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1.1.2 集合间的基本关系



§ 1.1.2 集合间的基本关系
新课导学 ※ 学习探究 探究:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: A ? {3,6,9} 与 B ? {x | x ? 3k , k ? N *且k ? 333} ; C ? {东升高中学生} 与 D ? {东升高中高一学生} ; E ? {x | x( x ? 1)( x ? 2) ? 0} 与 F ? {0,1, 2} .

新知:子集、相等、真子集、空集的概念. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) ,记作: A ? B(或B ? A) ,读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A. 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作

? A B ?

② 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. 用 Venn 图表示两个 集合间的“包含”关系为: A ? B(或B ? A) . B A

③ 集合相等:若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B . ④ 真子集:若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) ,记 作:A B(或 B A) ,读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A). ⑤ 空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? . 并规定:空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集. 试试:用适当的符号填空. {a, b, c} , a (1) {a, b} (2) ? (3)N (4) {0}
{x | x ? 3 ? 0} , ? {0,1} ,Q N;
2

{a, b, c} ;

R;

{x | x 2 ? x ? 0}.

反思:思考下列问题. (1)符号“ a ? A ”与“ {a} ? A ”有什么区别?试举例说明.

(2)任何一个集合是它本身的子集吗?任何一个集合是它本身的真子集吗?试用符号表示结论.

1

(3)类比下列实数中的结论,你能在集合中得出什么结论? ① 若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ; ② 若 a ? b, 且b ? c, 则a ? c .

※ 典型例题 例 1 写出集合 {a, b, c} 的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.

变式:写出集合 {0,1, 2} 的所有真子集组成的集合.

例 2 判断下列集合间的关系: (1) A ? {x | x ? 3 ? 2} 与 B ? {x | 2 x ? 5 ? 0} ;

(2)设集合 A={0,1},集合 B ? {x | x ? A} ,则 A 与 B 的关系如何?

变式:若集合 A ? {x | x ? a} , B ? {x | 2 x ? 5 ? 0} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

※ 动手试试 练 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,B={1,2}, C ? {x | x ? 8, x ? N } ,用适当符号填空: A B,A C,{2} C,2 C.
练 2. 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ? 2} ,且满足 A ? B ,则实数 a 的取值范围为 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn 图图示;一些结论. 2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,特别要注意 区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法. ※ 知识拓展 如果一个集合含有 n 个元素,那么它的子集有 2n 个,真子集有 2 n ? 1 个.
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学习评价
1. 下列结论正确的是( ). A. ? A B. ? ? {0} C. {1, 2} ? Z D. {0} ? {0,1} 2. 设 A ? ?x x ? 1?, B ? ?x x ? a? ,且 A ? B ,则实数 a 的取值范围为( A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1 2 3. 若 {1, 2} ? {x | x ? bx ? c ? 0} ,则( A. b ? ?3, c ? 2 C. b ? ?2, c ? 3 B. b ? 3, c ? ?2 D. b ? 2, c ? ?3 个. , ).

).

4. 满足 {a, b} ? A ? {a, b, c, d } 的集合 A 有

5. 设集合 A ? {四边形}, B ? {平行四边形}, C ? {矩形} , D ? {正方形} ,则它们之间的关系是 并用 Venn 图表示.

课后作业
1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时, 该产品才合格. 若用 A 表示合格产品的集合, B 表示质 量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成立? A ? B, B ? A, A ? C, C ? A 试用 Venn 图表示这三个集合的关系.

2. 已知 A ? {x | x 2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} 且 A ? B ,求实数 p、q 所满足的条件.

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