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高二数学第十章排列组合和概率



高二数学第十章 排列、组合和概率


(本试卷 22 道题,共 150 分




班次______ 姓名__________

时间 120 分钟)

一、选泽题(本题 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.乘积 (a1 ? a2

? a3 ? a4 )(b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? b6 ) 展开后有( A.10 B. 24 C. 20 D. 14 )种 )项

2.在连续 6 次投篮中,三次投进,未投进的三次恰有两次连在一起的情形有( A.12 B.36 C. 72 D. 144

3.三个不同的小球,放入编号为 1、2、3 的 3 个盒中,恰有一个空盒的放法的种数为( A.18 B. 6 C. 24 D. 12 4. 植树节那天,四位同学植树,现有三棵不同的树,则不同的植法结果为 A.6 B. 24 C. 81 D. 64 5. (2 x ? 1) 的展开式中,各项系数的和是
2 n







( D. 0



A. 2

n

B. 2

n ?1

C. 1

6 .设 f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 展开式中 x 的系数是 19
m n

* ( m, n ? N ) ,则 f ( x) 的展开式中 x 的系数的最小值为
2

( ) A.18

B. 19

C. 91

D. 81

5?n 9? n 7. Cn ? Cn ?1 的值为

( C. 15 或 6 D. 5 或 16



A.15

B. 16

8.设 (2 ? x) 9 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a9 x 9 ,则 a8 ? a9 的值为 A.17 B. 19 C. 8 D. 512





9 .甲、乙、丙 3 人射击,目标被击中的概率分别为 ( A. )

1 1 1 , , ,现在 3 人同时射击 1 个目标,目标被击中的概率是 2 4 12
D.

1 96 227 228

B.

47 96 105 228

C.

21 32 32 228

5 6


10 在 20 件产品中有 15 件正品,5 件次品,从中任取 3 件,则至少有一件次品的概率为( A. B. C. D.

137 228

11 .设事件 A 、 B 是相互独立的两个事件, A 、 B 发生的概率分别为 p1、p 2 ,则 A 、 B 中至多有一个发生的概率为 ( ) B. 1 ? p1 p2 C. p1 (1 ? p2 ) ? (1 ? p1 ) p2 D. (1 ? p1 )(1 ? p2 )

A. p1 . p 2

12.一只病了的国家珍贵动物服用某药品后被治愈的概率为 95%,则服用这种药品的 4 只动物中至少有 3 只被治愈的概率 为 ( ) A.0.95 B. 0.90 C. 0.86 D. 0.99

二、填空题(本题有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.已知 (1 ? 2x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a7 =___________. 14.20 个不同的小球平均分装在 10 个箱子中,现从中取出 5 个球,要求没有两个球是同一箱中的,则所有不同拿法种数 是___________. 15.盒中有 5 个小球,3 个兰色的,2 个红色的,每次任取一个球,每次取出后放回,现连续取两次,则两次都取兰色球的 概率是____________. 16. 如图,在开关电路中,开关 k1 , k 2 , k 3 开或关的概率都为

1 ,且是相互独立的,则灯亮的概率是___________ . 2

三、解答题
17. (12 分)甲、乙两人各进行一次投篮,如果两人投中的概率都是 0.8.计算: (1)两人都投中的概率; (2)其中恰有 1 人投中的概率; (3)至少有一人投中的概率.

18. (12 分)已知集合 A 中含有 8 个元素,集合 B 中含有 10 个元素,集合 A∩B 中含有 3 个元素,试求同时满足下面三个 条件的集合 C 的个数: (1)C A∪B,且 C 中含有 3 个元素; (2)C∩A≠ ? ; (3)C∩B≠ ?

19. (12 分)袋中有 9 个编号分别为 1,2,?,9 的小球,从中随机地取出 2 个,求至少有一个编号为奇数的概率?

20. (12 分) (2002 年天津高考试题)某单位 6 个员工借助互联网开展工作每个员工上网的概率都是 0.5(相互独立) ,求至 少 3 人同时上网的概率.

11?2 n 2 n ?2 21. (12 分)若等差数列 {an } 的首项为 C5 ? A11 n ?3n ,公差是 ?

? 5 23 2 ? ? x ? 的展开式中的常数项,其中 m 是 7777 ? 15 ? 2x 5 ?

m

除以 19 的余数,此数列的前多少项的和最大?最大值是多少?

