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线性规划整点最优解的探究性设计


2005 年第 4 期               学 教 学 研 究 数

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要集合和对应语言来定义函数 , 所以在观察这几个 例子后我们发现 , 对应关系是在两个集合中建立的 , 把这两个集合分别记为 A 、 , 函数定义还可以完善 B 为 :对于集合 A 中的每个 x ( 少一个都不行) , 在 B 中 都能找到唯一的一个 y 与它对应 , 则 A 、 间的这种 B 对应关系就叫函数 . 这小组抓住了函数定义中的一个本质 , 将定义 函数的工作向前推进了一大步 . 对这个定义 , 有同学 提出疑问 :例 1 ( 3) 集合 B 中的元素 9” “ 为什么没有
x 跟它对应 ?

的定义相差无几后 , 学生们都感到十分欣喜 , 对函数 本质上是 “一个数集到另一个数集上的单值对应关 系” 认识更加深刻 . 教师因势利导 , 师生一起学习了 定义中的其他内容 , 如函数三要素以及 y = f ( x) 的 含义 、 区间等并通过练习来巩固认识 . 在活动过程中学生产生了积极的情感体验 , 他 们不但没有被抽象的函数定义吓倒 , 反而更加深入 地认识到函数的本质 , 同时也增进了合作 、 探索精 神. 通过这节课的教学实践 , 笔者深刻地体会到 , 要 让学生对数学感兴趣并乐意学数学 、 学好数学 , 教师 需要根据学生已有的认知状态和生活经验 , 创设问 题情景和活动机会 , 让学生在独立思考 、 合作交流 、 自主探索的过程中主动去发现 、 建构新知识 , 获得对 数学学习的积极体验 . 让学生 “做数学” 要比让学生 “听数学” 强得多 , 这好比教师授课 , 只有亲自站上讲 台给学生讲课才会对教学 “有感觉” 才能深刻体会 , 到教学是怎么回事 , 怎样去搞好教学 . 参考文献
[ 1 ]  教育部 . 普通高中数学课程标准 ( 实验 ) [ M ].

对这个疑问 , 笔者没有立即回答 , 而把解释权交 给第三组的代表 : 我们已经判断了这题中的对应关 系是函数了 , 所以 , 函数定义中只要求对集合 A 中的 每个 x , B 中有唯一的 y 与之对应就可以了 , 而不要 求 B 中的每个元素都要有 A 中的一个 x 与之对应 . 这时几乎全部同学都认同这个定义 : 对于集合
A 中的每个 x , 在 B 中都能找到唯一的一个 y 与它对

应 . 似乎没有其他小组提出更好的意见时 , 笔者引导 学生思考定义中对集合 A 、 有没有特别的要求 , 是 B 不是对所有的集合都可以呢 ?学生经过思考 , 终于发 现对 A 、 的限制 : A 、 要是数集才行 . 于是 , 将函数 B B 定义完善为 :对于数集 A 、 , 对集合 A 中的每个 x , B 在 B 中都能找到唯一的一个 y 与它对应 , 则这个对 应关系就叫函数 . 到此学生对函数的定义中的关键处取得了共 识 . 笔者将学生们概括出的函数定义投影出来 , 与课 本中的定义作对比 , 在发现自己的建构成果与课本

北京 :人民教育出版 , 2003 .
[ 2 ]  数学课程标准研制组 . 普通高中数学课程标准 ( 实验 ) 解 读 [ M ]. 南 京 : 江 苏 教 育 出 版 社 ,

2004 .
[ 2 ]  普通高中数学课程标准实验教科书数学 1 ( 必

修) [ M ]. 北京师范大学出版社 , 2004 .

