9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学题型归类总结



目录
1、求参数范围 2、极坐标及参数方程 3、函数单调性 4、函数中的恒成立及存在性问题 5、含参数的一元二次不等式的解法 6、求函数解析式 7、二次函数求值域 8、三角函数中的最值问题 9、三角函数中的求值问题 10、利用三角函数的性质解决问题 11、三角形形状的判断 12、求通项公式 13、证明数列的类型并求通向 14、数列求和 15、数型结合 16、平面向量的综

合应用 17、抽象函数 18、线性规划求最值 19、导数的应用

题型一,利用复合命题的真假及充分必要条件求参数范围, 1、 利用复合命题的真假求范围。考察复合命题真假的判断,求出每个命题对应的范围, 进而利用复合命题的真假列不等式组, 2、 利用充分必要条件求范围,考察充分必要性的判断方法“集合法”求出每个命题对 应的范围,进而有充分必要条件得出集合间的关系,从而列不等式组,求范围。 3、 利用函数在给定区间上的单调性求参数范围。

例题:1.若不等式 围是______

成立的充分不必要条件是

,则实数

的取值范

| x ?a| q : log a 2 ? 1 ,如果 2.设 p :函数 f ( x) ? 2 在区间(4,+∞)上单调递增;



? p ”是真命题, p q “ 或 ”也是真命题,求实数 a 的取值范围。
? ?x -x-6≤0, 3. 设 p: 实数 x 满足 x -4ax+3a <0, 其中 a≠0, q: 实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ?
2 2 2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 4、已知 p:

?x ?

x ? 2? 0 x ?10?0

?

q: x 1 ? m ? x ? 1 ? m, m ? 0 , 若?p是?q的必要不充分 条件,求

?

?

实数 m 的取值范围 5、若函数 f ( x) ? 取值范围。 题型二:极坐标方程及参数方程的解决方法 因为我们熟悉的事普通方程的应用,所以此类为题一般都是转换成普通方程解决

2 3 x ? 2 x 2 ? ax ? 10在区间? ?1, 4? 上具有单调性,求实数 a 的 3

应掌握两点, 1 、极坐标方程与普通方程的互化

?

x ? ? c o s? y ? ? s i n? 极坐标化为普通

? ? 2 ? x2 ? y 2 ? tan ? ? y x ?

普通方程化为极坐标方程

4、 参数方程化为普通方程,方法是消参 例题: 1、 极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程

?

x ??1? t y ? 2 ? 3t (t 为参数) 所表示的图形分别是

圆、直线 2、 在极坐标系中,已知圆 ? ? 2cos ? 与直线 3? cos ? ? 4? sin ? ? a ? 0 相切,求 实数 a 的值。 -8 或 2

3、 已 知 直 线 L 的 参 数 方 程为

?

x ?1? t y ? 4 ? 2 t ( t 为 参 数 )圆 C 的参 数 方 程 为

?

x ? 2cos? ? 2 y ? 2sin ?
8 5 5

(参数? ? ? 0, 2? ?) ,则直线 L 被圆截得的弦

长为

4、 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 X 轴的正

半轴重合, 且单位长度相同, 已知 L 的参数方程为 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ?

?

x ??1? t cos? y ?1? t sin ? (t 为参数) ,

(1) 若直线 L 的斜率为-1,求直线 L 和曲线 C 的交点的极坐标.(0,0)

7? ? ? ? 2 2, ? 4 ? ?
(2) 若直线 L 与曲线 C 相交所得的弦长为 2 3 ,求直线 L 的参数方程

4 ? ? x ??1?t ? x ??1? 5 t ? y ?1 或 ? y ?1? 3 t ? ? 5 ?
题型三:函数的单调性 对于本专题应掌握以下几点 1、 单调性的判断:定义法、导数法、单调性的运算法 2、 单调性的应用:比较大小、求最值、解抽象不等式 3、 单调区间的求解:定义法、导数法、图像法 例 题 : 1 讨 论 函 数

? 0 ,a ? 增区间, ? a ?? ?, 减区间
2、 若 函 数

a y ? x ? (a ? 0)在(0, ??) x

的 单 调 性 。

f ( x) ?

