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3含绝对值的不等式



高中数学总复习

含绝对值的不等式
【知识要点】绝对值在高中数学中有很重要的应用,在向量、复数、甚至极限的定义中都有 应用。在选修中近几年考试都以绝对值不等式的形式作为选修 4-5 的考察。
1. 绝对值的定义和性质: 设a ? R则 a ? ?

例 2:已知集合 A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求 A. 分析 转化为解绝对值不等式. 解: ∵2<|6-2x|<5 可化为 2<|2x-6|<5

? a, a ? 0 ?? a, a ? 0

?-5< 2x- 6<5, ?1< 2x<11, 即? 即? ?2x- 6> 2 或 2x- 6<- 2 , ?2x>8或 2x< 4 ,
解之得 4 <x< 11 1 或 <x< 2 . 因为 x∈N,所以 A={0,1,5}. 2 2

?1? a ? 0?当且仅当a ? 0取"?"? ; ?3? ? a ? a ? a
?5? ?a ? a , a ? b ? b ? a
2.绝对值的运算性质

?2? a ? ?a
? 4? a
2

? a

例 3:解关于 x 的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R) 分析 分类讨论.

1 解 若 2m-1≤ 0即m≤ ,则|2x-1| < 2m-1恒不成立,此时原不等 式的解集为?; 2 1 若 2m-1> 0即m> ,则- (2m-1) < 2x-1< 2m-1,所以1-m< x<m. 2

?1? a ? b ? a ? b ? a ? b (注意不等式成立的条件) ?2? a ? b ? a ? b ? a ? b (注意不等式成立的条件)
以上两条运算性质强调一个“凑”

1 综上所述得:当m≤ 时原不等式解集为?; 2 1 当m> 时,原不等式的解集为 2
{x|1-m<x<m}. 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准. 例 4:解不等式|6-|2x+1||>1. 分析 以通过变形化简,把该不等式化归为|ax+b|<c 或|ax+b|>c 型的不等式来解. 解 事实上原不等式可化为 6-|2x+1|>1① 或 6-|2x+1|<-1② 由①得|2x+1|<5,解之得-3<x<2;由②得|2x+1|>7,解之得 x>3 或 x<-4. 从而得到原不等式的解集为{x|x<-4 或-3<x<2 或 x>3}. 说明:本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论. 例 5:解不等式|x+1|>2-x. 分析一 对 2-x 的取值分类讨论解之. 解法一 原不等式等价于: ① ?

?3? a ? b ? a ? b ;
?1?设a ? 0, x ? R则

?4 ? a
b

?

a b

3. 解绝对值不等式的基本思想:去绝对值符号;具体方法有:

x ? a ? ?a ? x ? a ,

x ? a ? x ? ?a或x ? a

一般地: f ? x ? ? g ? x ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?

f ?x? ? g?x? ? f ?x? ? g?x?或f ?x? ? ?g?x?
(2) f ? x ? ? g ? x ? ? f 2 ? x ? ? g 2 ? x ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? 0
(3)分段去绝对值,找出零点,分段求解。 (4)数形结合.(两种图形,可以以 x ?1 ? x ? 2 范围为例)

?2 -x≥ 0

?2 -x< 0 或 ②? ?x+1> 2 -x或x+1<x- 2 ?x∈R

【典型问题】
【一】解含绝对值的不等式 例 1:不等式|8-3x|>0 的解集是( C A. ? B. R )

?x≤2 ?x≤2 ? ? 由②得 x>2. 由①得 ? 即? 1 1 1 x> 或1<-2 ?x> ,所以 <x≤2 ; ? 2 2 2 ? ?

C. ? x x ? ?

? ?

8? 3?

D. ? ?

?8 ? ?3?

1 1 综合①②得x> .所以不等式的解集为{x|x> }. 2 2
分析二 利用绝对值的定义对|x+1|进行分类讨论解之.

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? x+1,x≥-1 解法二 因为 |x+1| = ? ?-x-1,x<-1
原不等式等价于: ① ?

【二】绝对值不等式求最值 例 1:(2006 江苏) 设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立 的是( C ) .... A. | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | C. | a ? b | ? B. a 2 ?

1 a
2

?x ? 1≥ 0

?x ? 1< 0 或② ? ?x ? 1> 2 ? x ?? x ? 1> 2 ? x

?a?

1 a

1 ?2 a?b

D. a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a

?x≥ ? 1 ?x<-1 1 ? 即x∈?. 由①得 ? 1 即x> ; 由②得 ? 2 x> ?-1> 2 ? 2 ?
1 所以不等式的解集为{x|x> }. 2
例 6:解不等式|x-5|-|2x+3|<1.

