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2015-2016学年浙江省绍兴一中高二(上)期末数学试卷(国际班)【带解析】


浙江省高二(上)期末数学试卷
一、选择题 1.半径为 1 的球的表面积为(
2 2

)A.1

B.2π

C.3π

D.4π

2.圆 x +y ﹣4x=0 的圆心坐标和半径分别为( )A. (0,2) ,2 B. (2,0) ,4C. (﹣2,0) ,2 D. (2,0) ,2 3.过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是( ) A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0 4.设是直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题成立的是( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l⊥β B.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β C.若 l∥α,α⊥β,则 l∥βD.若 l∥α,α∥β,则 l∥β 5.设 p 是椭圆 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )

A.4 B.5 C.8 D.10 6.P 是边长为 a 的正三角 ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC=a,E、F 是 AB 和 PC 的中点,则异面直线 PA 与 EF 所成的角为( )A.30° B.45° C.60° D.90° 7.在同一直角坐标系中,直线 =1 与圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 的位置关系是(
2 2



A.直线经过圆心 B.相交但不经过圆心 C.相切 D.相离 8.过点(3,﹣2)且与椭圆 有相同焦点的椭圆方程为( )

A.

B.

C.
2 2

D. )

9.直线 kx﹣y+k=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切,则实数 k 等于( A.
2

B.
2

C.

D. )

10.曲线 x +y ﹣6x=0(y>0)与直线 y=k(x+2)有公共点的充要条件是( A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 5 小 题,每小题 3 分,满分 15 分) 11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



12.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的 大小是 . 13.若直线 x+(1+m) y+2+m=0 与直线 2mx+4y+6=0 平行,则 m 的值为 . 14.以 A(﹣1,2) ,B(5,﹣6)为直径两端点的圆的标准方程是 . 15.已知动点 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)的距离之比为 ,则点 M 的轨迹方程是 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 55 分) .

16.如图,圆 x +y =8 内有一点 P(﹣1,2) ,AB 为过点 P 的弦. (1)当弦 AB 的倾斜角为 135°时,求 AB 所在的直线方程及|AB|; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 AB 的 方程.
[来源:学科网 ZXXK]

2

2

17.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:AC⊥平面 PDB(2)当 PD= AB=2,设 E 为 PB 的中点,求 AE 与平面 ABCD 所成角.

18.如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点, (1)求证:MN∥平面 PAD(2)求证:MN⊥CD;3)若∠PDA=45°,求证:平面 BMN⊥平面 PCD.

19.由圆 x +y =9 外一点 P(5,12)引圆的割线交圆于 A、B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.

2

2

2015-2016 学年浙江省绍兴一中高二(上)期末数学试卷(国际班)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.半径为 1 的球的表面积为( ) A.1 B.2π C.3π D.4π 【考点】球的体积和表面积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用球的表面积公式解答即可. 【解答】解:半径为 1 的球的表面积为 4π1 =4π. 故选:D. 【点评】本题考查了球的表面积公式的运用;属于基础题. 2.圆 x +y ﹣4x=0 的圆心坐标和半径分别为( ) A. (0,2) ,2 B. (2,0) ,4 C. (﹣2,0) ,2 D. (2,0) ,2 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后,即可得到圆心与半径. 2 2 2 2 【解答】解:把圆 x +y ﹣4x=0 的方程化为标准方程得: (x﹣2) +y =4, 所以圆心坐标为(2,0) ,半径为 =2 故选 D 【点评】此题比较简单,要求学生会把圆的一般方程化为标准方程. 3.过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是( ) A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0 【考点】两条直线平行的判定;直线的一般式方程. 【专题】计算题. 【分析】因为所求直线与直线 x﹣2y﹣2=0 平行,所以设平行直线系方程为 x﹣2y+c=0,代入此直线所过的点的坐 标,得参数值 【解答】解:设直线方程为 x﹣2y+c=0,又经过(1,0) , ∴1﹣0+c=0 故 c=﹣1, ∴所求方程为 x﹣2y﹣1=0; 故选 A. 【点评】本题属于求直线方程的问题,解法比较灵活. 4.设是直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题成立的是( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l⊥βB.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β C.若 l∥α,α⊥β,则 l∥β D.若 l∥α,α∥β,则 l∥β 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】A.利用线面垂直和面面垂直的性质判断.B.利用线面垂直和面面平行的性质去判断.C.利用线面平行 和面面垂直的性质去判断.D.利用线面平行和面面平行的性质去判断. 【解答】解:A.若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β 或 l?β,所以 A 错误. B.若 l⊥α,α∥β,则必有 l⊥β,所以 B 正确. C.若 l∥α,α⊥β,则 l 与 β 的位置关系不确定,所以 C 不正确.
2 2 2

D.若 l∥α,α∥β,则 l∥β 或 l?β,所以 D 不正确. 故选 B. 【点评】本题考查了空间点线面之间的位置关系的判断,要求熟练掌握点线面之间平行和垂直的性质和判定定理.