线性规划整点最优解的探究性设计
李建标
( 浙江省余姚中学   315400) 1  教材分析

新教材却安排了一个例题 、 两个习题 、 一个复习题 . 可见其重要性 . 而在实际求解中 , 当学生碰到可行域 边界顶点不是整点时 , 常取与该顶点最近的整点作 为最优解 , 针对这一情况 , 笔者在建构主义理论的指 导下 , 以自主学习为前提 , 以合作交流为形式 , 以探 究建构为目的 , 在课堂上通过教师与学生 、 学生与学 生的互动 , 使教学过程生动活泼 , 一波三折 , 教学效

新教材高二数学 ( 上) 新加了 《简单的线性规划》 的内容 , 利用图解法解答线性规划的两类问题 . 对 此 , 大纲要求 “会简单的应用”学生对线性规划的基 . 本概念 、 基本方法在两类实际问题中的应用 , 基本可 以达纲 , 但对寻找 《线性规划问题》 的整点最优解 , 感 到不好入手 , 完成作业困难较大 . 但是在这个问题上

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数 学 教 学 研 究               2005 年第 4 期 所花的成本费为 z 元 , 然后列表 :
载重车型A 型车B 型车总限额 每车每天 驾驶员 1 1 9 x + y ≤9    载重量 ( t )
6 ×8 10 ×6 360 48 x + 60 y ≥360

果出人意料 , 不但帮助学生认清了错误的根源 , 而且 实现了对简单的线性规划概念及应用的深化和建 构 , 进一步培养了学生的探究性学习能力 . 教学目标 知识目标 :进一步理解线性规划理论和方法在 实际问题中的应用 , 会用不同的方法求解线性规划 的整点最优解问题 . 能力目标 :通过作可行域培养学生的数形结合 思想 , 整点最优的讨论培养学生的分类讨论思想 , 会 用枚举法和逐步调整法求线性规划的整点最优解 , 从而培养学生的转化与化归的数学思想 . 情感目标 :培养学生的独立思考 、 合作交流的个 性品质和勇于批判 、 勇于质疑的科学精神 . 重点  会求一般线性规划最优解的基础上 , 用 枚举法 、 图解法 、 逐步调整法求解整点最优解问题 . 难点  会用逐步调整法求整点最优解 .
2  教学过程 2 . 1  创设情境 , 提出问题

则 x 、 满足约束条件 : y
x ≤7 , y ≤4 , x ≤7 , y ≤4 ,

  x + y ≤9 ,
48 x + 60 y ≥360 ,
x , y ∈ N,

即 x + y ≤9 ,
4 x + 5 y ≥30 ,
x , y ∈ N,

目标函数 : z = 160 x + 252 y. 师 :下面我们就来画出可行域 . 在学生求解的同 时 , 教师巡视 . 很快学生都正确地画出了可行域 , 如 图 1 . 这时已有学生迫不及待地想说出答案 . 师 : 我们请一 个同学回答一下 . 生 2 :作直线 l :
160 x + 252 y = 0 ,

师 :前面我们学习了线性规划的概念以及它在 实际问题中的简单应用 , 今天我们继续来谈线性规 划的理论和方法在实际问题中的应用 . 下面请大家 看一个问题 ( 多媒体显示) . 问题 1  ( 88 页复习参考题 A 组 16 题) 某运输公 司有 7 辆载重为 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10t 的
B 型卡车 , 有 9 名驾驶员 . 在建筑某段高速公路中 , 此

即 40 x + 63 y = 0 . 把直线 l 平移至过 可 行 域 内 的 点
A (7 ,

2) , 且与原 5

点的距离最小 , 此时 z = 160 x + 252 y 取最小值 . 由题 知 , 最优解中的 x 、 必须是整数 , 而点 A 的纵坐标不 y 是整数 , 故不是所求的最优解 . 易知在可行域内与该 顶点最近的整点是 B ( 7 , 1) , 所以 z 的最小值为 160 ×
7 + 252 ×1 = 1372 元 .

公司承包了每天至少搬运 360t 沥青的任务 . 已知每 辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次 , B 型卡车 6 次 . 每辆卡车每天往返的成本费为 A 型卡车 160 元 ,
B 型卡车 252 元 . 每天派出 A 型卡车和 B 型卡车各多

少辆公司所花的成本费最低 ? 这是线性规划的理论和方法在实际问题中应用 的第一种类型 : 即给定一项任务 , 如何合理安排和规 划能以最少的人力 、 物力 、 资金等资源来完成该项任 务 . 由题目的条件 , 结合线性规划的方法看谁能以最 快的方法解出该题 . 问题提出后 , 犹如一石激起千层浪 , 学生的探究 热情被激发起来了 , 他们跃跃欲试 , 立即投入到解法 的探究过程中去 .
2 . 2  展示错解 , 暴露思维