例 2:若关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 有解,则实数 a 的取值范围是________. a ? 3 例 3:若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为( A | a | ?2 | b |
D.



3 所以我们可以通过- ,5将x轴分成三段分别讨论. 2

A.

2 4

B.

2 2

C.

5 5

2 5 15

例 4:已知 x ? a ?

? ? ,0 ? y ? b ? , y ? (0, M ) ,求证 xy ? ab ? ? . 2M 2a

分析:根据条件凑 x ? a, y ? b .

3 解 当x≤- 时,x-5< 0, 2x+ 3≤ 0所以不等式转化为 -(x-5)+(2x+3)<1,得 x<-7, 2 3 所以 x<-7; 当- <x≤5时,同理不等式化为 -(x-5)-(2x+3)<1, 2 1 1 解之得x> ,所以 <x≤5; 当 x>5 时,原不等式可化为 x-5-(2x+3)<1, 3 3 1 解之得 x>-9,所以 x>5. 综上所述得原不等式的解集为{x|x> 或x<- 7}. 3
说明:在含有绝对值的不等式中,“去绝对值”是基本策略. 例 7:解不等式|2x-1|>|2x-3|. 解 原不等式同解于(2x-1)2>(2x-3)2,即 4x2-4x+1>4x2-12x+9,即 8x>8,得 x>1. 所以原不等式的解集为{x|x>1}. 说明:本题中,如果把 2x 当作数轴上的动坐标,则|2x-1|>|2x-3|表示 2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离,则 2x 应当在 2 的右边,从而 2x>2 即 x>1.

证明: xy ? ab ? xy ? ya ? ya ? ab

? y( x ? a) ? a( y ? b) ? y x ? a ? a ? y ? b ? M ?

? ? ?a? ??. 2M 2a

说明:这是为学习极限证明作的准备,要习惯用凑的方法. 例 5:若 x ? a ? h, y ? a ? h, 则下列不等式一定成立的是(B ) A. x ? y ? h B. x ? y ? 2h C. x ? y ? h D. x ? y ? 2h

【三】含绝对值的不等式证明 例 1:已知 f ( x) ? x ? px ? q ,求证:
2

(1) | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 中至少有一个不小于

1 。 2

(2) 若 x ? [?1,1] 时, | f ( x) |? 1 ,求证:|p|≤1. 【分析】由于题(1)的结论是:三个函数值中“至少有一个不小于

1 ” ,情况较复杂,会出现多个异向不 2

等式组成的不等式组,一一证明十分繁冗,而结论的反面构成三个同向不等式,结构简单,故 采用反证法为宜。

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证明(1)(反证法)假设 | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 都小于

1 ,则 | f (1) | ?2 | f (2) | ? | f (3) |? 2 , 2

思维点拨:证明含绝对值不等式常用定理策略: a ? b ? a ? b ? a ? b

而 | f (1) | ?2 | f (2) | ? | f (3) |?| f (1) ? f (3) ? 2 f (2) |

例 4:求证

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b



?| (1 ? p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? (8 ? 4 p ? 2q) |? 2 ,相互矛盾
∴ | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 中至少有一个不小于

1 。 2

分析:本题的证法很多,下面给出一种证法:比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同,使我们联 想利用构造函数的方法,再用单调性去证明. 证明:设 f ( x) ?

(2)由已知得 | f (?1) |?|1 ? p ? q |? 1 , | f (1) |?|1 ? p ? q |? 1 ∴ | 2 p |?| f (1) ? f (?1) |?| f (1) | ? | f (?1) |? 2 ∴ | p |? 1 例 2:已知 x ? 1, y ? 1, 求证 :

x 1 ? x ?1 1 . ? ?1? 1? x 1? x 1? x

定义域为{ x x ? R ,且 x ? ?1 } , f ( x) 分别在区间 (?? , ? 1) ,区间 (?1 , ? ?) 上是增函数.

?1 ? x ??1 ? y ? ? 1
2 2

又 0 ? a ? b ? a ? b ,∴ f ( a ? b ) ? f ( a ? b ) 即

a?b 1? a ? b

?

a?b 1? a ? b

1 ? xy
2

证:? x ? 1, y ? 1 ,欲证

?1 ? x ??1 ? y ? ? 1 ,只需证 ?1 ? x ??1 ? y ? ? 1 ? xy 1 ? xy
2
2 2

?
2

a 1? a ? b

?

b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

∴原不等式成立.

