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三角函数典型例题分析







0°~360°间的三角函数·典型例题分析 ............................................................... 2 ° °间的三角函数· 弧度制· 弧度制·典型例题分析 ............................................................................................... 2 任意角的三角函数· 任意角的三角函数·典型例题分析一 ....................................................................... 4 任意角的三角函数·典型例题精析二 任意角的三角函数 典型例题精析二 .......................................................................... 6 同角三角函数的基本关系式· 同角三角函数的基本关系式·典型例题分析 ............................................................. 诱导公式·典型例题分析 ............................................................................................. 诱导公式· 用单位圆中的线段表示三角函数值· 用单位圆中的线段表示三角函数值·典型例题分析 ................................................. 三角公式总表 ................................................................................................................. 正弦函数、余弦函数的图象和性质· 正弦函数、余弦函数的图象和性质·典型例题分析 ............................................. 25 的图象· 函数 y=Asin(wx+j)的图象·典型例题分析 ................................................................. 的图象 正切函数、余切函数的图象和性质· 正切函数、余切函数的图象和性质·典型例题分析 ................................................. 已知三角函数值求角· 已知三角函数值求角·典型例题分析 ......................................................................... 全章小结 ......................................................................................................................... 高考真题选讲 .................................................................................................................

0°~360°间的三角函数·典型例题分析 ° °间的三角函数·
例 1 已知角α的终边经过点 P(3a,-4a)(a<0,0°≤α≤360°),求解α的四个三角 函数. 解 如图 2-2:∵x=3a,y=-4a,a<0

例 2 求 315°的四个三角函数. 解 如图 2-3,在 315°角的终边上取一点 P(x,y)

设 OP=r,作 PM 垂直于 x 轴,垂足是 M,可见∠POM=45°

注:对于确定的角α,三角函数值的大小与 P 点在角α的终边上的位置无关,如在 315°的角的终边上取点 Q(1,-1),计算出的结果是一样的.

弧度制· 弧度制·典型例题分析

角度与弧度的换算要熟练掌握,见下表.

例 2 将下列各角化成 2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,并确定其所在的象限。

∴它是第二象限的角. 注意:用弧度制表示终边相同角 2kπ+α(k∈Z)时,是π的偶数倍,而不是π的整数 倍.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

∴sinα>0,tgα<0

因此点 P(sinα,tgα)在第四象限,故选 D.



∵M 集合是表示终边在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合.

N 集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分线上的角 的集合.

任意角的三角函数· 任意角的三角函数·典型例题分析一
例 1 已知角α的终边上一点 P(-15α,8α)(α∈R,且α≠0),求α的各三角函数值. 分析 根据三角函数定义来解

A.1

B.0

C.2

D.-2

例 3 若 sin2α>0,且 cosα<0,试确定α所在的象限. 分析 解 用不等式表示出α,进而求解.

∵sin2α>0,∴2α在第一或第二象限,即 2kπ<2α<2kπ+π,k∈Z)

当 k 为偶数时,设 k=2m(m∈Z),有

当 k 为奇数时,设 k=2m+1(m∈Z)有

∴α为第一或第三象限的角 又由 cosα<0 可知α在第二或第四象限. 综上所述,α在第三象限.

义域为{x|x∈R 且 x≠kπ,k∈Z}

∴函数 y=tgx+ctgx 的定义域是

说明 本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号, 三角函数的定义域. 例 5 计算 (1)a sin(-1350°)+b tg405°-(a-b) ctg765°-2abcos(-1080°)
2 2 2

分析 利用公式 1,将任意角的三角函数化为 0~2π间(或 0°~360°间)的三角函 数,进而求值. 解 (1)原式=a sin(-4×360°+90°)+b tg(360°+45°)-(a-b) ctg(2×360°+45°)2 2 2 2 2 2 2abcos(-3×360°)=a sin90°+b tg45°-(a-b) ctg45°-2abcos0°=a +b -(a-b) -2ab=0
2 2 2

