C. 2

D.一 2

3.在等差数列{ a n }中, a 8 ? A.24 B.48
1 2 ? 1 4

a11 ? 6 ,则数列{ a n }前 9 项的和 S9 等于

C.72
? 1 6 ? 1 8 ? ... ? 1 100

D.108 的一个程序框图,

4.右图给出的是计算

其中判断框内应填入的条件是 A. i ? 50 B. i ? 50 C. i ? 25 D. i ? 25 5.某小区有排成一排的 7 个车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放, 如果要求剩余的 4 个车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为 A.16 B.18 C.24 D.32 6. 若 a ? log 2 3 , b ? log 3 2 , c ? log 4 6 , 则 下 列 结 论 正 确 的 是

A. b ? a ? c B. a ? b ? c C. c ? b ? a D. b ? c ? a 7.已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦为 4,若其中 的一圆的半径为 4,则另一圆的半径为 A. 10 B. 11 C. 2 3 D. 13 .

8.一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm) , 俯视图中圆与四边形相切,且该几何体的体积为
26 2 3

h

h

? cm ,则该几何体的高 h 为
3

A. ? cm B. (? ?
2 )cm

6

6

3

3

主视图

左视图

C. (? ? 2 2 )cm
俯视图 第 8题

D. (3? ? 2 2 )cm 9.由曲线 y ? x ? 1 、直线 x=0、x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积可表示为
2

A. ? ( x 2 ? 1)dx
0

2

B.

?

2

| x ? 1 |dx
2

0 2

C. | ? ( x 2 ? 1)dx |
0

2

D. ? ( x 2 ? 1)dx ?
0

?

2

( x ? 1)dx
2

1

( 10.设函数 f ( x ) ? 2 sin ? x +

?
4

) ( ? > 0 ) 与函数 g ( x ) ? co s( 2 x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的对称轴完

全相同,则 ? 的值为) A.
?
4

B. ?

?
4

C.

?
2

D. ?

?
2

11.设 e 1 、 e 2 为焦点在 x 轴且具有公共焦点 F 1 、 F 2 的标准椭圆和标准双曲线的的离心率, O 为坐标原点, P 是两曲线的一个公共点,且满足 2 op = F1 F 2 ,则
e1e 2 e1 ? e 2
2 2

的值为

A.2

B.

2 2

C. 2

D.1

1 ? ?x ? ,x ? 0 2 12.已知函数 f ( x ) ? ? ,则函数 y ? f ( 2 x ? x ) ? a ( a ? 2 )的零点个数不 x ? x 3 ? 3, x ? 0 ?

可能 为 A.3

B.4

C5

D.6

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题至第 21 题为必考题,第 22 题至第 24 题为 选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,
4 2 3 4 5 13.若 x (1 ? m x ) ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 x ? a 5 x ,其中 a 2 ? ? 6 ,

则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 的值为

.

? y ? x, ? 14.已知 z=2x +y,x,y 满足 ? x ? y ? 2, 且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值 ? x ? a, ?

是 15.已知函数 f ( x ) ? ?


? ? x 2 ? a x , x ? 1, ? a x ? 1, x ? 1,

若 ? x1 , x 2 ? R , x1 ? x 2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立,则实 。

数 a 的取值范围是

? a1 1 ? 16. 由 9 个正数组成的数阵 ? a 2 1 ?a ? 31

a1 2 a22 a32

a 1 3? ? a 2 3 每 行中的三个数成等差数 列,且 ? a 3 3? ?

all+a12+a13,a2l+a22+a23,a3l+a32+a33 成等比数列.给出下列结论: ①第二列中的 a12,a22,a32 必成等比数列; ②第一列中的 a11,a21,a31 不一定成等比数列; ③a12+ a32≥a21+a23; ④若 9 个数之和大于 81,则 a22>9. 其中正确的序号有 . (填写所有正确结论的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡上的指定区域内. 17.(本小题共 12 分) ? x ? ? ) 已知函数 f (x ) ? M sin( ? ? )( M 0,| | ? ? 的 部 分 图 象 如 图 所示.
2