说明:在利用放缩法时常常会产生如下错误: ∵ a ? b ? a ? b ,1 ? a ? b ? 0 ,

即证 1 ? x 2 ? y 2 ? x 2 y 2 ? 1 ? 2 xy ? x 2 y 2 ,即证 x 2 ? y 2 ? 2 xy 此为显然,所以原不等式成立。 思维点拨:含绝对值不等式证明常用分析法。 例 3:已知二次函数 f ?x? ? ax ? bx ? c?a, b, c ? R? ,若 f ?? 1? ? 1, f ?0? ? 1, f ?1? ? 1
2

?

?



a?b a b a b a?b . ? ? ? ? ? 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1? a 1? b

证明: 当 x ? 1时, f ? x ? ?

37 12

错误在不能保证 1 ? a ? b ? 1 ? a ,1 ? a ? b ? 1 ? b .绝对值不等式 a ? b ? a ? b 在运用放缩法证明 不等式时有非常重要的作用,其形式转化比较灵活.放缩要适度,要根据题目的要求,及时调整放 缩的形式结构.

证明:由 f ?? 1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c, f ?1? ? a ? b ? c 可得

a?

1 1 1 1 f ?1? ? f ?? 1? ? f ?0?, b ? f ?1? ? f ?? 1?, c ? f ?0? 2 2 2 2

【实战训练】
一、解不等式
2 1.解不等式 x ? 9 ? x ? 3

? f ?x ? ? [

1 1 1 1 f ?1? ? f ?? 1? ? f ?0 ?]x 2 ? [ f ?1? ? f ?? 1?]x ? f ?0 ? 2 2 2 2 1 1 ? x? x ? 1? f ?? 1? ? x? x ? 1? f ?1? ? 1 ? x 2 f ?0 ? 2 2

?

?

解:法一:原不等式 ? ?

? x2 ? 9 ? 0 ? x2 ? 9 ? 0 ①或 ② ? 2 2 ?9 ? x ? x ? 3 ?x ? 9 ? x ? 3

? f ?x ? ?

1 x?x ? 1? f ?? 1? ? 2

1 x? x ? 1? f ?1? ? 1 ? x 2 f ?0? 2

?

?

由①解得 x ? ?3或3 ? x ? 4 ,由②解得 2 ? x ? 3 ∴原不等式的解集是 x 2 ? x ? 4或x ? ?3 法二:原等式等价于 ? ( x ? 3) ? x 2 ? 9 ? x ? 3 ? ?

?

?

又? f ?? 1? ? 1, f ?0? ? 1, f ?1? ? 1, x ? 1

1 1 1 ? 37 37 ? ? f ?x ? ? x ?x ? 1? ? x ?x ? 1? ? 3 1 ? x 2 ? ?3x 2 ? x ? 3 ? ?3? x ? ? ? ? 2 2 6 ? 12 12 ?

?

?

2

? x ? ?3或x ? 2 ? x ? ?3或2 ? x ? 4 ? ?3? x ? 4
y 9

∴原不等式的解集是 x 2 ? x ? 4或x ? ?3

?

?

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2 3 x ? ?3) ,由 x 2 ? 9 ? x ? 3 法三:设 y1 ? x ? 9 , y 2 ? x ? (

x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 .∴ x ? 6 ,故

3 ? x?6. 2

解得 x1 ? 4, x2 ? ?3, x3 ? 2 ,在同一坐标系下作出它们 的图象,由图得使 y1 ? y2 的 x 的范围是 x ? ?3或3 ? x ? 4 , ∴原不等式的解集是 x 2 ? x ? 4或x ? ?3

综上,原不等式的解为 x 0 ? x ? 6 . 说明:要注意找零点去绝对值符号最好画数轴,零点分段,然后从左向右逐段讨论,这样做条理分明、 不重不漏.

?

?

?

?

【思维点拨】数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。
2 2.解不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? 5

?x ? 0 ? 5.不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是( ?3 ? x ? 2 ? x ?
A. x 0 ? x ? 2

) .

解:原不等式 ? ?

x ? ?3 ? 2 ? x ? ?2 x?2 ? ? 3 ? x ? ?2 ? ? ? 2 ? ? 2 2 ? x ? 4 ? ?x ? 3? ? 5? x ? 4 ? ?x ? 3? ? 5?? ( x ? 4) ? ?x ? 3? ? 5?? ( x ? 4) ? ?x ? 3? ? 5 ?
2

?

?

B. x 0 ? x ? 2.5

?

?

C. x 0 ? x ? 6

?

?

D. x 0 ? x ? 3

?

?

分析:本题是考查含有绝对值不等式的解法,由

? x ? ?3或 ? 1 ? x ? 2或x ? 2 所以原不等式解集为 ?? ?,?3? ? ?? 1,2? ? ?2,???