22. (14 分)在二项式 (ax ? bx ) (a ? 0, b ? 0, m、n ? 0) 中有 2n+m=0,如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项.
n m 12

(1)求它是第几项? (2)求

a 的范围 b

排列、组合和概率测试题参考答案 1、选(B) 2、选(A) 3、选(B) 4、选(D) 5、选(C) 6、选(D) 7、选(D) 8、选(A) 9、选(C) 10、选(D) 11、选(B) 12、选(D)
13、答案: 令 x=0,得 a0 ? 1 ,再令 x=1,得 a0 ? a1 ? ? ? a7 ? ?1 故 a1 ? ? ? a7 ? ?2
5 14、答案: C10 ? 252

9 3 3 ∵第一次取出是兰色球的概率为 ,放回后第二次取出一个小球是兰色球的概率为 ,∴两 25 5 5 9 次取出都是兰色球的概率为 25 5 16、答案: 方法一:要使灯亮有如下几种情况: 8

15、答案:

1 1 1 1 第一: k3 关, k 1 关, k 2 开,其概率为 ? ? ? 2 2 2 8 1 1 1 1 第二: k3 关, k 1 开, k 2 关,其概率为 ? ? ? 2 2 2 8 1 1 1 1 第三: k3 关, k 1 关, k 2 关,其概率为 ? ? ? 2 2 2 8 1 1 1 1 第四: k3 关, k 1 开, k 2 开,其概率为 ? ? ? 2 2 2 8 1 1 1 1 第五: k3 开, k 1 关, k 2 关,其概率为 ? ? ? 2 2 2 8 5 ∴ 灯亮的概率为 8
方法二:设“ k 1 关”为事件 A, “ k 2 关”为事件 B, “ k3 关”为事件 C,则

P( A) ? P( A) ? P( B) ? P( B) ? P(C ) ? P(C ) ?
由题得, “灯不亮”为事件 A( B ? C) ∴ 灯亮的概率为:

1 2

1 ? P[ A( B ? C ) ? 1 ? P( A) P( B ? C ) ? 1 ? P( A)[1 ? P( A) P( B)] ? 1 ?

3 5 ? 8 8

17、 【解】设“甲投中”为事件 A, “乙投中”为事件 B,则 P( A) ? 0.8, P( B) ? 0.8, P( A) ? 0.2

P(B) ? 0.2 ,且 A 与 B 是相互独立的,则
(1) “两人都投中”为事件 AB,∴ P( AB) ? P( A) P( B) ? 0.8 ? 0.8 ? 0.64 ; (2) “恰有一人投中”为事件 AB ? AB ,则

P( AB ? AB) ? P( A)P( B) ? P( A)P(B) ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.32 ;
(3) “至少有一人投中”为事件 A+B,则

P( A ? B) ? 1 ? P( A)P(B) ? 1 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.96
18 、 【解】由 C ? A ? ? , C ? B ? ? , C
3 3 3 C15 ? C5 ? C7 ? 455? 10 ? 35 ? 410

A ∪ B ,知集合 C 中至少含有集合 A ∩ B 中的一个元素,用间接法求解得:

∴ 满足条件的集合 C 有 410 个

2 19、 【解】从 9 个小球随机的取出 2 个,共有 C9 种方法,取出的 2 个球的编号全是偶数的有 C 4 种方法,设“至少有一个编
2 C4 5 ? 2 C9 6

2

号为奇数”为事件 A, “取出的 2 个球的编号全是偶数”为事件 B,显然 A、B 互斥,则 P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 20、 【解】设有 k 个人同时上网的概率为 P(k )(k ? 0,1,2,3,4,5,6) ,则
0 P(0) ? C6 ? 0.56

1 P(1) ? C6 ? 0.56 2 P(2) ? C6 ? 0.56

∴ 至少 3 人同时上网的概率 P ? 1 ? P(0) ? P(1) ? P (2) ?

21 32

21、 【解】由 ?

?5n ? 11? 2n 11 13 ? ? n ? ,而 n ? N * ,所以 n=2 7 5 ?11? 3n ? 2n ? 2

11?2 n 2 n?2 7 2 ∴ C5 ? A11 n ?3n ? C10 ? A5 ? 120? 20 ? 100

即等差数列 {an } 的首项 a1 ? 100
1 2 77 而 7777 ? 15 ? (1 ? 76) 77 ? 15 ? 1 ? C77 ? 76 ? C77 ? 762 ? ? ? C77 ? 7677 ? 15

∴ 77

77

? 15 除以 19 的余数为 19-14=5,即 m=5
m

? 5 23 2 ? 又? ? x ? 的展开式中的常数项为-4,即等差数列 {an } 的公差 d=-4 ? 2x 5 ?
∴ an ? ?4n ? 104 由 an ? ?4n ? 104 ? 0 ,得 n ? 26 ,即从第 27 项开始以后的各项均为负值 所以,数列的前 25 项或前 26 项的和最大,最大值为 S 26 ? 100 ? 26 ?

26 ? 25 ? (?4) ? 1300 2

22、 【解】 (1)∵2n+m=0,∴二项式 (ax ? bx ) (a ? 0, b ? 0, m、n ? 0) 的展开式的通项为:
n m 12 r r 12?r r 12 n?rn ? mr r 12?r r 12 n?3nr Tr ?1 ? C12 (axn )12?r (bxm ) r ? C12 a b x ? C12 a b x

令 12n-3nr=0,r=4
4 8 4 ∴ 第 5 项是常数项, T5 ? C12 ab
4 8 4 3 9 3 ? 8 a 9 ?C12 a b ? C12 a b ? ? ? (2)∵ T5 的系数最大,∴ ? 4 8 4 5 7 5 5 b 4 ? ?C12 a b ? C12 a b



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