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【2016成才之路】(人教A版)数学必修1课件:第三章 函数的应用1.1方程的根与函数的零点



成才之路 ·数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
函数的应用

第三章

函数的应用

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第三章

函数的应用

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在教科书第三章的章头图中,我们看到一大群喝水、嬉戏 的兔子,但正是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋 .1859 年, 有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且 没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占

领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起
来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载 畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚

人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直到20世纪50
年代,科学家采用载液瘤毒杀死了90%的野兔,澳大利亚人才 算松了一口气.
第三章 函数的应用

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一般而言,在理想条件 ( 食物或养料充足,空间条件充裕, 气候适宜,没有敌害等 ) 下,种群在一定时期内的增长大致符 合“J” 型曲线;在有限的环境 ( 空间有限,食物有限,有捕食 者存在等 ) 中,种群增长到一定程度 (K) 后不再增长,曲线呈

“S”型.从数学上来看,就需要用不同的函数增长模型来刻画
它们.这样,面对不同情况时,如何选择恰当的函数模型描述 它们就很重要.下面我们就进行本章的学习——函数的应用.

第三章

函数的应用

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第三章
3.1 3.1.1 函数与方程

方程的根与函数的零点

第三章

函数的应用

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1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

第三章

3.1

3.1.1

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优效预习

第三章

3.1

3.1.1

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●知识衔接 1 .方程 ax2 + bx + c = 2 0(a≠0) 解的情况,当 Δ > 0 时方程有 -b± b -4ac 两 实 根 , x = _______________ , 当 Δ = 0 时 方 程 有 _____ 一 实 ____ 2 a b -2a 无实根,若x1、x2为方程的 根,x=________ ,当Δ<0时方程____ c b 两根则x1+x2=________ x1x2=______. -, a a b 2 x=-2a 顶点 2.函数f(x)=ax +bx+c(a≠0)对称轴为_____________ 2 b 4ac-b 坐标为__________________ (-2a, 4a ) .

第三章

3.1

3.1.1

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1 x=-2 3.方程2x+1=0的根为__________,函数y=2x+1与x轴 1 (-2,0) 的交点为___________ .

x1=-1,x2=3 ;函数 y = 4 .方程 x2 - 2x - 3 = 0 的根为 ________________ (-1,0),(3,0) x2-2x-3与x轴的交点为_________________ . 5 .函数y =2x2 - 8x +1的对称轴为 ________ x=2 ,顶点坐标为 (2,-7) . __________

第三章

3.1

3.1.1

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●自主预习 1.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系

函数图象

判别式符号(设判 别式Δ=b -4ac) 与x轴交点个数 方程的根的个数
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

2 ___ 2 ___

1 ___ 1 ___

0 ___
0
第三章 3.1 3.1.1

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2.函数的零点 f(x)=0 成立的实数 (1)定义:对于函数y=f(x),我们把使________
x叫做函数y=f(x)的零点. x轴 (2) 几 何 意 义 : 函 数 y = f(x) 的 图 象 与 ________ 的交点的 横坐标 就是函数y=f(x)的零点. ________ 实数根 (3) 结论:方程 f(x) = 0 有 ________? 函数 y = f(x) 的图象与 x 交点 轴有________ ?函数y=f(x)有零点 ________. [名师点拨] 并非所有的函数都有零点,例如,函数f(x)= x2+1,由于方程x2+1=0无实数根,故该函数无零点.

第三章

3.1

3.1.1

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3.函数零点的判定定理
条件 函数y=f(x)在[a,b]上 连续不断的曲线 (1)图象是________ (2)f(a)f(b) ____0 < 结论 y=f(x)在(a,b)内有 零点

[名师点拨] 判断函数y=f(x)是否存在零点的方法:
(1)方程法:判断方程f(x)=0是否有实数解. (2)图象法:判断函数y=f(x)的图象与x轴是否有交点. (3)定理法:利用零点的判定定理来判断.