?

a x ( x ?0) ( a ?3) x ? 4 a ( a ?0)

满 足 对 任 意 x1 ? x2 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1? ? 0 成立,求 a 得取值范围。 ? 0, ? x1 ? x2 ? 4?
3、 函数 f ( x) ? 2x2 ? mx ? 2在x ???2, ??? 是增函数,求 m 的取值范围。 ? -?, -8? 导数法求单调区间的逆应用,转化成恒成立题 4、 已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e x (1) 求函数的单调区间。 减区间? -?,k ?1?,增区间? k ?1, ??? (2) 求函数在区间 ?0,1? 上的最小值。 f ( x)min ? f (1) ? ?1 ? k ? e 题型四:函数中的恒成立问题 恒成立问题是常见的也是重要的数学问题, 此类问题都是转化成求最值问题, 主要解 决方法是利用函数或者分离参变量。

( 1a ) ? f (x恒成立 ) ? a? f (m xi ) n ( 3a ) ? f (x恒成立 ) ? a? f (m xi ) n
存在性问题也是转化成求最值问题: 存在 x0 使得 a ? f ( x) ? a ? f ( x)max 存在 x0 使得 a ? f ( x) ? a ? f ( x)max 例题:例 1、已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? 定 a 的取值范围。

( 2a ? ) ( 4a ? )

f恒成立 x ( ) f恒成立 x ( )

? ?

? a ? a

fm a (x x ) fm a (x x )

存在 x0使得a ? f ( x) ? a ? f ( x)min 存在 x0使得a ? f ( x) ? a ? f ( x)min

? ?

a ? ? 2 ? ,若对任意 x ??2, ??? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试确 x ?

例 2、若 x ?? ?2,2? 时,不等式 x ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 o a 的取值范围。
2

例 3、已知函数 f ( x) ? lg

kx ? 1 (k ? 0) x ?1

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 (2)若函数 f ( x ) 在 ?10, ??? 上是单调增函数,求 K 得取值范围 例 4、对 ?x ? R, ax ? ax ? 2 ? 0 求实数 a 的取值范围
2

题型五:含参数的一元二次不等式 对于含参数的一元二次不等式的求解问题, 主要是对参数进行讨论, 讨论要遵循不 重不漏, 参数的不同, 不等式的解集不同, 所以, 最后要总结。 对参数讨论遵循以下过程 ( 1) 按类型讨论(最高次项的系数) (2)根是否存在(判别式) (3)两根的大小 例题解下列关于 x 的不等式

1 (1) x 2 ? (a ? ) x ? 1 ? 0 a

(2) ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 (3)
x?a ? 0 ( a ? 3,且a ? ?2) ( x ? 2)( x ? 3)

(4) ax 2 ? x ? 1 ? 0 题型六:已知给定区间上的解析式求指定区间上的解析式 方法有:1、待定系数法:适合已知函数类型求解析式 2、换元和配凑法:已知抽象函数解析式求原函数解析式 3、解方程组法:同一个式子中既有抽象函数又有原函数 4、利用函数的奇偶、周期、对称、传递性求解析式 此类问题主要考察函数奇偶性、周期性、对称性、传递性的应用,将指定区间上的自变量 转化到给定的区间内,进而带入给定区间的解析式,从而求出指定区间上的解析式。 例题: 1 、 已 知 函 数 f ( x) 满足 f ( ? x 1 ?) 若 当 0 ? x ?1 则) 当 2f ( x ) 时, f ( x )? x ( 1 ? x

?1 ? x ? 0 时, f ( x) ?