5.设 p 是椭圆

上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(



A.4 B.5 C.8 D.10 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a,进而求得答案. 【解答】解:由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10, 故选 D. 【点评】本题主要考查了椭圆的性质,属基础题. 6.P 是边长为 a 的正三角 ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC=a,E、F 是 AB 和 PC 的中点,则异面直线 PA 与 EF 所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】过 F 做 FG∥PA,交 AC 于 G,则∠EFG 是 PA 与 EF 所成的角的平面角(或所成角的补角) ,由此利用余 弦定理能求出异面直线 PA 与 EF 所成的角. 【解答】解:如图,∵P 是边长为 a 的正三角 ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC=a,E、F 是 AB 和 PC 的中点, 在△ PEC 中,PE=CE= ∴PC 的中线 EF= = = ,PC=a, ,

过 F 做 FG∥PA,交 AC 于 G,则∠EFG 是 PA 与 EF 所成的角的平面角(或所成角的补角) , 连接 EG,在△ EFG 中,∵FG=
2 2 2

,EG=

,EF=



∴EG +FG =EF ,∴EG⊥FG,EG=FG, ∴∠EFG=45°,即异面直线 PA 与 EF 所成的角为 45°. 故选:B.

【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意余弦定理的合理运用.
2 2

7.在同一直角坐标系中,直线

=1 与圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 的位置关系是(



A.直线经过圆心 B.相 交但不经过圆心 C.相切 D.相离

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】求出圆心到直线的距离大于零且小于半径,可得直线和圆相交但不经过圆心. 【解答】解:圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0,即 (x+1) +(y﹣2) =9,表示以(﹣1,2)为圆心、半径等于 3 的 圆.
2 2 2 2

由于圆心到直线

= 1 的距离为

=2<3,

故直线和圆相交但不经过圆心, 故选:B. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.

8.过点(3,﹣2)且与椭圆

有相同焦点的椭圆方程为(



A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据已知椭圆的方程算出焦点为( ,0) ,再设所求椭圆方程为 (m>n>0) ,由焦点的坐

标和点(3,﹣2) 在椭圆上建立关于 m、n 的方程组,解之即可得到 m、n 的值,从而得到所求椭圆的方程. 【解答】解:∵椭圆的方程为 ∴a =9,b =4,可得 c=
2 2

=

,椭圆的焦点为(

,0)

设椭圆方程是

(m>n>0) ,则

,解之得

∴所求椭圆的方程为 故选:B 【点评】本题给出椭圆与已知椭圆有相同的焦点且经过点(3,﹣2) ,求椭圆的方程,着重考查了椭圆的标准方程 和简单几何性质等知识点,属于基础题. 9.直线 kx﹣y+k=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切,则实数 k 等于( A. B. C. D.
2 2



【考点】圆的切线方程 . 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.

【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系,即可得到结论. 【解答】解:因为直线 kx﹣y+k=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切, 所以圆心到直线的距离为 d= =1,
2 2

所以 k=

或﹣



故选:C. 【点评】本题考查直线与圆的位 置关系,考查计算能力. 10.曲线 x +y ﹣6x=0(y>0)与直线 y=k(x+2)有公共点的充要条件是( A. B. C. D.
2 2



【考点】直线与圆锥曲线的关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】曲线 x +y ﹣6x=0(y>0)是圆心在(3,0) ,半径为 3 的半圆,它与直线 y=k( x+2)有公共点的充要条 件是圆心(3,0)到直线 y=k(x+2)的距离 d≤3,且 k>0,由此能求出结果. 2 2 【解答】解:∵曲线 x +y ﹣6x=0(y>0) , 2 2 ∴(x﹣3) +y =9(y>0)为圆心在(3,0) ,半径为 3 的半圆, 它与直线 y=k(x+2)有公共点的充要条件是 圆心(3,0)到直线 y=k(x+2)的距离 d≤3,且 k>0, ∴ ,且 k>0,
2 2

解得 0<k≤ . 故选 C. 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用,解题时要认真 审题,注意点到直线的距离公式的灵活运用. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 π .

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】几何体是圆柱与圆锥的组合体,根据三视图判断圆锥与圆柱的底面半径及高,把数据代入棱柱的体积公式 计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是圆柱与圆锥的组合体, 圆锥与圆柱的底面直径都为 2,圆锥的高为 1,圆柱的高为 2,

∴几何体的体积 V=π×1 ×2+ ×π×1 ×1= π. 故答案为: π. 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键. 12.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的 大小是 90° .