听到他如此流畅地表述 , 全班同学都投以赞许 的目光 , 似乎正确答案已定 . ( 多媒体上依次显示过 原点 O ( 0 , 0) 、 ( 7 , A
2) 、 ( 7 , 1) 的三条直线) . B 5

2 . 3  错解辨析 , 正本清源

师 :对于生 2 的解法 , 同学们都认为正确吗 ?难 道没有疑问 ? 生 3 :老师 , 我认为生 2 的答案肯定是错的 , 因为 把直线 l 平移至过可行域内的整点 ( 5 , 2) 的时候 , z 的值为 160 ×5 + 252 ×2 = 1304 < 1372 . 师 :看来生 2 的解答是错了 , 但我们知道在可行 域内与 A ( 7 ,
2) 最近的整点是 B ( 7 , 1) , 而不是点 5

师 :先请一位同学设出所求的未知数 , 列出约束 条件 , 建立目标函数 . 生 1 :设每天出动 A 型车 x 辆 , B 型车 y 辆 , 公司

C( 5 , 2) , 那为什么生 2 的解答会错呢 ?

2005 年第 4 期               学 教 学 研 究 数

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生 4 :生 2 的错误是不能用过可行域内与点 A ( 7 ,
2) 距离最近的整点的直线来计算 . 这个 “最近” 应 5

来生 2 的解法我们称之为 “枚举法” 但我们知道上 . 面两种解法在可行域内靠近域界的整点数比较少的 情况下是可以适用的 , 如果可行域比较复杂 、 靠近域 界上的整点比较多 , 那我们怎么办呢 ?
2 . 4  合作交流 , 深入探究

解释为可行域内与过点 A ( 7 ,

2) 的直线 l1 :200 x + 5

315 y - 1526 = 0 距离最近的整点 , 也即可行域内的

整点 P( x 1 , y1 ) 与直线 l1 上的点 ( x1 , y2 ) 的纵坐标的 差的绝对值 ( | y1 - y2 | ) 的最小值 . B ( 7 , 1) 与直线 l1 上的点 A ( 7 ,
2) 3 的纵坐标的差的绝对值为 , 而 5 5 526 ) 的纵坐标的差的绝 315

师 :下面我们就来探讨一下这样的一个问题 ( 多 媒体显示) : 问题 2  ( 65 页习题 4) 某人有楼房一幢 , 室内面 积共 180m2 , 拟分隔成两类房间作为旅游客房 . 大房 间每间面积为 18m2 , 可以住游客 5 名 , 每名游客每天 住宿费为 40 元 ; 小房间每间面积为 15m2 , 可住游客 3 名 , 每名游客每天住宿费为 50 元 ; 装修大房间每间 需 1000 元 , 装修小房间需 600 元 . 如果他只能筹款
8000 元用于装修 , 且游客能住满 , 他应隔出大房间和

C ( 5 , 2) 与直线 l1 上的点 ( 5 ,

对值为

104 3 < . 又因为由可行域易知点 C( 5 , 2) 在 315 5

可行域的边界上 , 由图易知不存在其它的整点与 l1 最近 , 所以 ( 5 , 2) 是最优解 , 正确答案是每天派出 A 型车 5 辆 , B 型车 2 辆 , 公司所花的成本费最低 . 干脆利落 , 简单明了 , 一阵掌声响起 , 说明大家 明白并且认同了她的思路 . 就在这时又听到了一个 熟悉的声音 . 生 2 :老师我认为这道题目只需要把可行域内靠
( ( ( 近直线 4 x + 5 y = 30 的整点 ( 3 , 4) 、4 , 3) 、5 , 2) 、6 , ( 2) 、7 , 1) 代入目标函数检验一下 , 易知 C( 5 , 2) 就是

小房间各多少间 , 能获得最大收益 ? 这是线性规划的理论和方法在实际问题中应用 的第二种类型 : 即在人力 、 物力 、 资金等资源一定的 情况下 , 如何使用它们来完成最多的任务 . 同学们能 否用上面的方法来加以解决 . 我们先请一位同学设 出所求的未知数 , 列出约束条件 , 建立目标函数 . 生 6 :设隔出大房间 x 间 , 小房间 y 间 , 收益为 z 元 . 由条件得
房间分类大房间小房间总限额 每间标准 占地面积 ( m2 ) 18 15 180 →18 x