(I)求 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 ; ABC 中,角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是a 、 b 、 c (II)在△ 若( 2 a ? c ) co s B ? b co s C , 求 f ( 18.(本小题满分 12 分) 某班甲、乙两名同学参加 l00 米达标训练,在相同条件下两人 l0 次训练的成绩(单位: 秒)如下:
甲 乙 1 11.6 12.3 2 12.2 13.3 3 13.2 14.3 4 13.9 11.7 5 14.0 12.0 6 11.5 12.8 7 13.1 13.2 8 14.5 13.8 9 11.7 14.1 10 14.3 12.5

A 2

) 的 取 值 范 围.

(I)请作出样本数据的茎叶图;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛, 从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直 接回答结论). (Ⅱ)从甲、 乙两人的 10 次训练成绩中各随机抽取一次, 求抽取的成绩中至少有一个比 12. 8 .. 秒差的概率. (Ⅲ)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计, 甲、 乙的成绩都均匀分布在[11.5, 14. 5] 之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,
AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ?

1 2

CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上.

(I)当点 M 为 EC 中点时,求证: BM ∥平面 ADEF ; (II)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 体积.
6 6

时,求三棱锥 M ? BDE 的

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) ,F ( 2 , 0) 为其右焦点,过 F 垂直于 x 轴的直线

与椭圆相交所得的弦长为 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 直线 l: y=kx+m km ? 0 ) ( 与椭圆 C 交于 A、 两点, B 若线段 AB 中点在直线 x+2y=0 上,求 ? FAB 的面积的最大值。 21.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 x ? 2 e x ? 3e ln x ? b 在 ( x 0 , 0 ) 处的切线斜率为零.
2 2

(Ⅰ)求 x 0 和 b 的值; (Ⅱ)求证:在定义域内 f ( x ) ≥ 0 恒成立; (Ⅲ) 若函数 F ( x ) ? f ? ( x ) ?
a x

有最小值 m ,且 m ? 2 e ,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 B

⌒ 如图, ⊙ O 是△ ABC 的外接圆,D 是AC 的中点,BD 交 AC 于 E.
(Ⅰ)求证: DC ? DE ? DB ;
2

O. C E A D

(Ⅱ)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ?
? ?x ? t ?y ? ? 3t

( t 为参数) ,

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程 为 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | . 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | . (Ⅰ)求证: ? 3 ? f ( x ) ? 3 ; (Ⅱ)解不等式 f ( x ) ? x 2 ? 2 x .

河南省邓州、灵宝、巩义、孟津四校 2012 届高三第三 次联考理科数学
一、选择题: BADBC 二、填空题:13. 三.解答题: . 17.(1)由图像知 A ? 1 , f ( x ) 的最小正周期 T ? 4 ( 将点 (
?
6 ,1) 代入 f ( x ) 的解析式得 sin(
5? 12 ? 1 16

数学(理)试题答案
DDCBB BA 14.
1 4

15. ? ?? , 2 ?

16.① ② ③

?
6

) ? ? ,故 ? ? 2 … (2 分)

?
3

? ? ) ? 1 ,又 | ? |?

?
2

) ……………… 4 分 ks5u 6 6 (2)由 ( 2 a ? c ) cos B ? b cos C 得 2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C

故? ?

?

所以 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?

所以 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ……………………6 分 因为 sin A ? 0
f( A 2 ) ? sin( A ?

所以 cos B ?
?
6 )

1 2 2? 3

B ?

?
3

A?C ? ? A?

2? 3

………………8 分

0? A?

?
6

?
6

?

5? 6

……………………10 分

1 2

? f(

A 2

) ? sin( A ?

?
6

) ? 1 …………12 分

18. 解:(Ⅰ)茎叶图

…………2 分 从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小,应选派乙同学代表班级参加 比赛更好;………………4 分 (Ⅱ)设事件 A 为:甲的成绩低于 12.8,事件 B 为:乙的成 绩低于 12.8, 则 甲 、 乙 两 人 成 绩 至 少 有 一 个 低 于 12.8 秒 的 概 率 为 :
P ? 1 ? P ( A)( B ) = 1 ?

