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湖北省2013年七地市高考备考(押注)冲刺卷(四)数学(文)试卷



4
2013 年七地市高考备考(押注)冲刺卷
文科(数学)
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,请考生务必将自己的姓名、准考证号填写(涂)在试题卷和答题卡上。 2. 考生答题时,选择题请用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请按照 题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。

3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {x | y ? A. [ ?1,?? ) B. [?1, 2 ] C. [ 2 ,??)

2 ? x 2 } ,则 M ? N ? (
D. [1, 2]

)

2.函数 y ? (3 ? x2 )e x 的单调递增区间是( ) A. ( ??, 0) B. (0, ??) C. (??, ?3) 和 (1, ??)
3

D. (?3,1)

3.某小区住户共 200 户.为调查小区居民 8 月份用水量,用分层抽样的方法抽取了 50 户进 行调查,得到了本月的用水量(单位: m )的频率分布直方图如下左图所示,则小区内 用水量超过 15m 的住户的户数为(
频率/组距
3



开始

0.1

i=1,S=0

i<6



0.05 0.04 0.01 O
样本数据

是 i 是奇数

5
x x

10

15

20

25

A. 10

B. 50

C. 60

D. 140

S=S-i2

S=S+i2
输出 S

4. “ 2 ? 3 ”是“ log2 x ? log3 x ”成立的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 i=i+1

结束

5.执行如右上图所示的程序框图,输出的 S 的值为 A. ? 6 B. 10 C. 3 D. ? 15

(

)

6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( A.

) 1 1 1 5 侧视图 . 1

1 2 3 2

B.

3 2 3 ?1 2

正视图

C.

D.

1

俯视图

7.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,如果 cos(2B ? C ) ? 2sin A sin B ? 0 , 那么三边长 a、b、c 之间满足的关系是( ) A. 2ab ? c
2

B. a ? b ? c
2 2

2

C. 2bc ? a

2

D. b ? c ? a
2 2

2

8.点 P 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,左右焦点分别是 F1 , F2 .若△ F1PF2 的三条 a 2 b2 边长成等差数列且 PF1 ? PF2 ,则此双曲线的渐近线方程为( )
B. y ? ?2 3x C. y ? ?2 5x D. y ? ?2 6 x

A. y ? ?2 x

9.已知△ ABC 是边长为 2 3 等边三角形,在△ ABC 内任取一点 P ,则 P 到三角形三顶 点 A 、 B 、 C 的距离均大于 1 的概率为( ) A.

3? 9

B. 1 ?

3? 9

C. 1 ?

3? 18

D.

3? 18

10.设定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ?

x ?1 ? ?5 ? 2, x ? 0 2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0

,若关于 x 的方程

f 2 ( x) ? 2mf ( x) ? m2 ?1 ? 0 有 5 个不同的实数解,则 m ? ( )
A.2 B.4 C.2 或 4 D.4 或 6

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k ? 12.已知 a 是实数,

?

?

?

? ?

?



a?i 是纯虚数, z ? a ? 3i 则 | z |? 1? i



13.设 f (sin ? ? cos ? ) ? sin 2? ,则 f (tan

) 的值为 3 14 . 设 函 数 y ? f ( x) 满 足 : ① y ? f ( x? 1) 是 偶 函 数 ; ② 在 [1, ??) 上 为 增 函 数 。 若 f (a) ? f (2) ,则 a 的取值范围是: .

?

15.如右图所示,正四棱锥 P ? ABCD 的底面积为 3 ,体积为

2 , E 为侧棱 PC 的中点, 2

则 PA 与 BE 所成的角为 . 16 平面直角坐标系 xOy 下, 已知点 M (2, 2) 、N (?2, 2) , 且直线 ax ? by ? 8 ? 0 与线段 MN 有公共点, 设点 P (a, b)(这里 a 、b 满足前面所述的条件) , 在平面直角坐标系 aOb 中,
2 2 线 段 AB 是 椭 圆 3a ? 4b ? 12 的 过 中 心 的 任 意 一 条 弦 , 则 P A? P B的 最 小 值 为 .

???? ????

17.给出下列数阵,第 n 个数阵的所有数字之和为 右第 3 个数是 . 1 2 2 1 2 1 5 10 10 5 1 5 20 10 30 30 10 20 30 20 5 5 10 10 5 1 1 3 1 3 1 3 6 3 3 3 1

;第 6 个数阵的第 5 行的从左到 1 4 6 4 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1

1 1 1

??

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0,? ? 0,|? |? 点分别为 (

?

2? , ?3) . 6 3 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;
,1) , (

?