1 ? x( x ? 1 ) 2

2、 设 f ( x)是定义在R上的奇函数且对任意的x, 恒有f ( x ? 2) ? ? f ( x),当x ??0, 2? 时, f ( x) ? 2 x ? x
2

(1)求证 f ( x ) 是周期函数(T=4) (2)当 x ? ? 2,4? 时,求 f ( x ) 的解析式 ( f ( x) ? x ? 6x ? 8, x ??2,4?)
2
2 3、已知 f ( x ) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x, 则当 x ? 0时,f(x)= x ? x
2

4、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且它的图像关于直线 x=1 对称。 (1)求证:函数 f ( x ) 的周期为 4. (2)若 f ( x) ? 函数 f ( x ) 的解析式。 x (0 ? x ? 1), 求x ? ? ?5, ?4?时,

( f ( x) ? ? ? x ? 4 )

题型七:二次函数求值域 二次函数的增减区间是以对称轴分开。 所以在求二次函数的值域过程中, 必须确定 给定区间上的单调性, 若对称轴与给定区间的关系不确定, 必须以对称轴与给定区间的关系

为标准进行讨论。 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 对称轴为 x ? 例题; 正向型: 例 1. 函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 在区间 [0 ,3] 上的最大值是____2_____ ,最小值是
2

b b 4ac ? b 2 顶点坐标为( , ) ?2a ?2a 4a

____-2___。 练习. 已知 2 x ? 3x ,求函数 f ( x ) ? x ? x ? 1 的最值。 ( ?1,
2
2 2

? 19 ? ? 4? ?

例 2. 如果函数 f ( x ) ? ( x ? 1) ? 1 定义在区间 t,t ? 1 上,求 f ( x ) 的最值。

?

?

当t ? 1时,f ( x) min ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 2 f ( x) max ? f (t ? 1) ? t 2 ? 1 1 1 当t ? 1 ? t ? , 即 ? t ? 1时,f(x)min ? f (1) ? 1 2 2 f ( x) max ? f (t ? 1) ? t 2 ? 1
答案: 当t ?

1 1 ? 1 ? t ? 1, 即0 ? t ? 时,f ( x) min ? f (1) ? 1 2 2 2 f ( x) max ? f (t ) ? t ? 2t ? 2 f ( x) max ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 2

当t ? 1 ? 1即t ? 0时,f ( x) min ? f (t ? 1) ? t 2 ? 1 综上所述:略
练习 已知 f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 3 ,当 x ?[t,t ? 1](t ? R) 时,求 f ( x ) 的最值.

例 3. 已知 x ? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x ) ? x ? ax ? 3 的最值。
2
2

有x2 ? 1得-1 ? x ? 1, 函数f ( x)的对称轴为x ? ?
答案:? a ? 2 ? 0 ??

a 2

a ? ?1 2 ? f ( x)在 ? -1,1? 上单调递增 ? f ( x) min ? f (?1) ? 4 ? a f ( x) max ? f (1) ? 4 ? a

练习. (1) 求 f ( x ) ? x ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上的最大值。
2

逆向型:是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。
1、已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值

当a=0时f(x)=1,显然不成立 当a ? 0时,f ( x)的对称轴为x ? ?1
答案:? f ( x) max ? f (2) ? 8a ? 1 ? 4得a ?

当a ? 0时,f ( x) max 3 ? a ? 或a=-3 8

3 8 ? f (?1) ? ?a ? 1 ? 4得a=-3

5、 已知二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ?

? 3 ? ,2 上的最大值为 3,求实数 ? 2 ? ?

当a ? 0时,f ( x) ? ? x ? 1 3 1 ? f ( x) max ? f (? ) ? ? 3? 不成立 2 2 1 当a ? 0时f(x)的对称轴为x= -1 2a 1 1 1 ()当 1 a>0且 -1< 即a ? 时 2a 2 3 1 f ( x) max ? f (2) ? 8a ? 1 ? 3得a ? 2 1 1 1 (2)当a ? 0且 -1> 即0<a< 时 2a 2 3 3 3 5 2 f ( x) max ? f (? ) ? ? a ? ? 3得a ? ? (舍去) 2 4 2 3 (3)当-1 ? a ? 0时,f ( x) max ? f (2) ? 8a ? 1 ? 3得a ? (4)当a ? ?1时,f ( x) max ? f (
a 的值:

1 (舍去) 2

1 1 ? 1) ? 3得a=- (舍去) 2a 2

?a ?