4 10

?

5 10

?

4 5

;……………8 分

(Ⅲ)设甲同学的成绩为 x ,乙同学的成绩为 y , 则 x ? y ? 0.8 ,……………10 分 得 ?0.8 ? x ? y ? 0.8 ? x , 如图阴影部分面积即为 3 ? 3 ? 2.2 ? 2.2 ? 4.16 ,则
P ( x ? y ? 0.8) ? P (?0.8 ? x ? y ? 0.8 ? x) ? 4.16 3? 3 ? 104 225

.

…………12 分

19 解: (1)以直线 DA 、 DC 、 DE 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系,则 A( 2,0,0) , B( 2,2,0) C (0,4,0) , E (0,0,2) ,所以 M (0,2,1) .

∴ BM ? (?2,0,1) ————————2 分 又, OC ? (0,4,0) 是平面 ADEF 的一个法向量. ∵ BM ? OC ? 0 即 BM ? OC ∴ BM ∥平面 ADEF ——————4 分 (2)设 M ( x , y , z ) ,则 EM ? ( x , y , z ? 2) ,又 EC ? (0,4,?2) 设 EM ? ? EC (0 ? ? ? 1 ,则, x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? 即 M (0,4? ,2 ? 2? ) .——6 分 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BDM 的一个法向量,则
OB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 OM ? n ? 4? y1 ? ( 2 ? 2? ) z 1 ? 0

取 x1 ? 1 得 y1 ? ?1, z1 ?

2? 1? ?



n ? (1,?1,

2? 1? ?

)

又由题设, OA ? ( 2,0,0) 是平面 ABF 的一个法向量,——————8 分 ∴
| cos ? OA, n ?|? OA ? n | OA | ? | n | ? 2 2? 2 4?
2 2

?

6 6

?? ?

1 2

————10 分

(1 ? ? )

即点 M 为 EC 中点,此时, S ?DEM ? 2 , AD 为三棱锥 B ? DEM 的高, ∴
V M ? BDE ? V B ? DEM ?

1 3

? 2? 2 ?

4 3

————————————12 分

?c ? 2 ? 2 2 2 ?a ? 2 x y ?b (20)解: (Ⅰ)由题意 ? 解得 ? ,所求椭圆方程为 ? ?1 ?1 4 2 a ?b ? 2 ? ?a2 ? b2 ? c2 ?

-----------4 分
?x2 ? 2 y 2 ? 4 2 2 2 ( (Ⅱ)联立方程组 ? 消去 y 得 1 ? 2 k ) x ? 4 kmx ? 2 m ? 4 ? 0 ---5 分 ? y ? kx ? m
? ? 16 k m ? 4 ? 2 ( m ? 2 )(1 ? 2 k ) ? 8 ( 6 ? m ) ? 0 ,
2 2 2 2 2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x 0 , y 0 ) ,由韦达定理得
x0 ? x1 ? x 2 2 ? ? 2 km 1 ? 2k
2

, y 0 ? kx 0 ? m ?

m 1 ? 2k
2



由点 P 在直线 x ? 2 y ? 0 上,得 k ? 1 .
2 2 6?m 3
2

……7 分
2

所以 AB ?

2

?

4 6?m 3



点 F ( 2 , 0 ) 到直线 AB 的距离 d ?

2 ?m


2

三角形 ? F A B 的面积 S F A B ? 分 设 u ( m ) ? (6 ? m )( m ?
2

1 2

AB d ?

2 3

2?m

6?m (m ?
2

6 , m ? 0) .…10

2) ( m ?
2

, 6, m ? 0 )
2 )= 0得 :

? 由 u '( m ) ? ? 2(2 m ? 3 2 )( m ?

2 )( m ?

m ??

3 2 2

或m ? ? 2 或m ?

