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2.5 平面向量应用举例



2.5 平面向量应用举例
学习目标: 1、用向量的方法研究平面几何 2、用向量的方法研究物理应用举例

一、平面几何中的向量方法
向量概念和运算,都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的 运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为 我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象: 与向量有关的如距离、平行、

三点共线、垂直、夹 角等几何问题

充分利用向量这个工具来解决

问题:平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图,你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗?

???? ???? ???? ???? ???? ???? DB ? AB ? AD, AC ? AB ? AD,
猜想:
1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系? A 2.类比猜想,平行四边形有相似关系吗? B

D

C

例1、证明平行四边形四边平 方和等于两对角线平方和
A 已知:平行四边形ABCD。 求证: AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? DA2 ? AC 2 ? BD 2

D
B

C

分析:因为平行四边形对边平行且相等, 故设 AB ? a, AD ? b ,其它线段对应向量用它们

表示。

解:设 AB ? a, AD ? b ,则
BC ? b, DC ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b
AB ? BC ? CD ? DA ? 2( a ? b )
2 2 2 2 2 2

D
A B

C

AC ? BD ? a ? b ? a ? b
2 2

?

? ?
2

?

2

2 2 2 ? 2 ? ? ? ? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2? a ? b ? ? 2? a ? b ? ? ? ? ? 2 2 2 2



AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? DA2 ? AC 2 ? BD 2

跟踪训练 1.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AD=1, AB=2, 对角线BD=2,求对角线AC的长.

→ → → → 解:设AD = a,AB=b,则AC= a+b,BD =a- b. 由已知|a|=1, |b|= 2, |a- b|=2, ∴ (a-b)2= |a-b|2= 4, 即 a2-2a· b+ b2= 4,

1 ∴ 1- 2a· b+ 4= 4,∴ a· b= , 2 ∴ |a+b|2=(a+ b)2= a2+ 2a· b+ b2 1 = 1+ 2× + 4= 6, 2 → ∴ |a+b|= 6,即 |AC|= 6, 故对角线 AC 的长为 6.

你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基 本思路吗?
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉 及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、 夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系。

简述:形到向量

向量的运算

向量和数到形

? 例2. 如图, ABCD 中,点E、F分别是AD 、 DC边 的中点,BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点,你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?
猜想:
AR=RT=TC
A E D F C

R

T

B

???? ? ???? ? ???? ? 解:设 AB ? a, AD ? b, AR ? r , 则 ??? ? ??? ? 由于 AR 与 AC 共线,所以设 ??? ? ??? ? ??? ? ? 1? ? EB ? AB ? AE ? a ? b 2 ??? ? ??? ? 又因为 ER与EB 共线,

???? ? ? AC ?? a ??? b ?

r ? n(a ? b), n ? R

? b E

D
R

F
T

C

所以设 因为

??? ? ???? ? 1? ER ? m EB ? m(a ? b ) A 2 ???? ???? ??? ? AR ? AE ? ER

? a

B

? 1? ? 1? r ? b ? m(a ? b ) 所以 2 2 ? ? 1? ? 1? 因此n(a ? b ) ? b ? m(a ? b ) 2 2

? m ?1 ? ? 即( n ? m )a ? ( n ? )b ? 0 2 ? ? 不共线, ?a, b
?n ? m ? 0 ? ?? m ?1 n? ? 0 ? ? 2

D E

F

C T B

R

A

1 解得:n= m = 3
???? 1 ???? ??? ? 1 ???? ???? 1 ???? 所以 AR ? AC ,同理TC ? AC , 于是 RT ? AC 3 3 3

故AT=RT=TC

练习:证明直径所对的圆周角是直角 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析:要证∠ACB=90°,只须 A 证向量 AC ? CB 即AC ? CB ? 0 解:设 AO ? a, OC ? b 则 AC ? a ? b, CB ? a ? b
2

C

? a

? b
O

B


2 2 2

由此可得: AC ? CB ? a ? b a ? b

? ?? ?