任意角的三角函数·典型例题精析二 任意角的三角函数 典型例题精析二 典型例题精析
例1 下列说法中,正确的是 [ ]

A.第一象限的角是锐角 B.锐角是第一象限的角 C.小于 90°的角是锐角 D.0°到 90°的角是第一象限的角 【分析】本题涉及了几个基本概念,即“第一象限的角”、“锐角”、“小于 90°的 分析】 角”和“0°到 90°的角”.在角的概念推广以后,这些概念容易混淆.因此,弄清楚这些 概念及它们之间的区别,是正确解答本题的关键. 【解】第一象限的角可表示为{θ|k·360°<θ<90°+k·360°,k∈Z},锐角可 表示为{θ|0°<θ<90°},小于 90°的角为{θ|θ<90°},0°到 90°的角为 {θ|0°≤θ<90°}.因此,锐角的集合是第一象限角的集合当 k=0 时的子集,故(A), (C),(D)均不正确,应选(B).

(90°-α)分别是第几象 限角?【分析】 由 sinα·cosα<0,所以 α 在二、四象限;由 sinα·tanα<0,所 【 分析】 以 α 在二、三象限.因此 α 为第二象限的角,然后由角 α 的

【解】(1)由题设可知 α 是第二象限的角,即

90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),

的角.

(2)因为 180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),所以 2α 是第三、第 四象限角或终边在 y 轴非正半轴上的角. (3)解法一:因为 90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z), 所以 故 -180°-k·360°<-α<-90°-k·360°(k∈Z). -90°-k·360°<90°-α<-k·360°(k∈Z).

因此 90°-α 是第四象限的角. 解法二:因为角 α 的终边在第二象限,所以-α 的终边在第三象限. 将-α 的终边按逆时针旋转 90°,可知 90°-α 的终边在第四象限内. 【说明】①在确定形如 α+k·180°角的象限时,一般要分 k 为偶数或奇数讨论;② 说明】 确定象限时,α+kπ 与 α-kπ 是等效的. 已知集合 E={θ|cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ|tanθ<sinθ},那 例3 么 E∩F 是区间 [ ]

【分析】 解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值 分析】 随角的变化而递增或递减的变化情况.可由三角函数的性质判断,也可由三角函数线判 断.用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易.

【解法一】 解法一】

由正、余弦函数的性质,

【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出,对于二、四象限的角,AT<MP,即 解法二】 tanα<sinθ,由正弦线和余弦线可看出,当

应选(A).

可排除(C),(D),得 A.

【说明】本题解法很多,用三角函数线还可以有以下解法:因为第一、三象限均有 AT 说明】 >MP,即 tanθ>sinθ,所以(B),(C),(D)均不成立.用排除法也有些别的方法,可自己 练习. 例 4 (1)已知角 α 终边上一点 P(3k,-4k)(k<0),求 sinα,cosα,tanα 的值;

【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明,是 分析】

三两个象限,因此必须分两种情况讨论. 【解】(1)因为 x=3k,y=-4k,

例5

一个扇形的周长为 l,求扇形的半径、圆心角各取何值时,此扇形的面积最大.

【分析】解答本题,需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式.本题是求扇形面积的 分析】 最大值,因此应想法写出面积 S 以半径 r 为自变量的函数表达式,再用配方法求出半径 r 和 已知周长 l 的关系. 【解】设扇形面积为 S,半径为 r,圆心角为 α,则扇形弧长为 l-2r.所以

【说明】在学习弧度制以后,用弧度制表示的求弧长与扇形面积公 说明】

形的问题中,中心角用弧度表示较方便.本例实际上推导出一个重要公式,即当扇形周 长为定值时,怎样选取中心角可使面积得到最大值.本题也可将面积表示为 α 的函数式, 用判别式来解.

【分析】第(1)小题因 α 在第二象限,因此只有一组解;第(2)小题给了正弦函数值, 分析】 但没有确定角 α 的象限,因此有两组解;第(3)小题角 α 可能在四个象限或是轴线角,因 此需分两种情况讨论.

