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M2.2.2圆的一般方程课件ppt



复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的?

2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 2
其中圆心的坐标和半径各是什么?

?a, b ?

r

想一想,若把圆的标准方程 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 2

展开后,会得出怎样的形式?

2 2 2 2 2 x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0
令 ? 2a ? D,?2b ? E , a ? b ? r ? F得
2 2 2

2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

再想一想,是不是任何一个形如:

x

2

?

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

的方程表示的曲线都是圆?
将上式配方整理可得:

2 2 D E D 2 ? E 2 ? 4F (x? ) ? ( y ? ) ? 4 2 2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x? ) ? ( y ? ) ? 4 2 2

(1)当D ? E ? 4F ? 0时,
2 2

方程x

2

?

y
1 2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0表示以点( ? D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆。

D E , ? )为圆心, 2 2

(2)当D2 ? E 2 ? 4F ? 0时,
方程x ?
2

y

2

D E ? Dx ? Ey ? F ? 0表示点(? , ? ) 2 2
2

(3)当D ? E ? 4F ? 0时,
2

方程x ?

2

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0不表示任何图形.

圆的一般方程:
x2 +y
2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0)

圆的一般方程与标准方程的关系:

1 D 2 ? E 2 ? 4F (1)a=-D/2,b=-E/2,r= 2 (2)标准方程易于看出圆心与半径

一般方程突出形式上的特点:
x2与y2系数相同并且不等于0; 没有xy这样的二次项

[定义] : 圆的一般方程

?

x

2

?

y
2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

D ? E ? 4F ? 0
2 2
2

思 方程Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 考 表示圆的充分必要条件是什么?

A ? C ? 0, B ? 0, D ? E ? 4 AF ? 0.
2 2

练习1:下列方程各表示什么图形? 原点(0,0) (1)x ? y ? 0 ________
2 2

(2)x ? y ? 2x ? 4y ? 6 ? 0____
2 2 2

(3)x ? y ? 2ax ? b ? 0________
2 2

(2)圆心为(?1, 2), 半径为 11 的圆 .
(3)当a, b不同时为0时,圆心为(?a, 0), 半径为 a 2 ? b 2的圆 .当a, b同时为0时,表示一个点。

练习2 :将下列各圆方程化为标准方程, 并求圆的半径和圆心坐标.

(1) x ? y ? 6 x ? 0,
2 2

(2) x ? y ? 2by ? 0,
2 2

(3) x ? y ? 2ax ? 2 3ay ? 3a ? 0
2 2 2

(1)圆心(-3,0),半径3.
(2)圆心(0,b),半径|b|.

(3)圆心(a, ? 3a), 半径 | a | .

练习: 求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .

设圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

把点A,B,C的坐标代入得方程组
6 ? 6D ? F ? 0 2 8 ? 8E ? F ? 0
2

F ?0

? D ? ?6, ? ? E ? ?8, ? F ? 0. ?

所求圆的方程为:

2 2 ? y ? 6x ? 8 y ? 0 x

若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解.

[例3]

如图所示,一座圆拱桥,当水面在图

示位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水
面下降1 m后,水面宽多少米?

练 (3)圆x 2 ? y 2 ? 8x ? 10y ? F ? 0与x轴相 习 切, 则这个圆截 6 y轴所得的弦长是___
(4)点A(3,5)是圆x ? y ? 4 x ? 8 y ? 80 ? 0的一
2 2

条弦的中点 , 则这条弦所在的直线方 程是 __

x ? y ?8 ? 0
5.经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上 截得的弦长等于6的圆的方程.

10. [课堂小结]

(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
? 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?x ? 2 2 ? ?D ? E ? 4 F ? 0

(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系]

一般方程

配方 ?? ?? ?? ? ? 展开

标准方程(圆心,半径)

(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)

(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.



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