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【高考导航】2015高考数学一轮总复习 专题二 三角函数、平面向量综合题的解答课件 理



第一章 从实验学化学

第四章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入

专题二 三角函数、平面向量综合问题的解答

目 录
ONTENTS

1

聚焦考向透析

2

学科能力提升

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聚焦考向透析
例题精编

考向一 三角恒等变换与化简求值
方法分析 解答过程 回归反思

(2013·高考湖南卷)
? ? π? π? 已知函数 f(x)=sin?x- ?+cos?x- ?, 6? 3? ? ?

x g(x)=2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= , 5 求 g(α )的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

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考向一

三角恒等变换与化简求值
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考湖南卷)
? ? π? π? 已知函数 f(x)=sin?x- ?+cos?x- ?, 6? 3? ? ?

x g(x)=2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= , 5 求 g(α )的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

题目条件、解题目标. 题目条件:已知具体函数f(x)、 g ( x ) 和 f (α ). 解题目标:①求值g(α);(2) 解三角不等式f(x)≥g(x). 关系探索:条件与目标、已知 与未知的转化. (ⅰ)首先化简f(x)与g(x). (ⅱ)f(α)与g(α)是同角关 系. (ⅲ)转化f(x)≥g(x)成为简单 型,sin x≥a.

聚焦考向透析
例题精编

考向一

三角恒等变换与化简求值
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考湖南卷)
? ? π? π? 已知函数 f(x)=sin?x- ?+cos?x- ?, 6? 3? ? ?

x g(x)=2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= , 5 求 g(α )的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

? ? π? π? f(x)=sin?x- ?+cos?x- ? 6? 3? ? ? 3 1 1 3 = sin x- cos x+ cos x+ sin x 2 2 2 2 = 3sin x, x g(x)=2sin2 =1-cos x. 2 3 3 3 (1)由 f(α )= 得 sin α = . 5 5 又 α 是第一象限角,所以 cos α >0. 从而 g(α )=1-cos α =1- 1-sin2α 4 1 =1 - = . 5 5

C

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考向一

三角恒等变换与化简求值
方法分析 解题过程 回归反思

例题精编
(2013·高考湖南卷)
? ? π? π? 已知函数 f(x)=sin?x- ?+cos?x- ?, 6? 3? ? ?

x g(x)=2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= , 5 求 g(α )的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

(2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x ≥1-cos x,即 3sin x+cos x≥1 ? π? 1 ,于是 sin?x+ ?≥ , 6? 2 ? π π 5π 从而 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + , 6 6 6 k ∈Z , 2π 即 2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 3 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为 ? ? ? 2π ?x?2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z?. 3 ? ? ?

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考向一

三角恒等变换与化简求值
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考湖南卷)
? ? π? π? 已知函数 f(x)=sin?x- ?+cos?x- ?, 6? 3? ? ?

①化简 f(x)是用差角公式, 化简 g(x)用降幂公式. ②由 f(α )求 g(α )时注意 象限符号. ③化简 f(x)≥g(x),用辅助 角公式.结合三角函数图象解
? π? 1 不等式 sin?x+ ?≥ . 6? 2 ?

x g(x)=2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= , 5 求 g(α )的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

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考向二 三角函数图象性质的应用
方法分析 解答过程 回归反思

(2012·高考四川卷)函数

f(x)=6cos2

ωx + 3sin ω x-3(ω >0) 2

在一个周期内的图象如图所示,A 为图象 的最高点 B,C 为图象与 x 轴的交点, 且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?, 5 ? 3 3?

求 f(x0+1)的值.

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考向二

三角函数图象性质的应用
方法分析 解题过程 回归反思

(2012·高考四川卷)函数

f(x)=6cos2

ωx + 3sin ω x-3(ω >0) 2

在一个周期内的图象如图所示,A 为图象 的最高点 B,C 为图象与 x 轴的交点, 且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?, 5 ? 3 3?

求 f(x0+1)的值.