第三章

3.1

3.1.1

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●预习自测 1.已知函数y=f(x)有零点,下列说法不正确的是(
A.f(0)=0 B.方程f(x)=0有实根 C.函数f(x)的图象与x轴有交点 D.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根 [答案] A

)

第三章

3.1

3.1.1

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x-1 2.函数f(x)= x 的零点是( A.(1,0) C.1 B.0

)

D.0和1

[答案]

C

x-1 [解析] 令 x =0,解得 x=1,则函数 f(x)的零点是 1.

第三章

3.1

3.1.1

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3.已知函数f(x)=-2x+m的零点为4,则实数m的值为 ( ) A.-6 8 C.2 [答案] B B.8 3 D.-2

[解析]
=8.

f(x)=-2x+m的零点为4,所以-2×4+m=0,m

第三章

3.1

3.1.1

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4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围 是( ) A.a<1 B.a>1

C.a≤1
[答案] B [解析 ]

D.a≥1
函数 f(x) = x2+ 2x + a没有零点,即方程x2 + 2x + a

=0没有实数根,所以Δ=4-4a<0,得a>1.

第三章

3.1

3.1.1

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高效课堂

第三章

3.1

3.1.1

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●互动探究
求函数的零点

求下列函数的零点.
(1)f(x)=4x-3; (2)f(x)=x2-3x+2; (3)f(x)=2x; (4)f(x)=log2(x+1).

探究1.函数的零点是点吗?
探究2.函数的零点与对应的方程的根有什么关系?

第三章

3.1

3.1.1

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[解析] 函数零点就是相应方程的实数根,可用求根公式 或分解因式求解. 3 3 (1)由4x-3=0得x=4,零点是4. (2)f(x)=0,即(x-1)(x-2)=0, ∴f(x)零点为1和2. (3)函数y=2x没有零点. (4)函数y=log2(x+1)的零点是x=0.

第三章

3.1

3.1.1

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[规律总结] 1.正确理解函数的零点: (1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值

等于零.
(2) 根据函数零点定义可知,函数 f(x) 的零点就是 f(x) = 0 的 根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方

程f(x)=0是否有实根,有几个实根.即函数y=f(x)的零点?方
程f(x)=0的实根?函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点的求法: (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2) 几何法:与函数 y = f(x) 的图象联系起来,图象与 x 轴的

交点的横坐标即为函数的零点.
第三章 3.1 3.1.1

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(1)指出下列函数的零点:
①f(x)=x2-2x-3零点为________. ②g(x)=lgx+2零点为________. (2) 已知- 1 和 4 是函数 f(x) = ax2 + bx - 4 的零点,则 f(1) = ________.

1 [答案] (1)①3,-1 ②100 (2)-6

第三章

3.1

3.1.1

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[解析] (1)①f(x)=(x-3)(x+1)的零点为 3 和-1, 1 ②由 lgx+2=0 得,lgx=-2,∴x=100. 1 故 g(x)的零点为100.
? ?f?-1?=0 (2)由条件知? ? ?f?4?=0 ? ?a=1 ∴? ? ?b=-3 ? ?a-b-4=0 ,∴? ? ?16a+4b-4=0



,∴f(1)=a+b-4=-6.

第三章

3.1

3.1.1

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判断函数零点所在的区间

1 (2015· 湖北孝感调研)函数 f(x)=3 +2x-2 的零
x

点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1)

) B.(-1,0) D.(1,2)

探究1.函数零点的存在性定理中有哪些关键条件? 探究2.根据函数零点的存在性定理如何确定函数零点所在 的区间?

第三章

3.1

3.1.1

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1 26 - [解析] f(-2)=3 + 2 ×(-2)-2=- 9 <0,f(-1)=3 1
-2

1 13 1 0 +2×(-1)-2=- 6 <0,f(0)=3 +2×0-2=-1<0, 1 3 1 2 f(1)=3 + 2 ×1-2= 2 >0,f(2)=3 + 2 ×2-2=8>0,则
1

1 函数f(x)=3 +2x-2的零点在区间(0,1)内. [答案] C
x

第三章

3.1

3.1.1

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[规律总结] 判断函数零点所在区间的方法: 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入 函数求出函数的值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的 难点往往是函数值符号的判断,可运用函数的有关性质进行判 断.