3? x 2? x 3? x ? ,知 ? 0 ,∴ ? 3 ? x ? 3 ,又 x ? 0 , 3? x 2? x 3? x

1 1 3.解不等式 2 ? . x ?2 x
解: ?? ?,?2? ? ? 2 ,0 ? 0 2 ? ?2,??? 4.解不等式 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 2

∴ 0 ? x ? 3 ,解原不等式组实为解不等式

3? x 2? x ? (0 ? x ? 3 ) . 3? x 2? x

?

? ? ?

解法一:不等式两边平方得: (3 ? x) 2 (2 ? x) 2 ? (3 ? x) 2 (2 ? x) 2 . ∴ ( x 2 ? x ? 6) 2 ? ( x 2 ? x ? 6) 2 ,即 ( x 2 ? x ? 6 ? x 2 ? x ? 6)( x 2 ? x ? 6 ? x 2 ? x ? 6) ? 0 ,

?a(a ? 0) 分析:解含有绝对值的不等式,通常是利用绝对值概念 a ? ? ,将不等式中的绝对符号去掉, ?? a(a ? 0)
转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组) ,再去求解.去绝对值符号的关键是找零点(使绝对 值等于零的那个数所对应的点) ,将数轴分成若干段,然后从左向右逐段讨论. 解:令 x ? 1 ? 0 ,∴ x ? ?1 ,令 2 x ? 3 ? 0 ,∴ x ? 如图所示. (1)当 x ? ?1 时原不等式化为 ? ( x ? 1) ? ?(2 x ? 3) ? 2 ∴ x ? 2 与条件矛盾,无解.

?x 2 ? 6 ? 0 ∴ x(6 ? x 2 ) ? 0 ,又 0 ? x ? 3 .∴ ? ?0 ? x ? 3
解法二:∵ x ? 0 ,∴可分成两种情况讨论:

∴ 0 ? x ? 6 .选 C.

3 , 2

3? x 2? x (0 ? x ? 2 ) .解得 0 ? x ? 2 . ? 3? x 2? x 3? x x ? 2 (2)当 x ? 2 时,不等式组可化为 (x?2) ,解得 2 ? x ? 6 . ? 3? x 2? x
(1)当 0 ? x ? 2 时,不等式组化为 综合(1)、(2)得,原不等式组的解为 0 ? x ? 6 ,选 C. 说明:本题是在 x ? 0 的条件下,解一个含绝对值的分式不等式,如何去绝对值是本题的关键所在,必须 注意,只有在保证两边均为非负数时,才能将不等式两边同时平方.另一种方法则是分区间讨论, 从而去掉绝对值符号.当然本题还可用特殊值排除法求解. 6.解关于 x 的不等式 x x ? a ? 解:当 x≥a 时,不等式可化为

3 时,原不等式化为 x ? 1 ? ?(2 x ? 3) ? 2 . 2 3 ∴ x ? 0 ,故 0 ? x ? . 2 3 (3)当 x ? 时,原不等式化为 2
(2)当 ? 1 ? x ?

2a 2 ?a ? 0? 9

3 ? 17 ?x ? a ?x ? a ?a ? x ? a ?9 x x ? a ? 2a 2 即 ? 2 2 ? b ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0 ? ?

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当 x<a 时,不等式可化为

a 2a ?x ? a ?x ? a ?x ? 或 ? x?a。 ? 2 即? 2 2 3 3 ?9 x( a ? x ) ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0 a 2a 3 ? 17 故不等式的解集为(??, ] ? [ , a] 3 3 6
7.设 a ? 0, a ? 1 ,解关于 x 的不等式
x

以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为 a ? 1 .

解法二:设数 x ,3,4 在数轴上对应的点分别为 P,A,B,如图,由绝对值的几何定义,原不等式

log a (ax 2 ) ? log a x ? 2

PA ? PB ? a 的意义是 P 到 A、B 的距离之和小于 a .
因为 AB ? 1 ,故数轴上任一点到 A、B 距离之和大于(等于 1) ,即 x ? 4 ? x ? 3 ? 1 ,故 当 a ? 1 时, x ? 4 ? x ? 3 ? a 有解.
2 4.已知适合不等式 x ? 4 x ? p ? x ? 3 ? 5 的 x 的最大值为 3,求 p 的值。

