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2.2.1-2.3直线和平面平行(判定和性质)


2.2直线、平面平行的判定及性质 直线、 直线

2.2.1、2.3直线与平面平行的判定 、 直线与平面平行的判定 及性质

西华一高高一数学组

一.直线和平面的位置关系

①a ?β
定义:

②a∩β=A 或a ? β

③a∥β ∥ 或a ? β

(1)一条直线和一个平面有两个公共点,叫做直线 一条直线和一个平面有两个公共点,叫做直线 一条直线和一个平面有两个公共点 在平面内。 在平面内。 (2)一条直线和一个平面只有一个公共点 叫做直线 一条直线和一个平面只有一个公共点,叫做 一条直线和一个平面只有一个公共点 叫做直线 与平面相交。 与平面相交。 (3)直线和平面没有公共点 叫做直线与平面平行。 直线和平面没有公共点,叫做直线与平面平行。 直线和平面没有公共点 叫做直线与平面平行

(2) (3)合称“直线不在平面内”。 合称“ 合称 直线不在平面内”

二、直线与平面平行
1、判定定理:若不在一个平面内一条直线和这个平 判定定理: 不在一个平面内一条直线和这个平
面内的一条直线平行, 面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行

即:l ? α , m ? α , l // m ? l // α
假设直线 l 不平行于α , l 证明: 证明: 则

若 P∈ m ,则 与 l // m 矛盾 α 若 P ? m , l, m 成异面直线 与 l // m 矛盾 成异面直线, 则

l ∩α = P

m P

∴ l // α

简述为: 线线平行, 简述为: 线线平行,则线面平行
注意:使用定理时,必须具备三个条件:

(1)直线a在平面α外, (2)直线b在平面α内, (3)两条直线a、b平行 三个条件缺一不可,缺少其中任何一条,则结论就不一定成 立了。

例1、P是 ABCD所在平面外 所在平面外
一点,Q 的中点, 一点 Q是PA的中点, 的中点 求证: 平面BDQ 求证:PC//平面 平面

P

Q

A

D

B

O C

例2、在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD 在空间四边形ABCD中 ABCD 分别是AB、 AB 的中点,求证:EF∥平面 平面BCD. 的中点,求证:EF∥平面BCD. A E B F D

C

巩固练习 如图,在正方体ABCD- 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列 ABCD 直线和平面的位置关系如何? 直线和平面的位置关系如何?
(1)直线BC1和平面ADD1A1; 直线BC 和平面ADD
A1 D1 B1 D C C1

(2)直线DE和平面BCC1B1. 直线DE和平面BCC DE和平面
A E B

若一条直线和一个平面平行, 若一条直线和一个平面平行,经 2、性质定理: 性质定理: 过这条直线的平面和这个平面相交, 过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线 就和交线平行。 就和交线平行。

即: l // α , l ? β , α ∩ β = m ? l // m
证明: 证明: ∵ l ∥α ∴l和α没有公共点 在α内 没有公共点,m在 内 和 没有公共点 ∴l和m也没有公共点 和 也没有公共点 都在平面β内 且没有公共点 又l和m都在平面 内,且没有公共点 和 都在平面 ∴ l∥m ∥

β

l
m

α
直线与平面平行的性质定理可简述为 “线面平行,则线线平行” 线面平行,则线线平行” 线面平行

例3、求证平面外的两条平行线中的 、 一条平行于这个平面, 一条平行于这个平面,则另一条也平 行于这个平面

已知:直线a // b, a // 平面α , b ? α 求证:b // α
β

a

b

α

c

A

例 4 在图中所示的一块木料中,棱BC平行于平 面A’C’ . (1)要经过平面 A′C ′ 内的一点P 和棱BC将木料据 开,应怎样画线? (2)所画的线和平面AC 是什么位置关系?

D′ A′ D A B P B′ C′

C

分别是AB、 例5、空间四边形 、空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是 、 , 、 、 、 分别是 BC、CD、DA上的点,若EFGH是平行四边形, 上的点, 是平行四边形, 、 、 上的点 是平行四边形 求证: 平面EFGH. 求证:BD//平面 平面 AC//平面 平面EFGH. 平面
B F C G E A H D

2.

如图 , 正方体 AC1 中,点N在 BD上,点M在B1 C上 点 在 上点 在 上 且CM = DN, 求证: 平面AA 求证 MN // 平面 1B1B .
D N A B M D1 A1 E C1 C

F

B1

小结
1.直线与平面平行判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内 的一条直线平行, 的一条直线平行,那么这条直线和这个平 面平行 。 2.直线与平面平行性质定理 如果一条直线和一个平面平行, 如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交, 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线就和交线平行。 么这条直线就和交线平行。

1. 如图,ABCD与ABEF是两个全等正方形,AM=NF, 如图, 是两个全等正方形, 与 是两个全等正方形 , 求证: 平面BCE 求证:MN // 平面

D M

C

A N F

B

E

2.已知 如图 已知:如图 平面β,AC//BD,且AC、 已知 如图,AB//平面 平面 且 、 BD与 β,分别相 交于点 D. 与 分别相 交于点C, 求证: 求证:AC=BD 证明: 证明: ∵AB∥β , ∥ 平面AD∩β=CD 平面 ∴AB∥CD ∥ ∵AC∥BD ∥ ∴ABCD是平行四边形 是平行四边形

∴AC=BD


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