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2015届高考数学(新课标 理)一轮复习辅导第31讲 推理与证明问题经典回顾 精品讲义


推理与证明经典问题回顾
开篇语
数学解题离不开推理与证明. 这里的推理主要指合情推理和演绎推理, 证明主要指直接 证明、间接证明以及利用数学归纳法证明. 合情推理有归纳推理和类比推理两种形式: 归纳推理是由特殊到一般的推理, 类比推理 是由特殊到特殊的推理;演绎推理是一般到特殊的推理.反证法是间接证明的主要形式,证 明的思路是:通过否定结论,导出矛盾,进而说明原结论正确.

开心自测
题一: 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 则 S4 ,S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成等差数列. 类 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 数列. 题二:设 a1 , a2 , 为偶数. , ,

T16 成等比 T12

, a7 是 1,2,?,7 的一个排列,求证:乘积 T ? ? a1 ?1? ? ? a2 ? 2? ? ? ? a7 ? 7?

考点梳理
1.合情推理的两种形式 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具 有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳) 。 归纳推理是由特殊到一般的推理。 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。 类比推理是由特殊到特殊的推理。 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳或类比,然后提出猜想的 推理,统称为合情推理。 2.演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理。 演绎推理是一般到特殊的推理。 演绎推理的“三段论”模式: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。 3.直接证明与间接证明 (1)综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。 (2)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的充分条件,直到把要证明 的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等等)为止。这种证 明方法叫做分析法。

(3)反证法:在假设原命题不成立的前提下,经过正确的推理,最后得出矛盾,从而 说明假设错误,进而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法。 4.数学归纳法 数学归纳法证明问题的三个步骤: (1) (归纳奠基)证明(验证)当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N* ) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设当 n ? k (k ? n0 , k ? N* ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也 成立。 (3) (结论)断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 这种证明方法叫做数学归纳法。

金题精讲
题一:在平面几何里,有勾股定理: “设 Rt?ABC的两边AB, AC互相垂直, 则 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ”拓展到空间,类比平面几何的
王新敞
奎屯 新疆

勾股定理,在立体几何中,可得类似的结论是____________________________. 题二:观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律,第 n 个等式为 题三:设函数 f ? x ? ?

.

x (x ? 0) ,观察: x?2

x x , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? , x?2 3x ? 4 x x f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ? ? ? , f 4 ? x ? ? f ? f3 ? x ? ? ? ,? 7x ? 8 15 x ? 16 * 根 据 以 上 事 实 , 由 归 纳 推 理 可 得 : 当 n? N 且 n ? 2 时 , . fn ? x ? ? f ? fn?1 ? x ?? ? f1 ? x ? ? f ? x ? ?
题 四 : 若 规 定 E ? {a1 , a2 ,..., a10 } 的 子 集 {ai1 , ai2 ,..., ain } 为 E 的 第 k 个 子 集 , 其 中

k ? 2i1 ?1 ? 2i2 ?1 ?

? 2in ?1 ,则

(1) {a1 , a3} 是 E 的第___________个子集; (2) E 的第 211 个子集是_______________.

题五:若 a, b, c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y ? 2z ?
2

?
3

, c ? z ? 2x ?
2

?
6

,求证

a, b, c 中至少有一个大于 0.

名师寄语
归纳和类比是合情推理的主要形式, 在相关问题特别是在某些选择题和填空题的求解中 起着十分重要的作用,它深刻地揭示了特殊与特殊的关系、特殊与一般的思想.因此,高三 复习中要善于运用归纳和类比进行推理,逐步学会发现,学会创造. 演绎推理是一种必然性推理,其基本模式是“三段论” .运用演绎推理证明问题时,应 注意只有在大前提、小前提和推理过程都正确的前提下,得出的结论才一定正确. 反证法是一种间接的证明问题的方法,一般地,欲证命题的结论是以“最多” “至少” “唯一”等形式或以“不可能” “不存在”等否定形式给出时,常用反证法;当一个命题从 正面证明有困难时,不妨想想反证法.

开心自测
题一:

T8 T12 , T4 T8

题二:略

金题精讲
题一: S△ABC
2 2 2 2 ? S△ ACD ? S△ADB ? S△BCD

题二: n ? (n ? 1) ? 题三:

? (3n ? 2) ? (2n ?1)2
x (n ? 1) x ? n 2
2

fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ?

题四: (1) {a1 , a3} 是 E 的第 5 个子集; (2) E 的第 211 个子集是 {a1 , a2 , a5 , a7 , a8} 题五:略


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