解:设 loga ? t 则原不等式化为 1 ? 2t ? t ? 2

1 1 时, ? 1 ? 2t ? t ? 2, t ? ?3 所以 ? 3 ? t ? ? 2 2 1 1 1 ②当 ? ? t ? 0 时, 1 ? 2t ? t ? 2, t ? , 所以 ? ? t ? 0 3 2 2
①当 t ? ? ③当 t ? 0 时, 1 ? 2t ? t ? 2, t ? 1 所以 0 ? t ? 1 综上所述: ? 3 ? t ? 1 即 ? 3 ? loga ? 1 ⑴当 a ? 1 时,由 ? 3 ? log a ? 1 得
x
x

错解:对此不等式无法进行等价转化,不理解“x 的最大值为 3”的含义。
2 正解:因为 x 的最大值为 3,故 x-3<0,原不等式等价于 x ? 4 x ? p ? ( x ? 3) ? 5 ,

1 1 x ? x ? a, (2)当 0 ? a ? 1 时,由 ? 3 ? loga ? 1 得 a ? x ? 3 . 3 a a

即 ? x ? 2 ? x2 ? 4x ? p ? x ? 2 ,则 {

x 2 ? 5x ? p ? 2 ? 0(1) , x 2 ? 3x ? p ? 2 ? 0(2)

1? ? 1 ? ? 所以,当 a ? 1 时,原不等式的解集是 ? x | 3 ? x ? a ? 当 a ? 1 时,原不等式的解集是 ? x | a ? x ? 3 ? ? a ? ? a ?
二、性质应用 1.设 x, y ? R, 则使 x ? y ? 1成立的充分不必要条件是( A )

设(1) (2)的根分别为 x1、x2 ( x2 ? x1 ), x3、x4 ( x4 ? x3 ) ,则 x2 ? 3或x4 ? 3 若 x2 ? 3 ,则 9-15+p-2=0,p=8;若 x4 ? 3 ,则 9-9+p+2=0,p=-2 当 p=-2 时,原方程组无解,则 p=8 5.当 0 ? x ? 1 时, ax ?

x ? y ?1

B

1 1 x ? 或y ? 2 2

C

x ?1

D

x<-1

1 3 x ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 2

。[ ?

1 3 , ] 2 2

错解:选 B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清,正确答案为 D。 2.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R) ,给出下列不等式:①a<-b-c;②a>-b+c;③a<b-c; ④|a|<|b|-c; ⑤|a|<-|b|-c.其中一定成立的不等式是___①②④___. (把成立的不等式的序号都填上) 3.使不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 有解的 a 的取值范围为______ a ? 1 分析:此题若用讨论法,可以求解,但过程较繁;用绝对值的几何意义去求解十分简便. 解法一:将数轴分为 ?? ?,3?,[3,4],(4,??) 三个区间 当 x ? 3 时,原不等式变为 (4 ? x) ? (3 ? x) ? a, x ?

6. 关于 x 的不等式:2-x2>|x-a|至少有一个负数解,则 a 的取值范围是 (-
【解析】 (数形结合)画出 y1=2-x2,y2=|x-a|的图象. 由?

9 ,2) . 4

?y ? 2 ? x2 ? x2 ? x ? a ? 2 ? 0 . y ? x ? a ?

由 Δ=1+4(a+2)=0 ? a=-

9 . 4
9 ,2). 4
2

7?a 7?a ? 3 ,即 a ? 1 ; 有解的条件为 2 2

由图形易得:a<2. ∴a∈(-

当 3 ? x ? 4 时,得 (4 ? x) ? ( x ? 3) ? a ,即 a ? 1 ; 当 x ? 4 时,得 ( x ? 4) ? ( x ? 3) ? a ,即 x ?

7. (2009 重庆卷理) 不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 ( A. (??, ?1] [4, ??) B. (??, ?2] [5, ??) C. [1, 2] D. (??,1] [2, ??)



a?7 a?7 ? 4 ∴ a ? 1. ,有解的条件为 2 2

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

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【 解 析 】 因 为 ?4 ? x

? 3 x ? 1?对4 ?x

任? 意 x 恒 成 立 , 所 以 3 ? x ?2 1 ? a 对 ? a 3

a2 ? 3a ? 4即a2 ? 3a ? 0,解得a ? 4或a ? ?1
8. (2009 山东卷理)不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 .
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

∴| f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|. (3)不妨设 x2>x1,由(2)知 | f(x2)-f(x1)|<x2-x1. ① 而由 f(0)=f(1) ,从而 | f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)| ≤| f(x2)-f(1)|+| f(0)-f(x1)|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1. ①+②得 2| f(x2)-f(x1)|<1,即| f(x2)-f(x1)|< (4)|f(x2)-f(x1)|≤fmax-fmin=f(0)-f(