最优解 , 不需要他们那样做得复杂 ( 带着一股不服输 的劲 , 又有点激动和兴奋的心情生 2 说出了他的答 案) . 生 5 :这样检验的话 , 老师我认为在可行域内点
C ( 5 , 2) 左侧部分的整点不需要检验 , 因为把直线 l :

+ 15 y ≤180

装修费用 ( 元) 1000 600 8000
18 x + 15 y ≤180 ,
x , y ∈ N,

→100 x + 600 ≤8000

40 x + 63 y = 0 向 上 平 移时 必 先 经 过 可 行 域 内 点
A (7 ,

6 x + 5 y ≤60 ,
x , y ∈ N,

2) 2 , 而 A ( 7 , ) 不是整点 , 又因为 C( 5 , 2) 在 5 5

则   1000 x + 600 y ≤8000 , 即 5 x + 3 y ≤40 , 目标函数 z = 200 x + 150 y. 这时学生都已熟练地画出了可行域 , 如图 2 . 生 7 :作出一组 平行的直线 200 x +
150 y = t. 当 t = 0

直线 4 x + 5 y = 30 上 , 即在域界上 , 而在可行域内点
C ( 5 , 2) 左侧部分虽有很多整点 , 但把直线 l :40 x +

63 y = 0 向上平移时必先经过可行域内整点 C ( 5 , 2) .

所以不需要比较点 C( 5 , 2) 左侧部分的整点 . 就 C( 5 ,
( 2) 右侧部分来说 , 只需比较点 ( 6 , 2) 、7 , 1) 就可以

了. 师 :生 3 和生 4 指出了生 2 解法的错误所在并给 出了正确解法与答案 , 非常好 ( 老师为同学们有如此 精彩的解答而高兴 ) !这就是本节课我们所要讨论的 线性规划的整点最优解问题 ( 板书课题 ——线性规 — 划的整点最优解问题 , 多媒体显示过点 ( 5 , 2) 的直 线) , 上面生 4 、 5 的解法我们称为 生 “图解法” 而后 ,

时 , 即 200 x + 150 y
= 0 , 也就是直线 l0 :4 x + 3 y = 0 , 将

直线 l0 向上平移至 过可行域内的点
20 60 ) , , 得到直 7 7 线 l1 , 且与原点的距离最大 , 此时 z = 200 x + 150 y 取
A(

20

数 学 教 学 研 究               2005 年第 4 期
20 60 ) , 不是一个整点 , 故不是最优 7 7

最大值 . 但 A (

上不存在最优整点 . 同理可得 :
4 x + 3 y = 36 , 6 x + 5 y ≤60 , 得 0 ≤ x ≤4 , 当 x = 0 时 , y = 5 x + 3 y ≤40 12 ; x = 3 时 , y = 8 ; x = 1 时 , y =
=

解 . 易由图解法知 , 把 l1 向下平移最先经过可行域内 点 A 左侧部分整点 B ( 0 , 12) , 右侧部分整点 C ( 3 , 8) . 再计算 B 、 两点对应 z 的值的大小 , z 较大时对应的 C 点为最优解 . 经过检验这两点均为最优解 .
( 多媒体上依次显示 过 原 点 、 ( A

20 60 ) , 、 (0 , B 7 7

12) 和 C( 3 , 8) 的三条直线) .

标是 ( 0 , 12) 与 ( 3 , 8) .

生 8 :生 7 的解法要求可行域作的比较正确 , 观
20 察能力要求高 , 故不易采用 . 我的方法是把点 A ( , 7 60 ) 1 的坐标代入 m = 4 x + 3 y , 得 m0 = 37 , 因为要 7 7

了比较漂亮的解法 , 我们就把这两种方法叫做逐步 调整法 , 当然这种方法也仅适用于目标函数值与调 整值 m0 相差不大的情况 . 不然就不宜使用 . 下面请 同学们来做这样一道练习 .
2 . 6  练习反馈 2 . 7  总结收获

将 l1 向下平移故所求的 m < 37

1 . 又因为 x , y 是整 7

数 , 所以 m 为小于等于 37 的整数 . 当 m = 37 , 即 4 x +
3 y = 37 , 也就是 y = 37 - 4 x ( x ∈[ 0 , 8 ] 且 x ∈ N) , 3

当 x ∈0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 时 , y | Z , 当 x = 1 , 4 , 7 时 , y 虽
36 - 4 x ( = 36 , 也就是 y = x ∈[ 0 , 8 ] 且 x ∈ N) , 当 3

2 . 8  布置作业

有整数解 , 但不在可行域内 . 当 m = 36 时 , 即 4 x + 3 y

3  教后反思

在可行域内 , 当 x = 0 时 , y = 12 ; 当 x = 3 时 , y = 8 , 点的坐标 .