2

2

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题. 【分析】以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出 与 夹角求出异面直线 A1M 与 DN 所

成的角. 【解答】解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为 2, 则 D(0,0,0) ,N(0,2,1) ,M(0,1,0) ,A1(2,0,2) , ? =0,所以 ⊥ =(0 ,2,1) , =(﹣2,1,﹣2)

,即 A1M⊥DN,异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 90°,

故答案为:90°.

【点评】本题考查空间异面 直线的夹角求解,采用了向量的方法.向量的方法能降低空间想象难度,但要注意有关 点,向量坐标的准确.否则容易由于计算失误而出错. 13.若直线 x+(1+m) y+2+m=0 与直线 2mx+4y+6=0 平行,则 m 的值为 ﹣2 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】计算题. 【分析】由两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 平行? .

(m≠0、n≠0、d≠0)解得即可. .

【解答】解:∵直线 x+(1+m) y+2+m=0 与 2mx+4y+6=0 平行 ∴ ∴m=﹣2 故答案为﹣2.

【点评】本题考查两直线平行的条件,解题过程中要注意两直线重合的情况,属于基础题. 14.以 A(﹣1,2) ,B(5,﹣6)为直径两端点的圆的标准方程是 (x﹣2) +(y+2) =25 . 【考点】圆的标准方程. 【专题】直线与圆. 【分析】 利用中点坐标公式即可得到 a,b.再利用两点间的距离公式可得圆的半径 r=|AC|,进而得到圆的标准方程. 【解答】解:设以 A(﹣1,2) ,B(5,﹣6)为直径两端点的圆的标准方程是(x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0) .
2 2 2 2 2


2 2

,解得 a=2,b=﹣2.∴圆心 C(2,﹣2) .
2 2

∴r =|AC| =(﹣1﹣2) +(2+2) =25. 2 2 故所求的圆的标准方程为(x﹣2) +(y+2) =25. 2 2 故答案为(x﹣2) +(y+2) =25. 【点评】本题考查了中点坐标公式、两点间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本方法,属于基础题.
2 2

15.已知动点 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)的距离之比为 ,则点 M 的轨迹方程是 (x﹣1) +y =4 . 【考点】轨迹方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设出 M 的坐标,直接由 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)的距离之比为 列式整理得方程. 【解答】解:设 M(x,y) ,由点 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)的距离之比为 ,得
2 2

,整理得: (x+1) +y =4. ∴点 M 的轨迹方程是(x+1) +y =4. 2 2 故答案为: (x+1) +y =4. 【点评】本题考查了轨迹方程的求法,考查了两点间的距离公式,是中低档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 55 分) 2 2 16.如图,圆 x +y =8 内有一点 P(﹣1,2) ,AB 为过点 P 的弦. (1)当弦 AB 的倾斜角为 135°时,求 AB 所在的直线方程及|AB|; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 AB 的方程.
2 2

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)由倾斜角可得斜率为﹣1,然后根据过点 P,写成点斜式,然后化成一般式即可.先求出圆心到直线 AB 的距离 d,然后根据|A B|= 求值即可.

(2)根据 OP⊥AB 可求出 AB 的斜率,然后根据过点 P,写出点斜式,转化为一般式方程即可.

【解答】解: (1)依题意直线 AB 的斜率为﹣1,直线 AB 的方程为:y﹣2=﹣(x+1) ,即 x+y﹣1=0; 圆心 0(0,0)到直线 AB 的距离为 d= ,∴|AB|=2 = ;

(2)当弦 AB 被点 P 平分时,OP⊥AB,故 AB 的斜率为 ,根据点斜式方程直线 AB 的方程为 x﹣2y+5=0. 【点评】本题考查用点斜式求直线方程,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,求出圆心 0(0,0)到直线 AB 的距离为 d,是解题的关键. 17.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:AC⊥平面 PDB (2)当 PD= AB=2,设 E 为 PB 的中点,求 AE 与平面 ABCD 所成角.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【专题】整体思想;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)根据题意证明 AC⊥BD,PD⊥AC,可得 AC⊥平面 PDB; (2)根据直线和平面所成角的定义找出直线和平面所成的角,即可得到结论. 【解答】 (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵PD⊥底面 ABCD,AC?底面 ABCD, ∴PD⊥AC, 又 BD∩PD=D, ∴AC⊥平面 PDB, (3 分) (2)解:设 AC∩BD=O,连接 OE,由(1)知 AC⊥平面 PDB 于 O, 又 O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE∥PD,OE= PD= ,

∵PD⊥底面 ABCD, ∴OE⊥底面 ABCD, 则∴∠EAO 为 AE 与平面 ABCD 所的角, ∵PD= AB=2, ∴PD=2,AB= , 在 Rt△ AOE 中,OE= ,

∵AB= , ∴A0=1, ∵AB=AO, ∴∠AEO=45°, (7 分) 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45°.