1 2

题型八:三角函数的最值问题 求三角函数式的最值主要有两种方法:1、换元法:如果一个式子时关于同一个角的正线、 余弦的形式,且次数成二倍关系,通过换元,转化成二次函数或利用其它函数的知识解决。 2、辅助角公式,如果一个式子时关于 同一个角的正弦余弦的一次式,通过辅助角公式转化 成正余弦型函数解决(辅助角公式:

a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? )或者a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 cos(? ? ? )
例题:例 1 函数 y ? ? sin x ? 3 cos x ? 3 的最小值为( 0 ).
2

例 2 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值( ymin ? ?6, ymax ? 4 ) 例 3 已知函数 y ?

1 3 cos2 x ? sin x ? cos x ? 1?x ? R ? 当函数 y 取得最大值时, 2 2

求自变量 x 的集合。 (x?

?

7 ? k? ? k ? z ? , ymax ? . ) 6 4

例 4 求函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。 ( ymax ?

1 ? 2. ) 2 2 的最小值。 ( y min ? 3 ) sin x

例 5 已知 x ? ?0, ? ? ,求函数 y ? sin x ? 题型九:三角函数中的求值问题

三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值” :给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点,找出和特殊角之间 的关系,利用公式转化或消除非特殊角 (2) “给值求值” :给出一些角得三角函数式的值,求另外一些角得三角函数式的值。找出 已知角与所求角之间的某种关系求解 (3) “给值求角” :转化为给值求值,由所得函数值结合角的范围求出角。若角的范围较大, 应缩小角的范围,达到范围内只有一个满足条件的角。缩小范围的方法:1、利用三角函数 值得正负缩小。2、利用与特殊角的函数值的大小比较来缩小。 (4) “给式求值” :给出一些较复杂的三角式的值,求其他式子的值。将已知式或所求式进 行化简,再求之 例题:1、计算 sin 400 (tan100 ? 3) 的值。 (-1) 2、 已知 tan(45°+θ )=3,求 sin2θ -2cos θ 的值 ? ? ?
2

? 4? ? 5?
的值。 (

3、已知 sin(

?
4

? x)=

5 ? ,0<x< ,求 13 4

cos2 x cos( ? x) 4

?

24 ) 13

4、若 ? , ? ? (0, ? ) , cos? ? ?

7

11? 1 , tan ? ? ? ,求α +2β 。 ( ) 4 3 50
sinβ =

5、已知α ,β 为锐角,tanα =1/7

? 10 ,求 2α +β 的值( ) 4 10

题型十:利用三角函数的性质解决问题 1、 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3? ? ? ? 2、已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 ? ? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的值域 12 2

? ?

3、设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; 4、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? )是R 上的偶函数, 3? 其图象关于点 M ( , 0) 对称,且在区间 ?0, ? ? 上是单调函数 求 ?和? 的值 ? 4 ? 2? ?
王新敞
奎屯 新疆

?
8

.

王新敞
奎屯

新疆

题型十一:利用正余弦定理判断三角形形状 对于三角形的形状主要是通过边与边、 角与角的关系进行判断, 所以判断三角形的 关系主要方法有:1、通过求角或边的具体值。2、通过角与角的关系,把条件全部转 化成角。3、通过边与边的关系,把条件全部转化成边。 例题:

1、在△ABC 中,a2+b2=c2+ab,且 sinAsinB=

3 ,求证:△ABC 为等边三角形. 4

2、在△ABC 中,若

tan A a 2 ? ,试判断△ABC 的形状(等腰或直角) tan B b 2
A ,试判断此三角形的类型 (等腰三角形) 2
王新敞
奎屯 新疆

3、在△ABC 中,已知 sinB· sinC=cos2

题型十二:求数列的通项公式 数列的通项公式的实质是 an与n 之间的函数关系式。求通向的常用方法有: 1、 观察法,根据数列的一部分项存在的规律,进而总结出通项公式 2、 公式法,就是利用 an与sn 的关系求通向的方法 an ? ?