第三章

3.1

3.1.1

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(2015· 中原名校高一期中 ) 函数 f(x) = lnx + 2x - 6 的零点所
在的一个区间是( A.(1,2) C.(3,4) [答案] B ) B.(2,3) D.(4,5)

[分析] 计算f?1?,f?2?,f?3?, 若满足f?a?· f?b?<0, f?4?与f?5?的值,并 → 则零点在区间?a,b?内 判断它们的符号
第三章 3.1 3.1.1

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[ 解析 ]

因为 f(1) = ln1 + 2×1 - 6 =- 4 < 0 , f(2) = ln2 +

2×2-6<ln e2-2=0,f(3)=ln3+2×3-6=ln3>0,f(4)=ln4 +2×4-6=2ln2+2>0,f(5)=ln5+2×5-6=ln5+4>0,所

以 f(2)·f(3) < 0 ,又函数 f(x) 的图象是连续不断的一条曲线,故
函数f(x)的零点所在的一个区间是(2,3).

第三章

3.1

3.1.1

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函数零点个数的判断 求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.

第三章

3.1

3.1.1

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[ 解析 ]

解法一:因为 f(0) = 1 + 0 - 2 =- 1<0 , f(2) = 4 +

lg3 - 2≈2.48>0 ,所以由函数零点存在性判定定理知 , f(x) 在 (0,2)上必定存在零点.

又 f(x) = 2x + lg(x + 1) - 2 在 ( - 1 ,+ ∞ ) 上为增函数,故 f(x)
=0有且只有一个实根,即函数f(x)仅有一个零点.

第三章

3.1

3.1.1

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解法二:在同一坐标系中作出 h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图 象,如右图所示,由图象可知h(x)= 2-2x和g(x)=lg(x+1)有且只有一个 交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2与x轴 有且只有一个交点,即函数f(x)仅有 一个零点.

第三章

3.1

3.1.1

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[规律总结] 判断函数零点个数的主要方法: (1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点.

(2) 画出函数 y = f(x) 的图象,判定它与 x 轴的交点个数,从
而判定零点的个数. (3) 结合单调性,利用 f(a)·f(b)< 0 ,可判定 y =f(x) 在(a ,b) 上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题.

第三章

3.1

3.1.1

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判断函数f(x)=x-3+lnx的零点的个数.
[解析] 解法一:在同一平面直角坐 标系中画出函数y=lnx,y=-x+3的图 象,如右图所示. 由图可知函数y=lnx,y=-x+3的 图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ lnx只有一个零点.

第三章

3.1

3.1.1

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2 解法二:因为f(3)=ln3>0,f(2)=-1+ln2=ln e <0,所以 f(3)· f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+lnx在区间(2,3)内有零点. 又f(x)=x-3+lnx在(0,+∞)内是增函数,所以原函数只 有一个零点.

第三章

3.1

3.1.1

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●探索延拓 一元二次方程根的分布

关于x的方程x2-2x+a=0,求a为何值时:
(1)方程一根大于1,一根小于1; (2)方程一个根在(-1,1)内,另一个根在(2,3)内;

(3)方程的两个根都大于零?
探究1.将方程问题转化为相应的函数问题,然后利用函数 的图象特征求解.

第三章

3.1

3.1.1

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[解析] (1)结合图象知,当方程一根大于1,一根小于1 时,f(1)<0,得1-2+a<0,所以a<1. (2)由方程一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3) ? ?f?-1?>0, ?f?1?<0, 内,得? ?f?2?<0, ? ?f?3?>0, ? ?3+a>0, ?1-2+a<0, 即? ?4-4+a<0, ? ?9-6+a>0,

解得-3<a<0.

第三章

3.1

3.1.1

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? ?Δ=4-4a>0, ? -2 (3)由方程的两个根都大于零,得 ?- >0, ? 2 ? ?f?0?>0, 0<a<1.

解得

第三章

3.1

3.1.1

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[ 规律总结 ] 情况进行求解.