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理 论证能力,属于中档题. 18.如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点, (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若∠PDA=45°,求证:平面 BMN⊥平面 PCD.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;综合题. 【分析】 (1)取 PD 的中点 E,连接 AE、EN,根据三角形中位线的性质,我们可得四边形 AMNE 为平行四边形, 即 MN∥AE,进而根据线面平行的判定定理得到 MN∥平面 PAD. (2)由已知中 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,根据线面垂直的性质及矩形的性质,可得 PA⊥AB,AD⊥AB,由线 面垂直的判定定理得 AB⊥平面 PAD,结合线面垂直的判定定理及性质,即可得到 MN⊥CD; (3)由已知中 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,∠PDA=45°,E 是 PD 的中点,可得 MN⊥PD,MN⊥CD,由线面 线面垂直的判定定理得 MN⊥平面 PCD,再由面面垂直的判定定理可得面 BMN⊥平面 PCD. 【解答】证明: (1)如图所示,取 PD 的中点 E,连接 AE、EN, 则有 EN= = =AM,EN∥CD∥AB∥AM,
[来源:学_科_网]

故 AMNE 是平行四边形, ∴MN∥AE, ∵AE?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AB,又 AD⊥AB, ∴AB⊥平面 PAD, ∴AB⊥AE,即 AB⊥MN, 又 CD∥AB, ∴MN⊥CD. (3)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,E 是 PD 的中点, ∴AE⊥PD,即 MN⊥PD, 又 MN⊥CD, ∴MN⊥平面 PCD, ∵MN?平面 BMN ∴平面 BMN⊥平面 PCD.
[来源:Zxxk.Com]

【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,熟练掌握空间直线与平面平行及垂 直的判定和性质是解答本题的关键. 19.由圆 x +y =9 外一点 P(5,12)引圆的割线交圆于 A、B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】设出弦 AB 中点坐标为(x,y) ,利用斜率关系可得方程,与圆 O 方程联立,可得范围. 【解答】解:设弦 AB 的中点 M 的坐标为 M(x,y) ,连接 OP、OM,则 OM⊥AB, 2 2 2 2 在△ OMP 中,由两点间的距离公式和勾股定理有 x +y +(x﹣5) +(y﹣12) =169. 2 2 整理,得 x +y ﹣5x﹣12y=0.其中﹣3≤x≤3. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程,考查学生的计算能力,属于中档题. 20.已知点 P 的轨迹方程为(x+1) +(y﹣2) =1,直线 l 与点 P 的轨迹相切,且 l 在 x 轴. y 轴上的截距相等, (1)若截距均为 0,是否存在这样的直线,若存在,求直线 l 的方程. (2)若截距不为 0,是否存在这样的直线,若存在,求直线 l 的方程. 【考点】圆的标准方程. 【专题】综合题;方程思想;综合法;直线与圆.
2 2 2 2

【 分析】 (1)设 P 点坐标为(x,y) ,N 点坐标为(x0,y0) ,则由中点坐标公式有



用未知点表示已知点,代入已知关系式中得到结论. (2)因直线 l 在 x 轴、y 轴上截距相等,故 l 的斜率存在且不为 0,当直线 l 在 x 轴、y 轴截距都为 0 时,设直线 l 的方程为:y=kx,并结合线圆相切得到斜率 k 的值,进而得到结论.
[来源:学§科§网]

【解答】解: (1)设 P 点坐标为(x,y) ,N 点坐标为(x0,y0) ,

则由中点坐标公式有

∵N 点在圆 x +y =4 上,

2

2

即为点 P 的轨迹方程…6 分 (2)因直线 l 在 x 轴、y 轴上截距相等,故 l 的斜率存在且不为 0, 当直线 l 在 x 轴、y 轴截距都为 0 时,设直线 l 的方程为:y=kx,即 kx﹣y=0 ∵直线 l 与(x+1) +(y﹣2) =1 相切,∴
2 2

…9 分

当 l 在 x 轴、y 轴上的截距均不为 0 时,设直线 l 的方程为 ∵直线 l 与(x+1) +(y﹣2) =1 相切,∴ 故直线 l 的方程为 综上可知 l 的方程为: 或
2 2

,即 x+y﹣a=0 ,

或 或 …12 分 【点评】本试题主要是考查了利用相关点法求解轨迹方程,以及利用直线与圆相切,确定参数的值,并利用直线在 两坐标轴上截距相等得到直线的方程.


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