而点 ( 0 , 12) 与 ( 3 , 8) 在可行域内 , 故为所求的最优整 大家纷纷点头 , 为这位同学精彩的解答喝彩 .

2 . 5  再掀波涛 , 更进一步

安静下来了 . 这时老师环顾教室四周进行提问 .

点 , 难道没有其它的方法检验吗 ?沉默片刻 , 老师提 示 : 问题就是直线 4 x + 3 y = 37 上是否有整点在可行 域内 , 所以只要 ………( 2 分钟后又一位同学兴奋的 站起来) . 生 9 :对于直线 4 x + 3 y = 37 上是否有整点在可

行域内 , 只需要将其方程代入线性约束条件加以检 验就可以了 .
4 x + 3 y = 37 ,

所以 y = 9 , 此时 x =

x = 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 时 , y | Z , 当 x = 6 时 , y = 4 但不

中笔者按教材的顺序 , 先讲例 4 ( 本节课中的练习题)

后做习题 , 但是学生在做复习参考题 ( 本节课的问题
1) 时却出现了上述的典型错误 ( 可行边界顶点不是

整点时 , 取与该顶点最近的整点作为最优解 ) . 而后 对错误的作业进行讲评 , 但发现教学效果不佳 . 学生 碰到类似问题依然出现错误 . 面对这一问题 , 为了有 效的帮助学生认识产生错误的原因 , 使学生从错误 中走出来 , 笔者在第二次的试教中大胆的对教材进 行了重组 , 把学生易产生错误的复习参考题作为问 题 , 通过对典型错误的剖析 、 师生的互动 、 学生的探 究、 合作 、 交流 , 使学生的认知与实践得到有效的统 一. 建构主义认为 :知识不是通过教师传授得到的 ,

讨论到这里 , 同学们都想松一口气了 , 教室里也 师 :同学们对于 4 x + 3 y = 37 是否有对应的整

而是学习者在一定的情境下 , 借助教师和学习伙伴 等其他人的帮助 , 利用必要的学习材料 , 通过意义建 构的方式而获得 . 正如著名的数学教育家马明先生 所说的那样 “犹如抛盘子节目 , 老师抛得越快 , 学生 : 丢得也越快 . ”犯错误校正错误的过程也是一种学 习 , 对错误的认识也应该由学生自己建构起来 , 成功 的乐趣只有在经历失败的痛楚后才能获得更深切的

25 6 x + 5 y ≤60 ,  得 ≤ y ≤9 , 因为 y ∈ Z , 3 5 x + 3 y ≤40

5 | Z , 故直线 4 x + 3 y = 37 2

28 20 | Z; x = 4 , y = | Z , 故所求的最优整点坐 3 3

师 :看来探究是没有止境的 , 生 7 和生 8 都提出

练习 :课本中的例 4 . 略. 略.

这是笔者第二次试教新教材 , 在第一次的试教

32 | Z; x = 2 , y 3

2005 年第 4 期               学 教 学 研 究 数

21

体验 . 错误往往是正确的先导 , 错误也往往是发现的 先导 , 学生的 “错解”有其内在的合理性 , 从学生的 “错解” 中拣出合理的规律和结论 , 让学生 “从跌倒的 地方自己爬起来” 符合人类认识世界 、 , 改造世界的 客观规律 . 从学生的错误中发现 “闪光点”变告诉为 , 探究 , 让学生在探究 、 合作和交流中学习 , 应该是帮 助学生纠正错误的最为有效的教学方法 .