2

当? 6 ? m ? ? 当? 2 ? m ?
3 2 2

3 2 2

时, u '( m ) ? 0 ;当 ?

3 2 2

? m ? ? 2 时, u '( m ) ? 0 ;

2 时, u '( m ) ? 0 ;当 2 ? m ?
3 4

6 时, u '( m ) ? 0

又 u (?

)?

,

u ( 2 ) ? 32
8 3

所以当 m ?

2 时, ? F A B 的面积取最大值
3e x
2



……12 分

(21) (Ⅰ)解: f ?( x ) ? x ? 2e ?

.

由题意有 f ?( x 0 ) ? 0 即 x 0 ? 2 e ? 得 f (e) ? 0 即
1 2
2 2 2

3e

2

x0

? 0 ,解得 x 0 ? e 或 x 0 ? ? 3e (舍去) .
1 2

e ? 2 e ? 3e ln e ? b ? 0 ,解得 b ? ?

e .
2

2

-----4 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

1 2

x ? 2e x ? 3e ln x ?
2 2

e

( x ? 0) ,

2 ( x ? 0) .

f ?( x ) ? x ? 2e ?

3e x

2

?

( x ? e)( x ? 3e) x

在区间 (0, e) 上,有 f ?( x ) ? 0 ;在区间 (e, ?? ) 上,有 f ?( x ) ? 0 . 故 f ( x ) 在 (0, e) 单调递减,在 (e, ?? ) 单调递增, 于是函数 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上的最小值 f (e) ? 0 . 故当 x ? 0 时,有 f ( x ) ≥ 0 恒成立. (Ⅲ)解: F ( x ) ? f ?( x ) ?
a x ? x? a ? 3e x
2

…………8 分
2

? 2e ( x ? 0) .当 a ? 3e 时,则

F ( x) ? x ?

a ? 3e x

2

? 2e ? 2 a ? 3e ? 2e ,当且仅当 x ?
2

a ? 3e 时等号成立,
2

故 F ( x ) 的最小值 m ? 2 a ? 3e 2 ? 2e ? 2 e ,符合题意;

……13 分

当 a ? 3e 2 时,函数 F ( x ) ? x ? 2e 在区间 (0, ?? ) 上是增函数,不存在最小值,不合题意;
a ? 3e x
2

当 a ? 3e 时,函数 F ( x ) ? x ?
2

? 2e 在区间 (0, ?? ) 上是增函数,不存在最小值,

不合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 (3e , ?? ) .
2

…………12 分

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解: (I)证明:∵ ?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ∴ ?CBD ? ?ECD ,又 ?CDB ? ?EDC , ∴△ BCD ~△ CED ,∴
DE DC ? DC DB

,∴CD 2 =DE· DB;

…………5 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 由?
? x ? ? cos ? ? y ? ? sin ?
3 x ---------2 分

代入得 ? sin ? ?
?
3

3 ? cos ? ? ? ?

?
3

( ? ? R) .

( 也可以是: ? ?

或? ?

4? 3

( ? ? 0) )---------------------5 分

? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? ? ? ? ? 3 ?

得 ? 2 ? 3 ? ? 3 ? 0 ----------7 分
( ? 1 ? ? 2 ) ? 4? 1 ? 2 ?
2

设 A( ? 1 ,

?
3

) , B( ? 2 ,

?
3

) ,则 | AB |?| ? 1 ? ? 2 |?

15 .------10 分

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲
? 3 ? 解: (1) f ( x ) ? ? ? 2 x ? 1 ? ?3 ? ( x ? ?1) ( ?1 ? x ? 2) ,------------------3 分 ( x ? 2)

又当 ? 1 ? x ? 2

时, ? 3 ? ?2 x ? 1 ? 3 , ∴ ? 3 ? f ( x ) ? 3 -----------------5 分

(2)当 x ? ?1 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? x ? 1 ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ; 当 x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?3 ? x ? ? ;-------------------------8 分 综合上述,不等式的解集为: ?? 1,1? .-------------------------10 分



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