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高中数学公式大全高考必看



高中数学常用公式及常用结论大全 高中数学常用公式及常用结论大全
1. 元素与集合的关系 x ∈ A ? x ? CU A , x ∈ CU A ? x ? A . 2.德摩根公式 CU ( A ∩ B) = CU A ∪ CU B; CU ( A ∪ B) = CU A ∩ CU B . 3.包含关系 A ∩ B = A ? A ∪ B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ∩ CU B = Φ ? CU A ∪ B = R
2.集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 非空的真子集有 2 –2 个. 3.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) ; (2)顶点式 f ( x) = a ( x ? h) 2 + k ( a ≠ 0) ; (3)零点式 f ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )( a ≠ 0) . 4.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 5.若将函数 y = f (x ) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x ? a ) + b 的图象;若 将曲线 f ( x, y ) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) = 0 的图象. 6.分数指数幂 (1) a
m n n n

个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2

n

n

–1 个;

=

1
n

a

m

( a > 0, m, n ∈ N ? ,且 n > 1 ).

(2) a

?

m n

=

1 a
m n

( a > 0, m, n ∈ N ? ,且 n > 1 ).

7.根式的性质(1) ( n a ) n = a ; (2)当 n 为奇数时, a = a ;
n n

当 n 为偶数时, a =| a |= ?
n n

?a, a ≥ 0 . ?? a, a < 0

8.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s = a r + s (a > 0, r , s ∈ Q ) .

r s rs (2) ( a ) = a ( a > 0, r , s ∈ Q ) .

1

(3) ( ab) = a b ( a > 0, b > 0, r ∈ Q ) .
r r r

9.指数式与对数式的互化式 10.对数的换底公式

log a N = b ? a b = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) .

log a N =

log m N ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). log m a
n

推论 log am b =

n log a b ( a > 0 ,且 a > 1 , m, n > 0 ,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , N > 0 ). m

11.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ; (2) log a

M = log a M ? log a N ; N
n

(3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) . 12.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n =1 ? s1 , an = ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn = a1 + a2 + ? + an ). ? sn ? sn ?1 , n ≥ 2
13.等差数列的通项公式

an = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d (n ∈ N * ) ; n(a1 + an ) n(n ? 1) d 1 其前 n 项和公式为 sn = = na1 + d = n 2 + (a1 ? d )n . 2 2 2 2 an = a1q n ?1 = a1 n ? q (n ∈ N * ) ; q

14.等比数列的通项公式

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ≠1 ,q ≠1 ? ? 其前 n 项的和公式为 sn = ? 1 ? q 或 sn = ? 1 ? q . ?na , q = 1 ?na , q = 1 ? 1 ? 1
15.同角三角函数的基本关系式 16.和角与差角公式

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ; tan θ =

sin θ 。 cosθ

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; tan(α ± β ) = tan α ± tan β 。 1 ? tan α tan β

a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决
定, tan ? =

b ). a
2

17.二倍角公式

sin 2α = sin α cos α ; cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α ;

tan 2α =

2 tan α . 1 ? tan 2 α

18.三角函数的周期公式 函数 y = sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0, ω>0)的周期 T =



ω

;函数 y = tan(ω x + ? ) , x ≠ kπ +

π
2

, k ∈ Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠

0,ω>0)的周期 T = 19.正弦定理 20.余弦定理

π . ω

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
21.三角形面积定理 (1) S =

1 1 1 aha = bhb = chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2

22.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C = π ? C = π ? ( A + B )

?

C π A+ B = ? ? 2C = 2π ? 2( A + B) 。 2 2 2

23.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; a a (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; a a a; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. a b a b 24.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b a (交换律); b= b· (2)( λ a) b= λ (a·b)= λ a·b= a· λ b); ·b= ( b b (3)(a+b) c= a ·c +b c. ·c= c +b·c. 25.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 a b(b ≠ 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 . b 26. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ. b b 27.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . b (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . b
3

(3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), λ ∈ R ,则 λ a= (λ x, λ y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 + y1 y2 ) . b b= 28.两向量的夹角公式 公式

cos θ =

x1 x2 + y1 y2
2 2 x + y12 ? x2 + y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). b

29.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |= AB ? AB = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
30.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 b A||b ? b=λa ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 . b a a ⊥ b(a ≠ 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 . b 31.常用不等式: (1) a, b ∈ R ? a + b ≥ 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

(2) a, b ∈ R + ? (3)柯西不等式

a+b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2 , a, b, c, d ∈ R.

(4) a + b ≤ a + b . 32.最值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ; (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值 33.斜率公式

1 2 s . 4

k=

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). 1 x2 ? x1

34.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 = k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 = ( y1 ≠ y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ≠ x2 )). 1 y2 ? y1 x2 ? x1
4

(4)截距式

x y + = 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ≠ 0 ) a b

(5)一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0). 35.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 ① l1 || l2 ? k1 = k2 , b1 ≠ b2 ; ② l1 ⊥ l2 ? k1k2 = ?1 . (2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ; = ≠ A2 B2 C2

② l1 ⊥ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 ; 36.点到直线的距离

d=

| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2

(点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ).

37. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 . (2)圆的一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 ? 4 F >0). 38.椭圆

? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y = b sin θ

39.椭圆的的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的内部 ? 0 + 0 < 1 . a2 b a2 b2 x2 y 2 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? 0 + 0 > 1 . a2 b a2 b2

(2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆

40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或

AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α (弦端点
A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由方程 ?

? y = kx + b 2 消去 y 得到 ax + bx + c = 0 , ? > 0 , α 为直线 F( x , y) = 0 ?

5

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). x2 y2 41.双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c
42.双曲线的内外部

x2 y2 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的内部 ? a b 2 x y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的外部 ? a b
43.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? >1. a2 b2 2 2 x0 y0 ? 2 <1. a2 b

x2 y2 x2 y2 b ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . 2 a b a b a 2 2 2 2 x y x y (2)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x 轴 a b a b 上, λ < 0 ,焦点在 y 轴上).
44.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. a b b a (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). a b c a b c (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. a b a b 45.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ使 a=λb. b b 0 a b b 46.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p=xa+yb. b a b 47.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, b c y,z,使 p=xa+yb+zc. a b c 48.向量的直角坐标运算 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 b (1)a+b= ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; b (2)a-b= ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; b (3)λa= (λ a1 , λ a2 , λ a3 ) (λ∈R); (4)a·b= a1b1 + a2b2 + a3b3 ; b 49.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) 。 50.空间的线线平行或垂直

6

? x1 = λ x2 r r r r r r r r ? 设 a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) ,则 a P b ? a = λ b(b ≠ 0) ? ? y1 = λ y2 ; ?z = λ z 2 ? 1 r r r r a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
51.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |= AB ? AB = ( x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 ) 2 + ( z2 ? z1 ) 2 .
52.球的半径是 R,则 其体积 V =

4 3 πR , 3 2 其表面积 S = 4π R .

53.柱体、锥体的体积 柱体的体积 V= S h

1 V锥体 = Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
54.分类计数原理(加法原理) 55.分步计数原理(乘法原理) 56.排列数公式
m An = n(n ? 1) ? (n ? m + 1) =

N = m1 + m2 + ? + mn . N = m1 × m2 × ? × mn .

n! * .( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N (n ? m)!

注:规定 0! = 1 . 57.组合数公式
m Cn =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m + 1) n! * = = ( n ∈N , m ∈ N ,且 m ≤ n ). N m Am 1× 2 × ?× m m!(n ? m)! ?
n?m m ?1

58.组合数的两个性质 (1) C n = C n
0 m

;(2) C n + C n

m

= C n +1 。

m

注:规定 C n = 1 . 59.二项式定理
0 1 2 r n (a + b) n = C n a n + C n a n ?1b + C n a n ? 2 b 2 + ? + C n a n ? r b r + ? + C n b n ; r n?r

二项展开式的通项公式 Tr +1 = C n a 60.等可能性事件的概率

b r (r = 0,2 ?,n) . 1,

P ( A) =

m . n
P(A+B)=P(A)+P(B).

59.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 60. n 个互斥事件分别发生的概率的和

7

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 61.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

62.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 63.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ≥ 0(i = 1, 2,?) ; (2) P + P2 + ? = 1 . 1 64.数学期望

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k .

Eξ = x1 P + x2 P2 + ? + xn Pn + ? 1
E (aξ + b) = aE (ξ ) + b .
2 2 2

65.数学期望的性质 66.方差

Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + ? + ( xn ? Eξ ) ? pn + ?

67.方差的性质 68.标准差

D ( aξ + b ) = a 2 Dξ ;

σξ = Dξ .

69. 函数 y = f ( x ) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y = f ( x ) 在点 x0 处的导数是曲线 y = f ( x ) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率

f ′( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) .
70.几种常见函数的导数 (1) C ′ = 0 (C 为常数) 。(2) ( xn ) = nx
'

n ?1

(n ∈ Q ) 。(3) (sin x)′ = cos x 。

(4) (cos x )′ = ? sin x 。(5) (ln x)′ = (6) (e x )′ = e x ; (a x )′ = a x ln a . 71.导数的运算法则

1 1 e x ; (log a )′ = log a 。 x x

(1) (u ± v) ' = u ' ± v ' .(2) (uv ) ' = u 'v + uv ' .(3) ( ) =
'

u v

u 'v ? uv ' (v ≠ 0) . v2

72.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) > 0 ,右侧 f ′( x ) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) < 0 ,右侧 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 73.复数的相等

a + bi = c + di ? a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R )

8

74.复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a + b .
2 2

75.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ; (2) (a + bi ) ? (c + di ) = ( a ? c ) + (b ? d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac ? bd ) + (bc + ad )i ; (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) =

ac + bd bc ? ad i (c + di ≠ 0) . + c2 + d 2 c2 + d 2

76.几个统计常量

(1)样本均值.

;

(2)样本方差.

;

9



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