【 解】

(3)因为 sinα=m(|m|<1),所以 α 可能在四个象限或 α 的终边在 x 轴上.

例 7(1)已知 tanα=m,求 sinα 的值;

【分析】(1)已知 tanα 的值求 sinα 或 cosα,一般可将 tanα 分析】

母都是 sinα 和 cosα 的同次式,再转化为关于 tanα 的式子求值,转化的方法是将分 子、分母同除以 cosα(或 cos2α,这里 cosα≠0),即可根据已知条件求值.

【说明】 说明】

由 tanα 的值求 sinα 和 cosα 的值,有一些书上利用公

很容易推出,所以不用专门推导和记忆这些公式,这类问题由现有的关系式和方法均可 解决.

函数的定义来证明.

由左边=右边,所以原式成立.

【证法三】(根据三角函数定义) 证法三】 设 P(x,y)是角 α 终边上的任意一点,则

左边=左边,故等式成立. 例9 化简或求值:

【分析】 分析】 值.

解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数

=-sinα-cosα(因为 α 为第三象限角). 例 10 (1)若 f(cos x)=cos9x,求 f(sin x)的表达式;

【分析】在(1)中理解函数符号的含义,并将 f(sin x)化成 f(cos(90°-x))是充分利 分析】 用已知条件和诱导公式的关键.在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法. 【解】(1)f(sin x)=f(cos(90°-x))=cos9(90°-x) =cos(2×360°+90°-9x)=cos(90°-9x)=sin9x;

=1.

同角三角函数的基本关系式· 同角三角函数的基本关系式·典型例题分析
1.已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值.



∵sinα<0∴角α在第三或第四象限(不可能在 y 轴的负半轴上)

(2)若α在第四象限,则

说明

在解决此类问题时,要注意:

(1)尽可能地确定α所在的象限,以便确定三角函数值的符号. (2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次). (3)必要时进行讨论. 例2 已知 sinα=m(|m|≤1),求 tgα的值.

(2)当 m=±1 时,α的终边在 y 轴上,tgα无意义. (3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时,∵cosα>0.

当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时,∵cosα<0,

说明

(1)在对角的范围进行讨论时,不可遗漏终边在坐标轴上的情况.

(2)本题在进行讨论时,为什么以 cosα的符号作为分类的标准,而不按 sinα的符号 (即 m 的符号)来分类讨论呢?你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗? 2.三角函数式的化简 三角函数式的化简的结果应满足下述要求: (1)函数种类尽可能地少. (2)次数尽可能地低. (3)项数尽可能地少. (4)尽可能地不含分母. (5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来. 化简的总思路是:尽可能地化为同类函数再化简. 例3 化简 sin α·tgα+cos α·ctgα+2sinαcosα
2 2

=secα·cscα 解2 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)

=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)=tgα+ctgα

=secα·cscα 说明 (1)在解 1 中,将正切、余切化为正弦、余弦再化简,仍然是循着减少函数种类 的思路进行的. (2)解 2 中的逆用公式将 sinα·cosα用 tgα表示,较为灵活,解 1 与解 2 相比,思路 更自然,因而更实用. 例4 化简:

分析

将被开方式配成完全平方式,脱去根号,进行化简.

3.三角恒等式的证明 证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程,即化去形式上的异,而呈现实质上 的同,这个过程,往往是从化简开始的——这就是说,在证明三角恒等式时,我们可以从最 复杂处开始. 例5 分析 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα. 从复杂的左边开始证得右边.

=2cosα-3tgα=右边 例6 证明恒等式

(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α (2)(sinA+ secA) +(cosA+cscA) =(1+secAcscA)
3 2 2

分析

(1)的左、右两边均较复杂,所以可以从左、右两边同时化简

证明

(1)右边-左边=sec α-tg α-3sin αsec α-1

6

6

2

4

=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1 =(sec α-2sec αtg α+tg α)-1=(sec α-tg α) -1=0
4 2 2 2 2 2 2

∴等式成立

=sin2A+cos2A=1 故原式成立 在解题时,要全面地理解“繁”与“简”的关系.实际上,将不同的角化为同角,以减 少角的数目,将不同的函数名称,化为同名函数,以减少函数的种类,都是化繁为简,以上 两点在三角变换中有着广泛的应用.