1. 解决一元二次方程根的分布问题,要利用

数形结合,结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等
2.二次函数零点的分布问题 二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布,一般为下 面两个方面的问题: (1)一个区间内只有一个根;(2)一个区间内有两个根. 由于我们在初中学过方程根的情况,有时可以根据判别式 及根与系数的关系判断,但在多数情况下,还要结合图象,从

对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究.具体解法
如下表:
第三章 3.1 3.1.1

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设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)对应的方程的根为x1、x2.
根的分布 (m<n<p) 图象 满足条件

一个 区间 只有 一个 根

x1<m<x2

f(m)<0

m<x1<n <x2<p

f?m?>0, ? ? ?f?n?<0, ? ?f?p?>0

第三章

3.1

3.1.1

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根的分布 (m<n<p)

图象

满足条件 Δ>0, ? ? ?m<- b <n, 2a ? ?f?m?>0, ? ?f?n?>0

m<x1< 一个 区间 有两 个根 m<x1<x2 x2<n

?Δ>0, ? b ?-2a>m, ? ?f?m?>0

第三章

3.1

3.1.1

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根的分布 (m<n<p)

图象

满足条件 f(m)· f(n)<0或Δ=0且 b -2a∈(m,n)或

在(m,n)内有且 只有一个根

f?m?=0, ? ? ? b m+n ? ?m<-2a< 2 或 f?n?=0, ? ? ?m+n b <- ? 2a<n ? 2

第三章

3.1

3.1.1

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另外,x1,x2∈(0,+∞),即两正根,也可通过满足条件 b -4ac≥0, ? ? ?-b>0, ? a ?c ? ?a>0
2

来解决;x1,x2∈(-∞,0),即两负根,也可通

2 b -4ac≥0, ? ? ?-b<0, 过满足条件 ? a ?c ? ?a >0 2 b ? ? -4ac>0, ?c 来解决. ? ?a<0

来解决;x1,x2一正一负也可通过满足

第三章

3.1

3.1.1

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已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两根,其中一 根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.

[分析]

借助于二次函数的图象,讨论区间端点对应的函

数值的符号,列出不等式组,即可解得实数m的取值范围.

第三章

3.1

3.1.1

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[解析] 由题意知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的 交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,可以画出示意图(如右图所 示), ? ?f?0?=2m+1<0 ?f?-1?=2>0 观察图象可得? ?f?1?=4m+2<0 ? ?f?2?=6m+5>0 5 1 解得-6<m<-2. 5 1 所以m的取值范围是(-6,-2).
第三章 3.1 3.1.1



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[规律总结]

这类题目一般是从几何角度入手,利用代数

方法解决.若题目改为函数f(x)=x2+2mx+2m+1的两个零点 ? ?f?0?>0 ?f?1?>0 均在区间(0,1)内,则需满足不等式组 ? ?Δ≥0 ? ?0<-m<1 m<1是因为对称轴x=-m应在区间(0,1)内).

(这里0<-

第三章

3.1

3.1.1

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●误区警示 易错点一 混淆了零点与点的概念

函数f(x)=x2-6x+5的零点是________.
[错解] (1,0),(5,0) 由题意,得x2-6x+5=0,∴x=1,x=5,

∴函数的零点是(1,0)和(5,0).
[错因分析] 该解法中混淆了零点与点的概念. [思路分析] 零点不是一个点,而是函数图象与x轴交点的 横坐标,零点是一值.

第三章

3.1

3.1.1

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[正解] 1、5

由题意,得x2-6x+5=0,解得x=1或x=5,
∴函数的零点是1,5.

第三章

3.1

3.1.1

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函数f(x)=x2-3x+2的零点是(
A.(1,0) C.(1,0),(2,0) [答案] D B.(2,0) D.1,2

)

[解析] 解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以选D. [总结] 函数的零点是一个实数,是使 f(x) =0 成立的实数 x,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.

第三章

3.1

3.1.1

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易错点二 判断零点个数时出现逻辑错误
求函数f(x)=x2-5x+6在[1,4]上的零点个数.