参考文献
[ 1 ]  钱军先 , 过大维 . 从错误中发现  在探究中建

构 [J ]. 中学数学 , 2004 ( 10) .
[ 2 ]  安培录 . 如何寻找 《线性规划问题》 的整点最优

解 [J ]. 数学通报 , 2000 ( 3) .
[ 3 ]  文吉华 . 对 “如何寻找 《线性规划问题》 的整点

最优解” 一文具体操作中的补充和完善 [J ]. 数学通报 , 2001 ( 10) .

谈高三数学综合阶段的复习
杨首中1   武相平2
(1. 西北师大附中   730070 ;   秦安县魏店中学   2. 741612)

  进入三月中下旬以后 , 以全面阅读教材 , 抓基础 知识和基本技能的第一轮复习已经结束 , 在新的 《考 试大纲》 正式发布以后 , 如何结合 《考试大纲》 做好 以综合能力突破和应用能力提高为主的第二 、 三轮 复习就很重要 . 根据多年的教学实践 , 我们认为 :
1  研读考试大纲 , 明确考试重点

) 计” 复数” “ ; 中删去 “了解引进复数的必要性” . 一定

要关注 《考试大纲》 中增加或改动部分的内容 ( 例如 今年在 《考试大纲》 “函数” 的 中就直接增加 “了解函 数奇偶性的概念 , 掌握判断一些简单函数奇偶性的 方法” 直线和圆” “ ; 中增加 “理解直线的倾斜角的概 念” 在复数中增加 ; “了解自然数系到复数系的 关 系”在 ; “函数” 中将 “函数的应用举例” 改动为 “函数 的应用” 直线 、 “ ; 平面 、 简单几何体” “了解三垂 中将 线定理及其逆定理” 改动为 “掌握三垂线定理及其逆 定理” 导数” “了解可导函数的单调性与其导 “ ; 中将 数的关系” 改动为 “理解可导函数的单调性与其导数 的关系” 复数” “理解复数的有关概念 、 “ ; 中将 掌握复 数的代数表示和几何意义” 改动为 “了解复数的有关
) 概念及复数的代数表示和几何意义” , 并增加适当

《考试大纲》 体现出国家注重创新型人才的培 养 , 注重素质教育的核心理念 , 是高考命题的唯一依 据 , 理应成为广大师生关注的焦点 . 仔细学习就会发 现 , 高考的重点明确地写在了 《考试大纲》中 : 从了 解、 理解 、 掌握和灵活及综合运用四个不同层次对每 个知识点提出了明确要求 , 对基础知识的考查既要 求全面 , 又要重点突出 , 对重点知识要保持较高的比 例 , 对综合性的知识侧重在知识网络交汇点设计试 题 , 并合理调控综合程度 , 坚持多角度 、 多层次的考 查 . 对能力的考查 , 强调以逻辑思维能力为核心 , 突 出探究性 、 综合性和应用性 , 并强调要从学科整体意 义和思想含义上立意 , 注重通性通法 , 淡化特殊技 巧 . 如何在有限的复习备考时间内提高复习效率 , 深 入领会 、 贯彻好 《考试大纲》 的精神 , 做到有的放矢尤 为重要 . 在内容上已经删去的部分绝对不要再消耗时间 去学去练 ( 例如今年在 《考试大纲》 “直线 、 中的 平面 、 简单几何体” 中就直接删去 “了解多面体欧拉公式” ; “三角函数” 中删去 “能利用计算器解决解三角形的 计算问题” 概率与统计” “ ; 中删去 “总体特征数的估

的配套练习 《考试大纲》 . 是在历届考试的基础上科 学制订出来的 , 具有权威性 , 不带片面性 , 只有严格 遵守 , 才能高效对路 . 课改力度的加大 、 新课程卷的推广必将引起重 点、 热点的更新与扩展 . 在这一更迭的关键年头 , 至 少应关注下列两点 :
( 1) 重点 、 热点的正确定位 . 显然 , 旧课程卷五大

热点 ( 即函数与方程 、 不等式 、 数列 、 直线与平面 、 圆 锥曲线) 的格局已被打破 , 新课程卷该确定哪些内容 为复习的重点 、 热点呢 ?通过对新教材及近年高考试 卷的研究 , 我们认为应该具有下列七个的重点 、 热 点 , 即函数 、 不等式 、 平面向量 、 圆锥曲线 、 概率 、 直线



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