? s1 (n ? 1) ,此类问题有 ? sn ? sn?1 (n ? 2)

两种题型 1、 sn ? f (n) ,用公式法,注意验证首项。2、 sn ? f (an ) 用公式法转化 成递推公式。

3、 递推公式法:有三种形式的递推公式可以求通项:1、累加法: an ? an?1 ? f (n) 2、累积法:

an ? f (n) 。3、待定系数法构造等比数列:an ? pan?1 ? q 构 an?1

造 an ? m ? p(an?1 ? m) .4、 通过变形构造等新等差或等比数列 an ? pan?1 ? qn 同除 p n 例题 例 1 已知 a1 = 1, an + 1 = an + 2n + n , 求 an

an = 2n -

n (n - 1) - 1 2
an + 1 an = n+ 2 , 求 an n

例 2 已知 a1 = 1,

an =

1 n (n + 1) 2 1 a + 3, 求 an 2 n

例 3 已知 a1 = 1, an + 1 =

1 \ an = 6 - 5 ? ( )n - 1 2
例 4 a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 b 1 1 an ? n ? 3( ) n ? 2( ) n n 2 3 2
n

例 5 已知数列 ?an ?的前n项和sn ? 2 ?1求an

an ? 2n?1
例 6 已知数列 ?an ? 满足sn ? 3an ? 4求an

?3? an ? ?2 ? ? ?2?

n ?1

题型十三:证明数列的类型并求通项 在数列的解答题中,这是重要的一个类型。通过证明数列的类型,指明了构造新数列 的方向,所以必须将已知条件变形,构造出新数列中相邻的两项。进而由新数列的通 项公式写出原数列的通项公式。

例题:1、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 ?sn ? ,已知 a1 ? 1, sn?1 ? 4an ? 2 (1) 设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 ?bn ? 是等比数列 (2) 求数列 ?an ? 的通项公式( an ? (3n ?1)? 2n?2 2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1)证明数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列 (2)求数列 ?an ? 的通项公式 3、若数列 ?an ? 满足:a1 ? 等差数列 提醒十四:数列求和的方法 对于数列求和是数列中一个重要题型,常用的求和方法有:1、公式法:直接利用等 差等比的求和公式。2、分组求和:适合于通项公式为等差或等比或可求和的数列的代数和 组成的。3、裂项相消:通项公式可以分拆成两项的差,求和时中间的部分可以抵消 4、错 位相减:数列的通项为等差和等比的对应项的积构成的。5、倒序相加:数列只要满足,距 离首位两项距离相等的两项和相等。 例题讲解: 1、 求 1+4+7+ ????+(3n ? 1) 的值。 ( sn ?

an ? an ?1 ,n? N* 2

2 , a2 ? 2,3(an ?1 ? 2an ? an ?1 ) ? 2 。证明数列 ?an?1 ? an ? 是 3

3n 2 5n ? ?1 ) 2 2
1 2

1 1 ,3 ,? ? ? ? ?的前 n 项和 4 8 1 1 1 1 ????, 2 3、 求数列 2 , 2 ,2 , 的前 n 项和。 1 +2 2 +4 3 +6 n ? 2n 3 1 1 ? ( sn ? ? ) 4 2n ? 2 2 n ? 4 1 1 1 , ,? ? ? ? , 4、求数列已知 ?an ? :1, 求它的前 n 项和 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ?? ? ? ?? n 2an 2 , n ? 1, 2,3?? 5.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? , an ?1 ? 3 an ? 1
2、 求数列 1 , 2 (1) 证明:数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列 ? an ?

?n? (2)求数列 ? ?的前n项和sn ? an ?
6、 设 f ( x) ?

4x 1 2 2007 , 求和s=f( )? f ( ) ?? ? ? ?? f ( ) x 4 ?2 2008 2008 2008

题型十五:数型结合问题 数型结合是重要的一种解决问题的方法,主要是解决方程根的个数问题,以及通过图 像找出满足条件的结论。四种等价转化的说法一定要注意:函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零 点 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 的根 ? 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标值

? f ( x)与g ( x)交点的横坐标值。所以根的个数,就等于交点个数。此类问题常用
对数和指数函数结合运用。所以作函数图像必须掌握好。 例题讲解: 1、已知0 ? a ? 1 ,则方程a|x| ?| loga x | 的实根个数为 (2 )
x 2、若 a ? 1 ? a 有两个根,求 a 的取值范围。 ( 0 ? a ? 1)