[错解]

错解一:由题意,得f(1)=2>0,f(4)=2>0,因此

函数f(x)=x2-5x+6在[1,4]上没有零点,即零点个数是0. 错解二:∵ f(1) = 2>0 , f(2.5) =- 0.25<0 ,∴函数在 (1,2.5) 内有一个零点; 又∵ f(4) = 2>0 , f(2.5) =- 0.25<0 ,∴函数在 (2.5 , 4) 内有 一个零点, ∴函数在[1,4]上有两个零点.

第三章

3.1

3.1.1

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[错因分析]

对于错解一,是错误地类比零点存在定理,

f(a)·f(b)>0时,(a,b)中的零点情况是不确定的,而错解二出现

了逻辑错误,当f(a)·f(b)<0时,(a,b)中存在零点,但个数不确
定. [思路分析] 法. [正解] 由题意,得x2-5x+6=0, ∴x=2,x=3, ∴函数的零点是2,3 要想准确地判断函数零点的个数,要么把它

们全部求出来,要么利用函数图象来判断,这才是正确的方

∴函数在[1,4]上的零点的个数是2.
第三章 3.1 3.1.1

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函数f(x)=2- 4-x2(x∈[-1,1])的零点个数为________.

[答案] 1
[解析] 令2- 4-x2 =0,解得x=0,所以函数仅有一个 零点,故填1. [总结] 当函数y=f(x)的图象在闭区间[a,b]上是一条连
续不断的曲线,但是不满足f(a)· f(b)<0时,函数y=f(x)在区间 (a,b)内可能存在零点,也可能不存在零点.

第三章

3.1

3.1.1

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当堂检测

第三章

3.1

3.1.1

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1.下列函数的图象中没有

零点的是(
[ 解析 ] 点,故选D.

)
从图中观察知,

[答案] D 只有D 中函数图象与 x 轴没有交 [ 规律总结 ] 根据函数零

点的概念,函数有零点,即函 数的图象与x轴有交点.函数图

象与x轴有几个交点,函数就有
几个零点.
第三章 3.1 3.1.1

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2.函数f(x)=4x-2x-3m的零点为1,则实数m的值为 ( ) 2 A.-3 3 C.2 2 B.3 3 D.-2

[答案]

B

2 [解析] f(1)=4-2-3m=0,∴m=3,故选B.

第三章

3.1

3.1.1

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1 3.函数f(x)=x+x 的零点的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3

)

[答案] A
[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}, 当x>0时,f(x)>0; 当x<0时,f(x)<0, 但此函数在定义域内的图象不连续,

所以函数没有零点,故选A.

第三章

3.1

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2 4.(2015· 河北广平县一中期中试题)函数f(x)=lnx- x 的零 点所在的大致区间是( A.(1,2) C.(3,4) ) B.(2,3) D.(e,3)

[答案]

B

[解析] 将各选项中区间的左右端点分别代入f(x)=lnx- 2 f(b)<0. x ,看其是否满足f(a)· 2 ∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3- 3 >0,∴f(2)· f(3)<0,∴ f(x)在(2,3)内有零点,故选B.
第三章 3.1 3.1.1

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[规律总结]

这是一类非常基础且常见的问题,考查的是

函数零点的判定方法,一般而言只需将区间端点代入函数求出

函数的值,进行符号判断即可得出结论.这类问题的难点往往
是函数值符号的判断,可运用函数的有关性质进行判断.

第三章

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5.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. x+3 (1)f(x)= x ; (2)f(x)=x2+2x+4; (3)f(x)=2x-3; (4)f(x)=1-log3x.

[分析]

分别令各个解析式等于0,根据方程是否有根来确

定函数的零点.

第三章

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x+3 x+3 [解析] (1)令 x =0,解得x=-3,所以函数f(x)= x 的零点是-3. (2)令x2+2x+4=0,由于Δ=22-4×1×4=-12<0, 所以方程x2+2x+4=0无实数根, 所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点. (3)令2x-3=0,解得x=log23, 所以函数f(x)=2x-3的零点是log23. (4)令1-log3x=0,解得x=3, 所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.
第三章 3.1 3.1.1

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第三章

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