1 ? x?2 ?x?2 ? ? 【解析】:原不等式等价于不等式组① ? 或② ? 2 ?2 x ? 1 ? ( x ? 2) ? 0 ? ?2 x ? 1 ? ( x ? 2) ? 0 1 ? x? 1 1 ? 或③ ? 不等式组①无解,由②得 ? x ? 1 ,由③得 ?1 ? x ? , 2 2 2 ? ??(2 x ? 1) ? ( x ? 2) ? 0
综上得 ?1 ? x ? 1 ,所以原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} . 答案: {x | ?1 ? x ? 1}

1 . 2

1 1 )= . 2 4

2.求证

a 2 ? b2 a

?a?b

分析:使用分析法 证明 ∵ a ? 0 ,∴只需证明 a ? b ? a ? a b ,两边同除 b ,即只需证明
2 2 2
2

a 2 ? b2 b

2

?

a b

2 2

?

1 ? ab? 10..求实数 ? 的取值范围,使不等式 ? 1 对满足 a ? 1 , b ? 1 的一切实数 a,b 恒成立。 a? ? b

a a 2 a 2 a ,即 ( ) ? 1 ? ( ) ? b b b b

1 ? ab? 2 2 ? 1 ? 1 ? ab? ? a? ? b ? 1 ? a 2 b 2 ?2 ? a 2 ?2 ? b 2 简解: a? ? b

a a a a a ? 1 时, ( ) 2 ? 1 ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) 2 ? ; b b b b b a ? 1 时, a ? b ? 0 ,原不等式显然成立.∴原不等式成立. b
2 2

?? ? ? b ? 1, ?1 ? a ? ??1 ? b ? ? 0 ? 1 ? a ?
? 1? a ? 1? b ? 0
2 2 2
2 2 2 2

?



2

? 0 ? ?2 ?

1 (恒) a2

说明:在绝对值不等式的证明,常用分析法.本例也可以一开始就用定理:

由 a ? 1, 得

1 ? 1? ?2 ? 1,? ?1 ? ? ? 1 2 a

a 2 ? b2 a

a ?b b ? ? a ? ?b a a

三、证明与解答 1.已知 f(x)=x2-x+c 定义在区间[0,1]上,x1、x2∈[0,1] ,且 x1≠x2,求证: (1)f(0)=f(1) ; (2)| f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;

(1)如果

a ? 1 ,则 a ? b ? 0 ,原不等式显然成立. b b b b ? 1 ,则 ? ? ? b ,利用不等式的传递性知 a ? , b ? a ? b ,∴原不等式成立. a a a
(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 与 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 (a ? R ) 的解集依次为 A 与 ? 2 2

1 (3)| f(x1)-f(x2)|< ; 2 1 . 4 证明: (1)f(0)=c,f(1)=c,∴f(0)=f(1). (2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|. ∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0<x1+x2<2(x1≠x2). ∴-1<x1+x2-1<1.
(4)| f(x1)-f(x2)|≤

(2)如果

3. 关于实数 x 的不等式 x ?

B ,求使 A ? B 的 a 的取值范围. 分析:分别求出集合 A 、 B ,然后再分类讨论.

高中数学总复习

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 (a ? 1) 2 (a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ? x? ? 解:解不等式 x ? ,? , ? 2 2 2 2 2
∴ A ? x 2a ? x ? a 2 ? 1 , a ? R .解不等式 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 , [ x ? (3a ? 1)]( x ? 2) ? 0 .

是一个较为典型的综合题目. 如果将本题中的正弦改为余 n 个变量的绝对值不等式问题连在一起, 弦,不等式同样成立. 5.已知 f ( x) ? x 2 ? x ? 13 , x ? a ? 1 ,求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) 分析:本题中给定函数 f ( x) 和条件 x ? a ? 1 ,注意到要证的式子右边不含 x ,因此对条件 x ? a ? 1 的使

?

?

当a ?

? 1? 1 时(即 3a ? 1 ? 2 时) ,得 B ? ? x 2 ? x ? 3a ? 1 , a ? ? . 3? 3 ? ? 1? 1 时(即 3a ? 1 ? 2 时) ,得 B ? ? x 3a ? 1 ? x ? 2 , a ? ? . 3? 3 ?

用可有几种选择: (1) 直接用; (2) 打开绝对值用 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,替出 x ; (3) 用绝对值的性质

x ? a ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1进行替换.
证明:∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 13 ,∴ f (a) ? a 2 ? a ? 13 ,∵ x ? a ? 1 ,∴ x ? a ? x ? a ? 1 . ∴ x ? a ? 1 ,∴ f ( x) ? f (a ) ? x 2 ? a 2 ? a ? x

当a?

当a ?

