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高中数学 1.1.4《投影与直观图》课件一 新人教B版必修2



1.1.4投影与直观图

请同学们看下面几个常见的自然现 象,考虑它们是怎样得到的?

观察下列投影现象,它们的投影过程 有何不同?
S

投 射 方 向

中心投影与平行投影
投射线交于一点的投影称为中心投影 投射线相互平行的投影称为平行投影

中心投影



平行投影(正投影)

平行投影(斜投影)

投影规律

1.平行性不变,但形状、长度、 夹角会改变;
2.平行直线或同一直线上的两 条线段的比不变;

探究1: 请利用手中的圆珠笔和三角板做投影实验 并回答以下问题:

1.线段的平行投影可能是____________
直线或点 2.直线的平行投影可能是_____________

线段或点

3.三角形的平行投影可能是___________ 三角形或线段

概念形成: 当图形中的直线或线段不平行于

投射线时,平行投影的性质:
(1)直线或线段的平行投影是__________.

直线或线段 平行且等长

(2)平行直线的平行投影是_________________.

平行或重合的直线

(3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段________.

全等 (4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形______.
(5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比

等于 ____这两条线段之比

概念深化: 判断正误 1.直线的平行投影是直线 2.矩形的平行投影是矩形

(×)

(×)

3.平行四边形的平行投影可能是正方形 (√) 4.如果一个三角形的平行投影仍是三角形, 那么它的中位线的平行投影一定是这个三角 形 (√) 的平行投影的中位线。

当投射线和投射面成适当的角度或改 变图形相对于投射面的位置时,一个空 间图形在投射面上的平行投影(平面图 形)可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形,叫 做空间图形的直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法, 国家规定了统一的标准,一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法。

探究2::水平放置的平面图形的直观图画法
(斜二测画法) 问题:阅读教材18页例1,回答下列问题: (1)已知图形与直观图的坐标系有何区别? (2)已知图形中的线段与轴平行关系在直观图中是否改 变? (3)已知图形中与轴平行的线段长度在直观图中是否改 变?

应用举例:例1画出水平放置的直角梯形 的直观图

y D C D′ A
O

y′ C′

B x

A′

B′

x′

思考:上述画水平放置的平面图形的直 观图的方法叫做斜二测画法,你能概括 出画平面图形直观图的基本步骤?

1、平面图形的直观图画法
(1)画轴.

y

y’

o

x

o’

( 450或1350 )

x’

(2)确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴 平行y轴的线段平行于y’ 轴

(3)确定线段长度. 平行x轴的线段的长度保持不变.

确定点位置的画法: 在斜坐标系里横坐 标保持不变,纵坐 标变为原来的一半.

平行y轴的线段的长度变为原来的一半. (4) 成图

y
C

试一试:请大家用多种建系方法画水平放置 的边长为4cm 正三角形的直观.图
B

A

O

x
y`

画法按如下步骤完成 : 第一步 在已知的正三角形 ABC中,

C`
45 0

取AB所在的直线为 轴, 取对称轴 x CO为y轴. 画对应的x` 轴、y` 轴, 使 使?x`O`y`? 450.
第二步 在x`轴上取O`A`? OA, O`B`? OB, O`C `? 1 / 2OC. 第三步 连结A`C`, B`C`, 所得 的 三 角 形A`B`C`就是正三角形 ABC的直观图.

A`

O`
C`

B` x`

A`

B`

图1 ? 1 ? 29

例2::画边长为2cm正方形水平放置的
直观图?

y
Y’

x o
O’

X’

例3 画棱长为2cm 正方体的直观图.
z` D` A` B` C`

解 画法按如下步骤完成 .
第一步 作水平放置的正方形的 直观图 ABCD, 使?BAD ? 450 , AB ? 2cm, AD ? 1 cm. 第二步 过A作z`轴, 使?BAz`? 900.分别 过点B, C , D作z`轴的平行线, 在z`轴及这 组平行线上分别截取AA`? BB`? CC `? DD`? 2cm.

y`
D
450

C B

A

x`

?
D` A` B` C`

D A B

C

第三步 连结A`B`, B`C `, C `D`, D`A`, 得到 的图形就是所求的正方 形直观图.

图1 ?1 ? 30

图画好后 擦去补助线, 如图1 ? 1 ? 30. ,

2、空间几何体的直观图画法
1、画轴:增加z轴, xoz=900; 2、画底面; 3、画侧棱.(直棱柱的侧棱和z轴平行,长度保持不变) 4、成图. 注意:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.

?数学运用 已知某图形的直观图三角形ABC,
AB=BC=2,请画出原图 Y’ A B O’ C

X’

理论迁移

例 如图,一个平面图形的水平放 置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它 的底角为45°,两腰和上底边长均为1, 求这个平面图形的面积.
D D C C

A

B
A

S ? 2? 2
B

课堂小结
? 平行投影的性质:
? 斜二测画法规则:
1. 建系 : 在已知图形中取互相垂直的的X轴和Y轴,得到直角坐标
系XOY,直观图中画成斜坐标系X‘O’Y‘,两轴的夹角为450,X’ 轴水平.在空间坚直方向上的线 段画成垂直于X’轴需要画立体图时,过 O‘点画Z‘轴,且使其垂直于X’轴

2. 平行性不变

3.横竖不变纵减半

课堂小结
? 平面图形斜二测画法规则:
1、在已知图形中取互相垂直的轴x轴、y轴; 2、作对应的x’轴、y’轴,夹角∠ x’o’y’=45°; 3、已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直 观图中分别画成平行于x’轴、y’轴的线段 (即平行性不变); 4、已知图形中平行于x轴的线段,在直观图 中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度 为原来的一半(即横不变纵减半)。

课堂小结
空间几何体的直观图的作法:
1、建系: 在已知图形中取互相垂直的的X轴和Y轴, 得到直角坐标系XOY,直观图中画成斜坐标系X 在空间坚直方向 ‘O’Y‘,两轴的夹角为450,X’轴水平. 上的线 段画成垂直于X’轴需要画立体图时,过O ‘点画Z‘轴,且使其垂直于X’轴 2、平行不变: 已知图形中平行于X轴或Y轴的线段, 在直观图中分别画成平行于X’轴或Y‘的线段。 3、长度规则: 已知图形中平于X轴的的线段,在直观 图中保持长度不变;平行于Y轴的线段,长度变为原来 在空间坚直方向上的长度也不变。 的一半。



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