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江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题



无锡市 2013 届高三第一学期期中考试数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请将答案填写在答题卷对应的位 置上) 1.集合 A ? ?0,2, a? , B ? 1, a

? ?,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16?,则 a 的值为
2



2.某社

区有 600 个家庭,其中高收入家庭 150 户,中等收入家庭 360 户,低收入家庭 90 户, 为了调查购买力的某项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本,则中等收 入家庭应抽取的户数是 . 3.函数 f ( x ) ?

log 1 (3 x ? 5) 的定义域为
2

. .

4.经过点 (2,?1) ,且与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程是

5.某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同 一个食堂用餐的概率为 . 6.右图是一个算法流程图,则执行该算法后输出的 s ? . 开始

i?1,s?1

是 i?5 否 s?s?3 输出 s

i?i+1 (第 6 题图)

结束

7.若 y ? f (x) 是幂函数,且满足

f ( 4) 2 ? ,则 f (3) ? f ( 2) 2



8.已知等差数列 ?a n ?满足: a1 ? ?2 , a2 ? 0 .若将 a1 , a4 , a5 都加上同一个数,所得的三 个数依次成等比数列,则所加的这个数为 . .

OA OB OB ? (0,?2k ) , , 的夹角为 120 ? , 9.设向量 OA ? (k , 3 ) , 则实数 k ?
10. 关于 x 的 不 等式 ( x ? 2a)(ax ? 1) ? 0 的 解 为 x ? 为 .

1 或 x ? 2a , 则 实数 a 的 取 值范 围 a

11.以下 5 个命题: (1)设 a , b , c 是空间的三条直线,若 a ? c , b ? c ,则 a // b ; (2)设 a , b 是两条直线, ? 是平面,若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; (3)设 a 是直线, ? , ? 是两个平面,若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? ; (4)设 ? , ? 是两个平面, c 是直线,若 c ? ? , c ? ? ,则 ? // ? ; (5)设 ? , ? , ? 是三个平面,若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 其中正确命题的序号是 . .

12.函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a ) 为奇函数,则 f (x) 的减区间为
2

x 13.已知 f ( x) ? x , g ( x) ? ( ) ? m ,若对 任意 x1 ? ?? 1,3? ,总存在 x2 ? ?0,2? , 使得

1 2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 m 的取值范围是



14.定义在 R 上的函数 y ? f (x) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 (2,0) 成中心对 称,设 s , t 满足不等式 f ( s ? 4s) ? ? f (4t ? t ) ,若 ? 2 ? s ? 2 时,则 3t ? s 的范围
2 2





二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本题满分 14 分) 已知 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 b ? a ? c ? ac , b ? 1 .
2 2 2

(1)若 tan A ? tan C ?

3 (1 ? tan A tan C ) ,求 c ; 3

(2)若 a ? 2c ,求 ?ABC 的面积.

16.(本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB // CD , AB ? AD , ?PAB 和 ?PAD 是 两个边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 的中点, E 为 PA 的中点. (1)求证: OE // 平面 PDC ; (2)求证:平面 PBD ? 平面 ABCD .

P

E

A O D (第 16 题图)

B

C

17.(本题满分 14 分)

n 已知向量 OA ? (? cos? , ? sin ? )( ? ? 0 ),OB ? (? si ? , cos ? ) ,OC ? (1,0) ,其中 O
为坐标原点. (1)若 ? ? 2 , ? ?

?
3

, ? ? (0, ? ) ,且 OA ? BC ,求 ? ;

(2)若 AB ? 2 OB 对任意实数 ? , ? 都成立,求实数 ? 的取值范围.

18.(本题满分 16 分) 数列 ?a n ?是公比大于 1 的等比数列, a2 ? 6 , S 3 ? 26 . (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列.设第 n 个等差 数列的前 n 项和是 An .求关于 n 的多项式 g (n) ,使得 An ? g (n)d n 对任意 n ? N ? 恒成立; (3)对于(2)中的数列 d1 ,d 2 ,d 3 ,? ? ? ,d n ,? ? ? ,这个数列中是否存在不同的三项 d m ,

d k , d p (其中正整数 m , k , p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;
若不存在,说明理由.

19.(本题满分 16 分) 为了保护环境,某化工厂在政府部门的支持下,进行技术改造:每天把工业废气转化为某种 化工产品和符合排放要求的气体,经测算,该工厂每天处理废气的成本 y (元)与处理废气

? 1 3 x ? 1000 , x ? ?10,40 ? ? 量 x (吨)之间的函数关系可近似地表示为: y ? ? 16 ,且每 ?2 x 2 ? 130 x ? 5000 , x ? ?40,70 ? ?
处理 1 吨工业废气可得价值为 50 元的某种化工产品. (1)当工厂日处理废气量 x ? ?40,70 ? 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最 大利润;如果不能获利,为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现,国家至少每天财政补贴 多少元? (2)若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴,当日废气处理量不足 40 吨时,给予每顿 80 元补贴,废气处理量不少于 40 吨时,超过 40 吨的部分再增加每顿 55 元的补贴,当工厂 的日处理量为多少吨时,工厂处理每顿废气的平均收益最大?

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x ,( a ? 0 ). (1)当 a ? 0 时,若直线 y ? 2 x ? m 与函数 y ? f (x) 的图象相切,求 m 的值; (2)若 f (x) 在 ?1, 2 ?上是单调减函数,求 a 的最小值; (3)当 x ? ?1,2e? 时, f ( x) ? e 恒成立,求实数 a 的取值范围.( e 为自然对数的底).



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