分析 1

从右端向左端变形,将“切”化为“弦”,以减少函数的种类.

分析 2

由 1+2sinxcosx 立即想到(sinx+cosx)2,进而可以约分,达到化简的目的.

说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时,常常将切、割化为弦(如解法 1),或将弦 化为切(如解法 2)以减少函数的种类. (2)要熟悉公式的各种变形,以便迅速地找到解题的突破口,请看下列.

=secα+tgα

∴等式成立

说明 以上证明中采用了“1 的代换”的技巧,即将 1 用 sec2α-tg2α代换,可是解题 者怎么会想到这种代换的呢?很可能,解题者在采用这种代换时,已经预见到代换后,分子 可以因式分解,可以约分,而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的,当 然,对不熟练的解题者而言,还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0”

∴左边=右边

诱导公式· 诱导公式·典型例题分析
例1 求下列三角函数值:

解 (1)sin(-1200°)=-sin1200°=-sin(3×360°+120°) =-sin120°=-sin(180°-60°)?

(2)tg945°=tg(2×360°+225°)=tg225°=tg(108°+45°)=tg45°=1

例4

求证

(1)sin(nπ+α)=(-1) sinα;(n∈Z) 证明 1°当 n 为奇数时,设 n=2k-1(k∈Z)

n

(2)cos(nπ+α)=(-1) cosα.

n

则(1)sin(nπ+α)=sin[(2k-1)π+α]=sin(-π+α)=-sinα=(-1) sinα (2)cos(nπ+α)=cos[(2k-1)π+α]=cos(-π+α)=-cosα=(-1)ncosα 2°当 n 为偶数时,设 n=2k(k∈Z), 则(1)sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1) sinα(∵(-1) =1) (2)cos(nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)ncosα 由 1°,2°,本题得证. 例5 设 A、B、C 是一个三角形的三个内角,则在 ② cos(A+B)+cosC ④ctg(A+B)-ctgC
n n

n

(∵(-1)n=-1)

①sin(A+B)-sinC ③tg(A+B)+tgC

A.1 个 解

B.2 个

C.3 个

D.4 个

由已知,A+B+C=π,∴A+B=π-C,故有

①sin(A+B)-sinC=sin(π-C)-sinC=sinC-sinC=0 为常数. ②cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0 为常数. ③ tg(A+B)+tgC=tg(π-C)+tgC=-tgC+tgC=0 为常数. ④ctg(A+B)-ctgC=ctg(π-C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC 不是常数.从而选(C).

用单位圆中的线段表示三角函数值· 用单位圆中的线段表示三角函数值·典型例题分析
例1 利用三角函数线,求满足下列条件的角或角的范围.

P′,则

(2)如图 2-11,过点(1,-1)和原点作直线交单位圆于点 p 和 p′,则

∴满足条件的所有角是

三角公式总表
nπR 180
1 1 nπ ? R 2 LR= R2 α = 2 2 360

⒈L 弧长= α R=

S 扇=

⒉正弦定理:

b c a = = = 2R(R 为三角形外接圆半径) sin A sin B sin C
2

⒊ 余 弦 定 理 : a 2 =b

+c

2

-2bc cos A

b

2

=a

2

+c

2

-2ac cos B c

2

=a

2

+b

2

-2ab cos C

cos A = ⒋S⊿= =

b2 + c 2 ? a 2 2bc

1 1 1 1 abc a ? ha = ab sin C = bc sin A = ac sin B = =2R 2 sin A sin B sin C 2 2 2 2 4R

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin A sin B = = =pr= p( p ? a )( p ? b)( p ? c ) 2 sin A 2 sin B 2 sin C