2

) 相邻的两个最高点和最低

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f ( B) ?1 ,且 3a ? b ? c , 试判断△ABC 的形状.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? ?

? an ? 2 2 , a n ?1 ? 3 2a n ? 3

(Ⅰ)求证数列 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; ? a n ? 1?

(Ⅱ)令 bn ?

1 ,若 cn ? bn 2 n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . a n ?1

20. (本小题满分 13 分) 如图, 四边形 ABCD 为矩形, DA ⊥平面 ABE ,AE ? EB ? BC ? 2 , BF ⊥平面 ACE 于点 F ,且点 F 在 CE 上. (Ⅰ)求证: DE ⊥ BE ; (Ⅱ)求四棱锥 E ? ABCD 的体积; (Ⅲ)设点 M 在线段 AB 上,且 AM ? MB ,试在 线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN ∥平面 DAE .

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ?

1 3 a x ? ( ? 1) x 2 ? (5 ? 2a) x ? b (a, b ? R) , f ( x) ? g?( x)ex ,其中 e 3 2

是自然对数的底数. (Ⅰ)当 a ? 4 时,求函数 g ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)
2 如图 , 直线 AB 过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点与抛物线交于 A 、 B 两点,且

| AB |? 4 , AB 中点 S 到 x 轴距离为 1 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)过点 (0,1) 作两互相垂直的直线和曲线 E 分别交于 P 、 Q 和 M 、 N ,其中 C 为 PQ 的中点, D 为 MN 的中点,问直线 CD 是否过定点,并说明理由

孝感市 2012—2013 学年度高中三年级高考冲刺模拟试题

数学(文科)答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分)(对而不全的不给分) 11.5 11.4 12.2 17. 3 , 90
n

13.2

14. a ? 0 或 a ? 2

15.

? 3

三、解答题(共 5 个大题,共 65 分) 18. (本小题满分 12 分)

?A ? k ?1 ,解得 A ? 2 , k ? ?1 ??(1 分) ?? A ? k ? ?3 1 2? ? ? 2? ? ? ,∴ T ? ? ,? ? ?2 又∵ T ? ??(2 分) 2 3 6 2 T ? ? ? ? ) ? 1 ,又 | ? |? ,所以 ? ? 由 f ( ) ? 1 ,得 sin( ? ? ??(3 分) 2 6 6 3 ? ∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? ? ? ? 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? , k ? Z , 得 k? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? (5 分) 2 6 2 3 6 ? ? ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ] (k ? Z ) ?? (6 分) 3 6 ? ? ? 13? ) (Ⅱ)因为 f ( B) ? 1,则 sin(2 B ? ) ? 1 ,又∵ 2 B ? ? ( , 6 6 6 6 ? ? ? ∴ 2 B ? ? ,B ? ?? (8 分) 6 6 2 ∵ 3a ? b ? c ,由正弦定理, 3 sin A ? sin B ? sin C 1 5? ? 1 ? A) , i n ( A ?) ? ∴ 3 sin A ? ? sin( ∴s ?? (10 分) 2 6 6 2
解: (Ⅰ)由题意知, ?

所以 A ?

?
3

,C ?

?
2

,故△ABC 为直角三角形

??(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ a n ?1 ? 又∵

an ?1 ? an ? 2 ∴ a n ?1 ? 1 ? 2a n ? 3 2a n ? 3



1 an?1 ? 1

?

1 ?2 an ? 1

??(2 分)

? 1 ? 1 ? 3 ∴? ? 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列 a1 ? 1 ? a n ? 1? 2n 1 ∴ ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ∴ a n ? ? 2n ? 1 an ? 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? 2n ? 1 ∴ cn ? (2n ? 1)2n a n ?1
∴ Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? 7 ? 23 ? ? ? (2n ? 1)2 n ∴ 2Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? (2n ? 1)2
2 3 4 n?1

?? (4 分) ?? (6 分) ??(8 分)

① ② ?? (10 分) ?? (12 分)

? Tn ? (2n ? 1)2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 ? (2n ? 1)2n?1 ? 2
20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 DA ⊥平面 ABE , BC ∥ DA 所以 BC⊥平面 ABE 所以 AE ⊥ BC , ??(1 分) 因为 BF ⊥平面 ACE 于点 F 所以 AE ⊥ BF 因为 BC ? BF ? B , 所以 AE ⊥平面 BEC ??(2 分) 则 AE ⊥ BE 又 DA ⊥ BE AE ? AD ? A, 因为 所以 BE ⊥平面 DAE 则 DE ⊥ BE (Ⅱ)设 M 为 AB 的中点 因为 AE ? EB , 则 EM ⊥ AB 又因为平面 ABCD ⊥平面 ABE , 所以 EM ⊥平面 ABCD 因为 AE ⊥ BE ,所以 EM ?