?2a ? 2, 1 时,要满足 A ? B ,必须 ? 2 故1 ? a ? 3 ; 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1,
?a ? ?1, ? ?? 1 ? a ? 1,

? ( x ? a)( x ? a) ? ( x ? a) ? ( x ? a)( x ? a ? 1) ? x ? a ? x ? a ?1 ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ? a ? 1 ? a ? 1 ? 2( a ? 1) ,
即 f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) . 说明:这是绝对值和函数的综合题,这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运 用.分析中对条件 x ? a ? 1 使用时出现的三种可能是经常碰到的,要结合求证,灵活选用. 6.设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 , 且 b ? 0 ), 已知 b ? a , f (0) ? 1 , f (?1) ? 1 , f (1) ? 1 , 当 x ?1

?2a ? 3a ? 1, 1 当 a ? 时,要满足 A ? B ,必须 ? 2 3 ?2 ? a ? 1;

∴ a ? ?1 .所以 a 的取值范围是 a ? R a ? ?1 或1 ? a ? 3 . 说明:在求满足条件 A ? B 的 a 时,要注意关于 a 的不等式组中有没有等号,否则会导致误解.

?

?

sin a sin 2a sin 3a sin na ? ? ??? 4. 已知数列通项公式 an ? 对于正整数 m 、 n ,当 m ? n 时,求证: 2 3 2 2 2 2n 1 am ? an ? n . 2 分析:已知数列的通项公式是数列的前 n 项和,它的任意两项差还是某个数列的和,再利用不等式

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ,问题便可解决.
证明:∵ m ? n ∴ am ? an ?

sin(n ? 1)a sin(n ? 2)a sin ma ? ??? n ?1 n?2 2 2 2m

时,证明 f ( x) ?

5 . 4

1 1 (1 ? m ? n ) n ?1 1 1 1 sin(n ? 1)a sin(n ? 2)a sin ma 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? m ? 2 ? ? ??? 1 2 2 2 2 n ?1 2n?2 2m 1? 2
1 1 1 1 (1 ? m ? n ) ? n (0 ? 1 ? m ? n ? 1) . n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 说明: n ?1 ? n ? 2 ? ? ? m 是以 n ?1 为首项,以 为公比,共有 m ? n 项的等比数列的和,误认为共有 2 2 2 2 2 m ? n ? 1 项是常见错误. ?
正余弦函数的值域,即 sin ? ? 1 , cos ? ? 1 ,是解本题的关键.本题把不等式、三角函数、数列、

分析:从 a ? 0 知,二次函数的图像是开口向上的抛物线;从 x ? 1 且 f (?1) ? 1 , f (1) ? 1 知,要求证的 是 f ( x) ?

5 ,所以抛物线的顶点一定在 x 轴下方,取绝对值后,图像翻到 x 轴上方.因此抛物线 4

的顶点的取值非常重要,也是解这道题的关键所在. 证明:∵ 2b ? (a ? b ? c) ? (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? f (1) ? f (?1) ? 1 ? 1 ? 2 , ∴ b ? 1. 又∵ b ? a , ∴

b 4ac ? b 2 b2 b b 1 ?c? ? 1. ? ?1. ∴? 又 c ? f (0) ? 1 , f (? ) ? , 2a 4a 4a a 2a 2

高中数学总复习

1 b 1 5 b b2 b2 ? c ? ? ? b ? 1 ? ?1 ?1 ? . ∴ f (? ) ? c ? ?c? 4 a 4 4 2a 4a 4a
而 f ( x) 的图像为开口向上的抛物线,且 x ? 1 , ? 1 ? x ? 1 , ∴ f ( x) 的最大值应在 x ? 1 , x ? ?1 或 x ? ? ∵ f (1) ? 1 , f (?1) ? 1 , f ( ?

?

a 2 ? b2 a ? b ( a 2 ? 1 ? b2 ? 1)

?

a?b a 2 ? 1 ? b2 ? 1

?

a?b a?b

? 1? a ? b ?

? f (a) ? f (b) ? a ? b 成立.
分析2 : 直接把f (a) ? a 2 ? 1, f (b) ? b 2 ? 1代入 f (a) ? f (b) , 进行分子有理化,也易得证.

b 处取得. 2a

b 5 5 ) ? ,∴ f ( x) ? . 2a 4 4

证法二 : f (a) ? f (b) ?

a ?1 ? b ?1 ?
2 2

?a

2

? 1? ? ? b2 ? 1?

a 2 ? 1 ? b2 ? 1

?

a 2 ? b2 a?b

?