1 (其中 p = ( a + b + c ) , r 为三角形内切圆半径) 2 ⒌同角关系: ⑴商的关系:① tgθ =
y sin θ x cos θ = = sin θ ? sec θ ② ctgθ = = = cos θ ? csc θ x cosθ y sin θ y = cos θ ? tgθ r x = sin θ ? ctgθ r

③ sin θ = ⑤ cos θ =

④ sec θ = ⑥ csc θ =

r 1 = = tgθ ? csc θ x cosθ
r 1 = = ctgθ ? sec θ y sin θ

⑵倒数关系: sin θ ? csc θ = cos θ ? sec θ = tgθ ? ctgθ = 1 ⑶平方关系: sin 2 θ + cos 2 θ = sec 2 θ ? tg 2θ = csc 2 θ ? ctg 2θ = 1 ⑷ a sin θ + b cos θ = a 2 + b 2 sin(θ + ? )
tg? = b ) a

( 其 中 辅 助 角 ? 与 点 ( a,b ) 在 同 一 象 限 , 且

⒍函数 y= A sin(ω ? x + ? ) + k 的图象及性质:( ω > 0, A > 0 )
1 , 相位 ω ? x + ? ,初相 ? ω T π 3π ⒎五点作图法:令 ωx + ? 依次为 0 , π , ,2π 求出 x 与 y, 依点 (x, y ) 作图 2 2 ⒏诱导公试 sin cos tg ctg 三角函数值等于 α 的同名 三角函数值,前面 -α - sin α + cos α - tgα - ctgα 加上一个把 α 看作锐角时,原 三角函数值的 tgα π -α + sin α - cos α - ctgα π +α - sin α - cos α + tgα + ctgα 符号;即:函数名不变,符号看象限 ctgα cos α - tgα 2π -α - sin α + cos α + tgα 2k π + α + sin α + + ctgα

振幅 A,周期 T=



, 频率 f=

π π
2



sin + cos α + cos α - cos α - cos α

con + sin α - sin α - sin α + sin α

tg + ctgα - ctgα + ctgα - ctgα

ctg + tgα - tgα + tgα - tgα

三角函数值等于 α 的异名三角函数值,前面 加上一个把 α 看作锐角时,原三角函数值的 符号;即:函数名改变,符号看象限 ⒐和差角公式 ① sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β

+α 2 3π ?α 2 3π +α 2



③ tg (α ± β ) =

tgα ± tgβ 1 m tgα ? tgβ

④ tgα ± tgβ = tg (α ± β )(1 m tgα ? tgβ )

⑤ tg (α + β + γ ) =

tgα + tgβ + tgγ ? tgα ? tgβ ? tgγ 其中当 A+B+C=π 时,有: 1 ? tgα ? tgβ ? tgα ? tgγ ? tgβ ? tgγ

i). tgA + tgB + tgC = tgA ? tgB ? tgC ⒑二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2θ = 2 sin θ cos θ =
2tgθ 1 + tg 2θ

ii). tg

A B A C B C tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2

② cos 2θ = cos 2 θ ? sin 2 θ = 2 cos 2 θ ? 1 = 1 ? 2 sin 2 θ =
2tgθ 1 ? tg 2θ

1 ? tg 2θ 1 + tg 2θ
⑤ cos 2 θ =
1 + cos 2θ 2

③ tg 2θ =

④ sin 2 θ =

1 ? cos 2θ tg 2θ = 2 1 + tg θ 2

⒒三倍角公式: ① sin 3θ = 3 sin θ ? 4 sin 3 θ = 4 sin θ sin(60° ? θ ) sin(60° + θ ) ② cos 3θ = ?3 cos θ + 4 cos 3 θ = 4 cos θ cos(60° ? θ ) cos(60° + θ ) ③ tg 3θ =