②-①可得

?? (4 分) ?? (6 分)

2
?? (8 分)

1 1 8 VE ? ABCD ? EM ? S ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 3 3
(Ⅲ)因为 BE ? BC , BF ⊥平面 ACE 于点 F ,所以 F 是 EC 的中点 设 P 是 BE 的中点,连接 MP , FP ,所以 MP ∥ AE , FP ∥ DA 因为 AE ? DA ? A ,所以 MF ∥平面 DAE ,则点 N 就是点 F 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 4 时, g ( x) ?

??(10 分) ??(12 分) ??(13 分)

1 3 x ? x 2 ? 3x ? b , g?( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 3)( x ?1) 3 由 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?3 , x2 ? 1 ??(2 分) 当 x 变化时, g ?( x ) 、 g ( x) 的变化情况如下表: x (??, ?3) (?3,1) (1, ??) ?3 1

g ?( x) g ( x)

?
单调递增

0
极大值

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增 ?? (5 分)

又∵ g (?3) ? b ? 9 ,g (1) ? b ?

5 3
5 3

∴函数 g ( x) 在 x ? ?3 处取得极大值 b ? 9 , 在 x ? 1 处取得极小值 b ? (Ⅱ) g ?( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? 5 ? 2a ,

?? (6 分)

f ( x) ? [ x2 ? (a ? 2) x ? 5 ? 2a]e x , f ?( x) ? ( x2 ? ax ? 3 ? a)ex 若 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上是单调增函数,则 f ?( x) ? 0 在区间 [?2, 2] 上恒成立
a 2 a2 令 h( x) ? x ? ax ? 3 ? a ? ( x ? ) ? 3 ? a ? , x ? [?2, 2] 2 4 x 因为 e ? 0 , 所以 h( x) ? 0 在区间 [?2, 2] 上恒成立, 则 h( x ?? (8 分) )m 0 n i ? a ①当 ? ? ?2 ,即 a ? 4 时, h( x) 为增函数, h( x)min ? h(?2) ? 7 ? 3a 2 7 由 7 ? 3a ? 0 ,得 a ? ,这与 a ? 4 矛盾,此时 a 不存在 ??(9 分) 3 a a a2 ②当 ?2 ? ? ? 2 ,即 ?4 ? a ? 4 时, h( x) min ? h(? ) ? 3 ? a ? 2 2 4 2 a ? 0 ,得 ?6 ? a ? 2 ,此时 ?4 ? a ? 2 由3? a ? ??(11 分) 4 a ③当 ? ? 2 ,即 a ? ?4 时, h( x) 为减函数, h( x)min ? h(2) ? 7 ? a 2 由 7 ? a ? 0, 得 a ? ?7 , 此时 ?7 ? a ? ?4 ?? (13 分)
2

综上, 所求实数 a 的范围是 [?7, 2] 22. (本小题满分 14 分)

?? (14 分)

解: (Ⅰ)作 AA1 ? 抛物线准线于 A 1 , BB 1 ? 抛物线准线于 B 1 , SS1 ? 抛物线准线于 S1 则 | SS1 |? 即

1 1 1 (| AA1 | ? | BB1 |) ? (| AF | ? | BF |) ? | AB |? 2 2 2 2
?? (3 分) ??(5 分)

p ?1 ? 2 ∴p?2 2 ∴抛物线 E 的方程为 x2 ? 4 y (Ⅱ)设点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2, y2 ) 直线 PQ 的斜率为 k (k ? 0) ,
则直线 PQ 的方程为 y ? kx ? 1 , 直线 MN 的方程为 y ? ? 联立方程组 ?

1 x ?1 k

?? (7 分)

? y ? kx ? 1 2 整理,得 x ? 4kx ? 4 ? 0 2 ? x ? 4y
?? (10 分)

∴ x1 ? x2 ? 4k , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4k 2 ? 2 又 C 为 PQ 的中点? C 2k , 2k ? 1
2

?

?

2 2 2 k2 ? k ? 1 同理得 D ( ? , 2 ? 1) ?? (12 分) ? kCD ? 2 k k k 2k ? k 1 1 2 直线 CD 的方程为: y ? (2k ? 1) ? ( k ? )( x ? 2k ) ,即 y ? ( k ? ) x ? 3 k k 故直线 CD 过定点 (0,3) ?? (14 分) 2k 2 ?



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