1

3、函数 f ( x) ? x 2 ? ? ? 的零点个数有几个?(1) 4 、已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2 ,当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? x 2 。那么 y ? f ( x) 与

?1? ?2?

x

y ? lg x 图像的交点个数为几个?(10)
e2 ( x ? 0) 5、已知函数 f ( x) ? ? x ? 2ex ? m ? 1, g ( x) ? x ? x
2

(1)若 y ? g ( x) ? m 有零点,求 m 的取值范围。 ( ?2e,??? ) ( 2 ) 确 定 m 的 取 值 范 围 , 使 得 g ( x) ? f ( x) ? 0有两个相异实根。 ( ? e 2 ? 2e ? 1,?? ) 题型十六:平面向量的综合运用 在解答题中,常以平面向量为背景,与其他知识结合运用,特别是和三角函数及 平面几何的结合。 在这些问题中, 都是通过向量的坐标运算, 进而转化整式, 进而解决问题。 所以向量中平行、垂直及内积的坐标运算公式必须掌握。 例题讲解:1.已知坐标原点为

?

?

O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交

→ → 于 A、B 两点,则OA· OB等于________. 答案 3 -4

C 2.已知向量 m=(0,-1),n=(cosA,2cos2 2 ),其中 A、B、C 是 △ABC 的内角,且 A、B、C 依次成等差数列,求|m+n|的取值范围. 答案 2 5 [2,2)

3.(2012· 烟台调研)已知向量 m=(a+c,b),n=(a-c,b-a), 且 m· n=0,其中 A,B,C 是△ABC 的内角,a,b,c 分别是角 A,B, C 的对边. π (1)求角 C 的大小;C=3. 3 (2)求 sin A+sin B 的取值范围. 2 <sin A+sin B≤ 3.
题型十七:抽象函数的应用 抽象函数的应用是函数中的一个重要题型。利用抽象函数常解决一下问题。 1、求 函数解析式。1、求特殊自变量的函数值。3、判断函数的奇偶性和单调性。4、解抽象函数 不等式。解决的方法分别有:1、换元法、配凑法。2、赋值法。3、只能用定义法。4、只能 用函数的单调性。 例题讲解:
例 1:已知 例 2:已知 例 3 已知 证

x 2? x ) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x ) .( f ( x ) ? ) x ?1 1? x 1 1 f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ,求 f ( x) ( f ( x) ? x( x2 ? 3) ? x3 ? 3x ,(| x |≥1)) x x f(

f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 ,求

f ( x) 为偶函数。 f ( x) 在定义域(-1,1)内递减,求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取

例 4 奇函数 值范围。

x y? 2 3 9 5 z,x ? x1 ? 2y ? ?

? ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? x ?
5 设 f(x)定义于实数集上, 当 x>0 时, f(x)>1,且对于任意实数 x、 y, 有 f(x+y)=f(x)f(y), 求证:f(x)在 R 上为增函数。 6 、已知偶函数 f(x) 的定义域是 x ≠ 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ),且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 ,
(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 题型十八:线性规划求最值 利用线性规划可以解决生活中的最优问题,实质是求目标函数的最值:目标函数 有线性的和非线性的。对于线性的目标函数的解决过程是:写出约束条件、作可行域、在可 行域内找出最优解(注意将目标函数化成斜截式,发现目标函数 Z 和纵截距的变化关系) 、 代入目标函数求出最值。对于非线性的:转化成求斜率和两点间距离的最值问题。 例题讲解:

? y ? ? x ? 2, ? 1. 已知不等式组 ? y ? kx ? 1, 所表示的平面区域为面积等于 1 的三角形, 则实数 k 的值为 B ?x ? 0 ?
A.-1 B. ?

1 1 C. 2 2

D.1

2.设

R 且满足

,则

的最小值等于 (

B )

A.

B.

C.

D.

? x ? 0, ? y?3 3.若实数 x,y 满足 ? y ? 0, 则z ? 的取值范围是( D x ? 1 ?4 x ? 3 y ? 12, ?
3 A. ( ,7) 4
B. ? ,5? 3



?2 ? ? ?