3tgθ ? tg 3θ = tgθ ? tg (60 ? θ ) ? tg (60 + θ ) 1 ? 3tg 2θ

⒓半角公式:(符号的选择由 ① sin

θ
2

所在的象限确定)
= 1 ? cos θ 2

θ
2


=

1 ? cos θ 2
1 + cos θ 2

② sin 2

θ
2

③ cos

θ
2



1 + cos θ 2

④ cos 2

θ
2

⑤ 1 ? cos θ = 2 sin 2

θ
2

⑥ 1 + cos θ = 2 cos 2

θ
2

⑦ 1 ± sin θ = (cos

θ

± sin ) 2 = cos ± sin 2 2 2 2

θ

θ

θ

⑧ tg

θ
2



1 ? cos θ sin θ 1 ? cos θ = = 1 + cos θ 1 + cos θ sin θ

⒔积化和差公式: 1 1 sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α ? β )] cos α sin β = [sin(α + β ) ? sin(α ? β )] 2 2 1 1 cosα cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2 2 ⒕和差化积公式: α+β α?β α+β α?β ① sin α + sin β = 2 sin cos ② sin α ? sin β = 2 cos sin 2 2 2 2 α+β α?β α+β α?β cos ④ cos α ? cos β = ?2 sin sin ③ cos α + cos β = 2 cos 2 2 2 2 ⒖反三角函数: 名称 函数式 定义域 值域 性质 y = arcsin x [? 1,1] 增 反正弦函数 arcsin(-x) = -arcsinx 奇 ? π π? ? , ? ? 2 2? ? y = arccos x [? 1,1] 减 arccos(? x ) = π ? arccos x [0, π ] 反余弦函数 反正切函数
y = arctgx

R R

增 减

y = arcctgx 反余切函数 ⒗最简单的三角方程 方程 sin x = a a =1

? π π? ?? , ? ? 2 2? (0, π )

arctg(-x) = - arctgx 奇 arcctg ( ? x ) = π ? arcctgx

方程的解集 {x | x = 2kπ + arcsin a, k ∈ Z }

a <1

cos x = a
tgx = a ctgx = a

a =1 a <1

{x | x = 2kπ + arccos a, k ∈ Z } {x | x = 2kπ ± arccos a, k ∈ Z } {x | x = kπ + arctga, k ∈ Z } {x | x = kπ + arcctga , k ∈ Z }

{x | x = kπ + (? 1)

k

arcsin a , k ∈ Z

}

正弦函数、余弦函数的图象和性质· 正弦函数、余弦函数的图象和性质·典型例题分析
例1 用五点法作下列函数的图象 (1)y=2-sinx,x∈[0,2π]

描点法作图:

例2

求下列函数的定义域和值域.

解 得

(1)要使 lgsinx 有意义,必须且只须 sinx>0,解之, 2kπ<x<(2k+1)π,k∈Z.

又∵0<sinx≤1, ∴-∞<lgsinx≤0. ∴定义域为(2kπ,(2k+1)π)(k∈Z),值域为(-∞,0].

的取值范围,进而再利用三角函数线或函数图象,求出 x 的取值范围。

利用单位圆(或三角函数图象)解得

(2)由读者自己完成,其结果为

例4

求下列函数的最大值与最小值:

(2)y=2cos x+5sinx-4=-2sin x+5sinx-2

2

2

∵sinx∈[-1,1],

例5

求下列函数的值域.

∵|cosx|≤1

∴cox2x≤1

说明 围.

上面解法的实质是从已知关系式中,利用|cosx|≤1 消去 x,从而求出 y 的范

例6

比较下列各组数的大小.

分析

化为同名函数,进而利用增减性来比较函数值的大小.



(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°

cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70° ∵0<14°<70°<90°, ∴sin14°<sin70°,从而 -sin14°>-sin70°,即 sin194°>cos160°.

而 y=cosx 在[0,π]上是减函数, 故由 0<1.39<1.47<1.5<π可得 cos1.5<cos1.47<cos1.39

例7

求下列函数的单调区间

解(1)设 u=2x 当 u∈[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)时,cosu 递增; 当 u∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,cosu 递减.