? a ? b ?? a ? b ?
a?b

? a ?b

说明:本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力,关键是 通过对参数 a , b , c 的分析,确定抛物线顶点的取值范围,然后通过比较求出函数在 x ? 1 范围 内的最大值.
| a 2 ? b2 | | a | | b | 7.已知 a≠0,求证: ≥ ? 2|a | 2 2

10. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ( a ? R ) . (1)当0< a <

1 5 时, f (sin x) ( x ? R )的最大值为 ,求 f ( x) 的最小值; 2 4
n

(2)对于任意的 x ? R ,总有| f (sin x cos x) | ? 1 .试求 a 的取值范围; (3)若当 n ? N* 时,记 ? ai ? a1 ? a2 ? a3 ?
i ?1

? an ,令 a ? 1 ,求证: 1 ? ?
i ?n

3n

i ? 2 成立. f (i )

证明(1) :当|a|≤|b|时,不等式显然成立, 当|a|>|b|时, 左=

| a ? b || a ? b | | a ? b || a ? b | ≥ | (a ? b) ? (a ? b) | | a ? b | ? | a ? b |
1

1 1 1 ? |a|?|b| |a|?|b|

5 1 1 解:⑴由 0 ? a ? 知 ? ? ?1 故当 sin x ? 1 时 f ( x) 取得最大值为 , 4 2 2a 5 1 2 1 1 2 即 f (1) ? a ? 1 ? ,?a ? ? f ( x) ? x ? x ? ( x ? 2) ? 1 4 4 4 4
所以 f ( x ) 的最小值为 ? 1 ; ⑵ 对于任意的 x ? R ,总有| f (sin x cos x) | ? 1 , 令 t ? sin x cos x ? sin 2x ?[? , ] ,则命题转化为 ?t ?[? , ] , 不等式 | f (t ) |? 1 恒成立, 当 t ? 0 时, f (t ) ? 0 使 f (t ) ? 1 成立;
2 ? 1 1 ?1 1 ? 1 ① a ? ? ? ? ? ? ? ? t2 t ? t 2 ? 4 ? 当 t ? 0 时,有 ? 2 1 1 ?1 1 ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t2 t ?t 2? 4 ② ?

?

1 1 ? |a ? b| |a ?b|

=

|a |?|b| . 2

| a |2 ? | b |2 | a | | b | ? ? ? 右边 另法:当 | a |?| b | 时, 左边 ? 2|a| 2 2
当 | a |?| b | 时, 右边 ? 0 ,显然成立. 8.已知|a|<1,若| 解:|

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

a?b |<1,求 b 的取值范围. 1 ? ab

a?b a?b 2 |<1 ? ( ) <1 1 ? ab 1 ? ab ? (a+b)2<(1+ab)2 ? a2+b2-1-a2b2<0 (b2-1)<0. ? (a2-1) ∵|a|<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1<b<1.

9. 若f ( x) ? 1 ? x 2 , 且a, b为互异实数 , 求证 : f (a) ? f (b) ? a ? b
分析1: 欲证 f (a) ? f (b) ? a ? b 成立, 只要证 f (a) ? f (b) a ?b ? 1成立.

证法一 :

f (a ) ? f (b) a ?b

?

a 2 ? 1 ? b2 ? 1 a ?b

?

a 2 ? 1 ? b2 ? 1

?

a 2 ? 1 ? b2 ? 1

?

1 1 (0, ] 恒成立; 2 2 1 1 1 1 1 1 1 t ?[? ,0) (0, ]? ? 2或 ? ?2 ,则 ( ? )2 ? ? 2 ,故要使①式成立, 2 2 t t t 2 4 1 1 1 则有 a ? 2 ,又 ?( ? )2 ? ? ?2 ,故要使②式成立,则有 a ? ?2 ,由题 a ? 0 . t 2 4 综上, a ?[?2,0) ? (0,2] 为所求。
对于任意的 t ?[? ,0) (3)由题意, ?
i ?n 3n 3n i 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ?? f (i ) i ? n i ? 1 n ? 1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1

a ? b ( a 2 ? 1 ? b 2 ? 1)

高中数学总复习

1 1 1 1 ? ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 1 则 g (n ? 1) ? ? ? ? ? n?2 n?3 n?4 3n ? 4 1 1 1 1 g (n ? 1) ? g (n) ? ? ? ? ? ?0 3n ? 4 3n ? 3 3n ? 2 n ? 1 13 ? g (n) 在 n ? N* 时单调递增,? g (n) ? g (1) ? ? 1 . 12 1 1 1 1 又 , ? ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 ? g (n) ? (2n ? 1) ? 2 ,综上,原结论成立. n ?1
令 g (n) ?



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