? a ?b ? a ? b

? r2 ? r2 ? 0

即AC ? CB ? 0 ,∠ACB=90°

二、向量在物理中的应用举例
情景1:两人一起提一个重物时,怎样提它最省力? 角越夹小越省力

情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时,手臂的拉力与 手臂握杠的的姿势有什么关系?
两臂的夹角越小,手臂就越省力

例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人 共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引 体向上运动,两臂的夹角越小越省力,你能从数 ?? 学的角度解释这种现象吗? F 分析:上述的问题跟如图所示的是同个 问题,抽象为数学模型如下: ?? ? ?? ? ? 用向量F1 ,F2表示两个提力,它们 F F2 1 的合向量为 F ,物体的重力用向量 G 来表示, F1,F2的夹角为θ,如右图 所示,只要分清F,G和θ三者的关系, ?? 就得到了问题得数学解释! G

?? ? ?? ? 解:不妨设 | F1 |?| F2 | ,由向量的 平行四边 ?? 形法则,力的平衡以及直角三角形的知识, F
?? ? 可以知道: | F1 |?

? ?? ? 通过上面的式子,知当θ由0? ?? ? F F2 1 ? 到180? 逐渐变大时, 到90? 逐 2 由0? cos ? 的值由大逐渐变小. 渐变大, 2 ?? ? ?? ? | F1 | 由小逐渐变大. G ?? ? ?? ? 即 F1 与 F2 之间的夹角越大越费力,夹角 越小越省力!

2cos ? 2

?? |G |

?? ? | F1 |?

?? ? | (1)θ为何值时,| F1 最小,最小值是多少? ?? ? ? cos | F | 答:在上式中,当 θ =0 ? 时, 最大, 最 1 2 ?? 小且等于 | G | . ?? ? ? ? | F1 | 能等于| G | 吗?为什么? (2)
? 1 , 即θ=120?时, 答:在上式中,当 cos ? 2 2
2

2cos ? 2

?? |G |

?? ? ? ? | F1 |?| G |

? ? 如果绳子的最大承受力为 (3) | G |? 200 3 N , θ在什么范围内,绳子才不会断? ?? F
由 200 3 ≤ 200, ? cos ? ≥ 3 , 2 2 2cos ? 2

?? ? | F1 |? 200 N ,

?? ≤ ? , 2 6

?? ≤ ? . 3

?? ? F1

?

?? ? F2

? ? ? 从而可知? ? ? 0 ,60 ? ? 绳子才不会断.

?? G

【1】如图所示,用两条成120? 的等长的 绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N, 则每根绳子的拉力是10N ________.
?? |G |

120?

?? ? | F1 |?

?? G

2cos ? 2

例4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m, 一 ?? 艘船从A处出发到河对岸 ,已知船的速度 | v1 |? 10km / h, ?? ? ,水流速度 | v2 |? 2km / h, 问行驶航程最短时,所用时 间是多少?(精确到0.1min)

?? v1

? v
?? ? v2

? ?? ? ? ? ?? 分析:如图,已知v ? v1 ? v2, v1 ? 10km / h, ? ? ? ? ? ? ? ?????????? v2 ? 2km / h, v ? v2,求t .

解:由已知条件得 v ? v2 ? 0
? ? ? v2

B
? v

? | v |? | v1 |2 ? | v2 |2 ? 96(km / h),

A

d 0.5 所以 t ? ? ? 60 ? 3.1(min). |v| 96 答:行驶的航程最短时,所用的时间是3.1min。

?? v1

(2)行驶时间最短时,所用的时间是多少?
(2)小船过河的问题有一个特点,就是小船在 垂直于河岸的方向上的位移是不变的,我们只要使 得在垂直于河岸方向上的速度最大,小船过河所用 的时间就最短,河水的速度是沿河岸方向的,这个 分速度和垂直于河岸的方向没有关系,所以使小船 垂直于河岸方向行驶(小船自身的速度,方向指向 河对岸),小船过河所用时间才最短。

(2)行驶时间最短时,所用的时间是多少?
解:使小船垂直于河岸方向行驶(小船自身的速 度,方向指向河对岸),小船过河所用时间才最短.
d ? t ? ?? | v1 |
? 0.5 ? 60 ? 3. 10

?? v1

? v ? ? ? v2

答:行驶的时间最短时,所用的时间是3min

小结

物理问题 (实际问题)

向量问题 (数学模型)

解释和验证相 关物理现象

数学问题 的解决



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