例8

下列函数中是奇函数的为

∴(D)为奇函数,应选(D).

函数不具有奇偶性.

说明 奇(偶)函数的定义域必须对称于原点,这是奇(偶)函数必须满足的条件,解题时 不可忽视.

的图象· 函数 y=Asin(wx+j)的图象·典型例题分析 的图象
例1 已知函数 y=f(x),将 f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,

结果与 D 相同,故选 D. 例2

(3)函数 f(x)=lg(sin2x)的增区间为______; (4)函数 f(x)=|sinx|的增区间为______. 分析 基本方法是转化为 y=sinx 与 y=cosx 的单调区间的求法.但既要注意定义域,还 要注意复合函数的单调性质的运用.



2A=3-(-5)=8,A=4

所得点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍.(横坐标不变)再将图象上 所有点向上 b>0 或向下 b<0 平移|b|个单位,同一周

正切函数、余切函数的图象和性质· 正切函数、余切函数的图象和性质·典型例题分析

例2

比较下列各组数的大小

①tg1,tg2,tg3 解 (1)∵tg2=tg(2-π),tg3=tg(3-π)

∴tg(2-π)<tg(3-π)<tg1 即 tg2<tg3<1

由于 y=ctgx 在(0,π)内是减函数,所以

已知三角函数值求角· 已知三角函数值求角·典型例题分析

2(α+β)-β=4kπ+π-β,k∈Z,从而 sin(2α+β)与 sinβ之间的联系被发现.



sin(2α+β)=sin[2(α+β)-β]

sin(4kπ+π-β)=sin(π-β)

全章小结
一、本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念,同角三角函数之间 的关系,诱导公式,以及三角函数的图象和性质. 二、根据生产实际和进一步学习数学的需要,我们引入了任意大小的正、负角的概念, 采用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实数的集合 R 之间建立了这样的一一对应关 系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都 有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应.采用弧度制时,弧长公式十分简单: l=|α|r(l 为弧长,r 为半径,α为圆弧所对圆心角的弧度数),这就使一些与弧长有关的公 式(如扇形面积公式等)得到了简化. 三、在角的概念推广后,我们定义了任意用的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的 六种三角函数.它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之 间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是以实数为自变量的函数. 四、同角三角函数的八个基本关系或是进行三角恒等变换的重要基础,它们在化简三角 函数式和证明三角恒等式等问题中要经常用到,必须熟记,并能熟练运用. 五、掌握了五组诱导公式以后,就可以把任意用的三角函数化成 0°~90°间角的三角 函数. 六、利用正弦线、余弦线可以比较精确地作出正弦函数、余弦函数的图象.可以看出, 因长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为零的点)在确 定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用. 高考真题选讲 题1 (’98)已知点 P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范[ ]

答案:B 题2 (’98)sin600°的值

答案:D

[

]

D.x=π

答案:B

答案:A

①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是π的整数倍;

其中正确的命题的序号是______

不是π的整数倍,所以①不正确.

∴②正确.

故④不正确. 答案:②③

是 [ C.[-π,0]

]

答案:B 题7 有 (’94)设θ是第二象限的角,则必 [ ]

答案:A 题8 (’95 文),使 sinx≤cosx,成立的 x 的一个变化区间是 [ ]

答案:A 题9 (’97 文)满足 tgα≥cgtα的角α的一个取值区间是 [ ]

分析

由单位圆知答案.答案:A

A.{-2,4}

B.{-2,0,4 } C.{-2,0,2,4}

D.{-4,-2,0,4}

三、四象限取值时,对应的函数值分别是 4,-2,0,-2. 答案:B

题 11

(’99)若 f(x)sinx 是周期为π的奇函数,则 f(x)可以是 B.cosx C.sin2x D.cos2x

[

]

A.sinx 答案:B

[

]

答案:B

A.增函数 答案:C

B.是减函数

C.可以取最大值 M

D.可以取最小值-M



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