C. ? , 7 ? 3

?2 ? ? ?

D. ? , 7 ? 4

?3 ? ? ?

?2 x ? y ? 0 ? 4.实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,且 z ? ax ? y ?a ? 0 ? ?6 x ? 3 y ? 18 ?
多个, 则实数 a 的取值是 ( B ) A. ?

取最小值的最优解有无穷

4 5

B.1

C.2

D.无法确定

5.已知方程: x2 ? ax ? 2b ? 0 (a ? R, b ? R) ,其一根在区间 (0,1) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,

则 z ? (a ? 3)2 ? b 2 的取值范围为 B A. (
2 , 2) 2

B. ( , 4)

1 2

C. (1, 2)

D. (1, 4)

题型十九:导数的应用 导数在解决函数问题中起着重要的作用,利用函数可以解决切线问题以及单调性问题。 一、切线的斜率等于函数在切点处的导数值。二、导函数的正负确定着原函数的增减,所以 求增减区间, 就是解导函数大于零和小于零的不等式。 反过来, 给出增减区间, 求参数范围, 实质就是导函数大于等于零或小于等于零恒成立。三,通过利用导函数研究函数的增减性, 可以求函数的最值。 例题讲解:1、)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 (1)当 a , b 满足什么条件 3

时, f ( x ) 取得极值?(2)已知 a ? 0 ,且 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值 范围. (1) b ? a 时, f ( x ) 取得极值.
2

(2)综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

当 0 ? a ? 1 时, b ? ?

a ?1 2

【命题立意】:本题为三次函数 ,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值 , 函数在区间上为单调函数 ,则导函数在该区间上的符号确定 ,从而转为不等式恒成立,再转 为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 2、已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函 数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解析 (Ⅰ) ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 (Ⅱ) ? 5 ? a ? ?1 3、已知函数 f ( x) ? x ln x .(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 , 求实数 a 的取值范围.
学科网

1 e 1] . (Ⅱ a 的取值范围是 (??,
解: f ( x ) 取得最小值 ? .

学科网



更多相关文章:
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
高中数学集合总结+题型分类+完美解析_数学_高中教育_教育专区。纯原创,涉及高中集合所有相关知识,含参数类型,内附有教材版本的答案,纯原创,大家可分享 ...
高中数学函数与导数综合题型分类总结
高中数学函数与导数综合题型分类总结_数学_高中教育_教育专区。高中函数 天道酬勤 王江编撰 函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“...
高中数学高考题分类归纳
高中数学高考题分类归纳_高考_高中教育_教育专区。高中数学高考题分类归纳。1 对二次函数等其他主要函数的考察 ? 2x ? a ? x ? 1? ? (2015 北京高考 14)...
高一数学集合知识点归纳及典型例题
高一数学集合知识点归纳及典型例题_数学_高中教育_教育专区。集合一、知识点: 1、元素: (1)集合中的对象称为元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若...
高考数学必背知识点归纳总结例题解析
高考数学必背知识点归纳总结例题解析_数学_高中教育_教育专区。高考所有知识点 高中数学专题一 集合 一、集合有关概念 集合的中元素的三个特性: (1)元素的...
高考数学题型归纳完整版
高考数学题型归纳完整版_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 题型 1-1 集合的基本概念 题型 1-2 集合间的基本关系 题型 1-3 ...
高中数学主要题型与方法归纳
高中数学重点题型与思维方法归纳 高中数学重点题型与思维方法归纳 重点题型与思维集合、逻辑、函数、导数、 一、 集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——...
高中数学必修5等差数列知识点总结题型归纳
高中数学必修5等差数列知识点总结题型归纳_数学_高中教育_教育专区。等差数列一.等差数列知识点:知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起,每...
高中数列知识总结与典型分类例题
高中数列知识总结与典型分类例题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。用心辅导中心 高中数学 数列知识点及经典习题 数列知识点及经典习题二、重难点击 一、本章重点...
高中常见分段函数题型归纳
高中常见分段函数题型归纳_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中常见分段函数题型归纳 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 分段函数常见题型及...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图