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高中数学必修三第一章01算法的概念



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高中数学人教A版 必修三· 第1章 算法初步
四川省成都市新都一中 肖 宏

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第一章 算法初步
? 单元结构

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第1课时 算法的概念
? 已知一个圆的周长为6π,请问:你能求出该圆的 面积吗? ? 第一步,设周长为6π的圆的半径为r,面积为S. ? 第二步,由2πr=6π,解得r=3. ? 第三步,代入S=πr2,求得该圆的面积为S=9π.

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? 预学1:算法的概念 ? 在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可 以用计算机来解决的某一类问题的程序或 步骤,这些程序或步骤必须是明确的、有效 的,而且能够在有限步之内完成. ? 议一议:计算机中的算法与数学中的算法一 样吗?你是怎么理解的?

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? 【解析】“算法”一词出现于12世纪,指的是 用阿拉伯数字进行算术运算的过程.在数学 中,算法通常是指按照一定规则解决某一类 问题的明确和有限的步骤.现在,算法通常可 以编成计算机程序,让计算机执行并解决问 题.

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? 预学2:算法具有哪些特征?如何理解这些特 征? ? 算法具有以下五个特征:有限性、确定性、 可行性、不唯一性、普遍性. ? (1)有限性:一个算法应包括有限个操作步骤, 而不能是无限的. ? (2)确定性:算法中的每一个步骤都应当是确 定的,而不是模棱两可的.也就是说,算法的含 义应当是唯一的,而不应当产生歧义.

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? (3)可行性:算法的每一步都是可以在有限的 时间内完成的基本操作,并能得到确定的结 果. ? (4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定 唯一. ? (5)普遍性:很多具体的问题都可以设计合理 的算法去解决,如心算、计算机计算都要经 过有限的、事先设计好的步骤加以解决. ? 想一想:为什么计算机算法要求具有这些特 征?

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? 【解析】计算机要解决一些普遍性问题,需 要根据人的指令和意愿去完成,人们必须根 据需要去设计算法,在有限步机械化操作后 就能完成具体的任务.

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? 预学3:算法与一般意义上具体问题的解法的 关系 ? 算法与一般意义上具体问题的解法既有联 系又有区别,它们之间是一般与特殊的关系, 也是抽象与具体的关系.算法的获得可借助 一般意义上具体问题的求解方法提炼出来, 对任何一个这类具体问题都能依据此算法 来解答的过程.在写一个算法步骤时,可先对 解决此类问题进行算法分析,再经过加工提 炼归纳出算法步骤.

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? 预学4:用自然语言设计算法的要求 ? (1)写出的算法必须能解决一类问题,并且能 够重复使用. ? (2)要使算法尽量简单,步骤尽量少. ? (3)要保证算法正确,每一步执行的操作必须 确切、准确无误,并且在有限步后能得出结 果. ? (4)设计算法时,还要考虑计算机处理问题的 特点,算法是为计算机编程服务的,无法在计 算机上实现的算法是没有意义的.

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? 1.数值判断的算法 ? 例1设计一个算法,判断71是否为质数. ? 【方法指导】根据质数的定义,依次用2~70除 71,如果它们中有一个能整除71,那么71不是质 数,否则71是质数. ? 【解析】算法设计: ? 第一步,令i=2. ? 第二步,用i除71,得到余数r.

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? 第三步,判断“r=0”是否成立.若是,则71不是质 数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示. ? 第四步,判断“i>70”是否成立.若是,则71是质数, 结束算法;否则,返回第二步. ? 变式训练1、设计一个算法,使得从10个确定且 互不相等的数中挑选出最大的一个数.

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? 【解析】第一步,假定这10个数中第一个数是 “最大值”. ? 第二步,将下一个数与“最大值”比较,若它大于 此“最大值”,则就用这个数取代“最大值”,否则 就取“最大值”. ? 第三步,重复第二步. ? 第四步,在这10个数中一直取到没有可取的数 为止,此时的“最大值”就是10个数中的最大值.

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? 变式训练2、写出求1×2×3×…×99的一个算 法. ? 【解析】第一步,使S=1. ? 第二步,使i=2. ? 第三步,使S=S×i. ? 第四步,i=i+1. ? 第五步,若i≤99,则返回第三步,否则输出S.

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? 3.非数值型算法 ? 例3一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一 条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在 的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量就会 吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请设计算法. ? 【方法指导】任何动物同船不用考虑动物的争 斗但需考虑承载的数量,还应考虑到两岸的动 物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量,故在 算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼,这 样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.

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【解析】算法步骤: 第一步,人带两只狼过河,并自己返回. 第二步,人带一只狼过河,自己返回. 第三步,人带两只羚羊过河,并带两只狼返回. 第四步,人带一只羚羊过河,自己返回. 第五步,人带两只狼过河. 变式训练3、一位商人有9枚银元,其中有一枚 略轻的是假银元,你能用天平(不用砝码)将假银 元找出来吗?

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? 【解析】(法一)最容易想到解决这个问题的一 种方法是:把9枚银元按顺序排成一列,先称前2 枚,若不平衡,则可找出假银元;若平衡,则2枚银 元都是真的,再依次与剩下的银元比较,就能找 出假银元.算法步骤如下: ? 第一步:任取2枚银元分别放在天平的两边,如 果天平左右不平衡,则轻的一边就是假银元;如 果天平平衡,则进行第二步. ? 第二步:取下右边的银元放在一边,然后把剩余 的7枚银元依次放在右边进行称量,直到天平不 平衡,偏轻的那一枚就是假银元.

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? (法二)上述算法至少要称1次,最多称7次,我们 可以采用下面的办法,使称量次数少一些. ? 第一步:把银元分成3组,每组3枚. ? 第二步:先将2组分别放在天平的两边,如果天 平不平衡,那么假银元就在轻的一组;如果天平 左右平衡,则假银元就在未称的第3组里. ? 第三步:取出含假银元的那一组,从中任取2枚 银元放在天平的两边,如果左右不平衡,则轻的 那一边就是假银元;如果天平两边平衡,则未称 的那一枚就是假银元.

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? 1.判断一个自然数是否为质数的算法步骤设 计过程:从2开始逐一去除所判断的自然数,是 一个反复的过程,可以引入一个变量i,使其初 始值为i=2,以后增加1,使其换为i=i+1,即可实 现反复过程,若整除余数为0,则停止,得出此自 然数不是质数的结论,否则一直进行到所求自 然数的前一个自然数都不整除即可得到此自 然数是质数的结论.

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? 2.在求连续数的和(或积)时,把所求数记作S,先 令S=1,可以一个数一个数逐个加上,注意到所 加数是连续递增的,可以引入一个变量i,让其 每次增加差值即可,直至加(乘)到最后一个数 为止.

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第1课时 算法的概念

作业:见固学案

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2016年11月25日



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