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正弦定理和余弦定理教案



课 题 教 学 目 标 重 点

正弦定理与余弦定理
1、了解正弦定理和余弦定理 2、了解正弦定理和余弦定理的证明

掌握正弦定理和余弦定理及其应用

难 点
教学过程

知识点一 正弦定理 1、正弦定理 如图 1.1-1,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c

, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,
a 有 ? c
b , ? c

c ,又 sinC ? 1 ? , c

A 则
a
sin A ?

b
sin B

?

c
sinC

?c

b
?

c C a (图 1.1-1) B

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

b
sin B

?

c
sinC

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 如图 1.1-2,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而
a
sin A

a
sin A

?

b
sin B



C b A D (图 1.1-2) a B

c
sinC ?

?

b
sin B ?



b
sin B

c
sinC

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 理解定理: (1) 正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存

在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)
a
sin A ?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?
b sin A ; sin B

a ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 b 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形

知识点二

余弦定理
? ? ?

如图 1.1-3,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c=a-b,

| c |2 =c ? c=(a-b)
=a 从而 同理可证
?a

? (a-b) ?b

A b B (图 1.1-3) c

+b

-2a ? b a

C
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余 弦的积的两倍。即
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
从余弦定理,又可得到以下推论:
cos A ? cos B ? cos C ?

(三) 理解定理 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

例题: 例 1、△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求 ; a (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B.

例 2、在△ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状

cos A-2cos C 2c-a 例 3、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b (1)求 sin C 的值; sin A

1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4

例 4、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=λ,b= 3λ(λ>0),A=45° ,则满足此条件的三 角形个数是( A.0 ) B.1 C.2 D.无数个

例 5、已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面积为( A.2 2 B.8 2 C. 2 D. 2 2

)

例 6、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 C=120° ,c= 2a,则( A.a>b C.a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

)

例 7、△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30° ,则△ABC 的面积等于( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D.

)

3 3 或 2 4

练习: π 1、在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 A= ,a= 3,b=1,则 c 等于 ( 3 A.1 B.2 C. 3-1 D. 3 )

cos A a 2、△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,若 = ,则△ABC 一定是 ( cos B b A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ) C. 3 3 D. 3+1

)

3、已知△ABC 中,a=c=2,A=30° ,则 b=( A. 3 B. 2 3

4、 △ABC 中,a= 5,b= 3,sinB= A. 1 个 B. 2 个

2 ,则符合条件的三角形有( 2 C. 3 个 D. 0 个

)

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° B.60° C.120° D.150°

)

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° ,c= 2a,则( A.a>b C.a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

)

7. 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. C. 5 18 3 2 B. D. 3 4 7 8

)

8.△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积等于( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D.

) 3 3 或 2 4

2π 9.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C= ,则 a=________. 3

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为 ________. 1 11.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120° ,AD=2.若△ADC 的面积为 3- 3,则∠BAC 2 =_______.



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