题目条件:未化简的f(x)解析式 (含ω)和图象中的三个关键点A、 B 、C . 解题目标:①待定ω,求f(x)的 值域. ②给值f(x0),求值f(x0+1). 关系探索:(1)f(x)通过降幂化 为Asin(ωx+φ)型再解△ABC求 f(x)的解析式,代入f(x0)化简 求值. (2)△ABC?T?ω?f(x)?f(x0) ?f(x0+1).

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考向二

三角函数图象性质的应用
方法分析 解题过程 回归反思

(2012·高考四川卷)函数

(1)由已知可得,

f(x)=6cos2

ωx + 3sin ω x-3(ω >0) 2

f(x)=3cos ω x+ 3sin ω x
? π? =2 3sin?ω x+ ?.又正三角形 ABC 3? ?

在一个周期内的图象如图所示,A 为图象 的最高点 B,C 为图象与 x 轴的交点, 且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?, 5 ? 3 3?

的高为 2 3,从而 BC=4.所以函数 2π f(x)的周期 T= 4×2=8,即 =8, ω π ω = .函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 4

求 f(x0+1)的值.

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考向二

三角函数图象性质的应用
方法分析 解题过程 回归反思

(2012·高考四川卷)函数

f(x)=6cos2

ωx + 3sin ω x-3(ω >0) 2

8 3 (2)因为 f(x0)= , 5
?π x0 π ? 8 3 + ?= 由(1)有 f(x0)=2 3sin? , 3? 5 ? 4 ?π x0 π ? 4 + ?= . 即 sin? 3? 5 ? 4 ? 10 2? π x0 π ? π π ? 由 x0∈?- , ?,知 + ∈?- , ?. 4 3 ? 2 2? ? 3 3? ?π x0 π ? + ?= 所以 cos? 3? ? 4 ?4?2 3 1-? ? = . 5 ?5?

在一个周期内的图象如图所示,A 为图象 的最高点 B,C 为图象与 x 轴的交点, 且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?, 5 ? 3 3?

求 f(x0+1)的值.

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考向二

三角函数图象性质的应用
方法分析 解题过程 回归反思

(2012·高考四川卷)函数

f(x)=6cos2

ωx + 3sin ω x-3(ω >0) 2

?π x0 π π ? 故 f(x0+1)=2 3sin? + + ? 4 3? ? 4 ??π x0 π ? π ? ? ? ? + + =2 3sin? ?? 4 ? =2 3 3 4 ? ? ? ? ?π x0 π ? ?π x0 π ? π π? ? ? cos +cos? + ?sin ? ?sin? 4 + 3 ? 3? 4 4? ? ? 4 ? ? ?4 7 6 2 3 2? ? =2 3×? × + × ? = ? 5 ?5 2 5 2 ?

在一个周期内的图象如图所示,A 为图象 的最高点 B,C 为图象与 x 轴的交点, 且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?, 5 ? 3 3?

求 f(x0+1)的值.

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例题精编

考向二

三角函数图象性质的应用
方法分析 解题过程 回归反思

(2012·高考四川卷)函数

(1)求 f(x)=Asin(ω x+φ )的值域时 ,要注意 ω x+φ 的范围. (2)中有技巧:整体代换,切不可求 x0
?π π? ? 的值.而是整体求 sin x0+ ?及 3? ?4 ?π π? π π ? π π? cos? x0+ ?.并注意 x0+ ∈?- , ? 3? 4 3 ? 2 2? ?4

f(x)=6cos2

ωx + 3sin ω x-3(ω >0) 2

在一个周期内的图象如图所示,A 为图象 的最高点 B,C 为图象与 x 轴的交点, 且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?, 5 ? 3 3?

,否则易增解.

求 f(x0+1)的值.

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考向三 三角恒等变换与解三角形
方法分析 解答过程 回归反思

(2013·高考四川卷)在△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) 3 =- . 5 (1)求 sin A 的值; →在→ (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA BC 方向上的投影.

聚焦考向透析
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考向三

三角恒等变换与解三角形
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考四川卷)在△ABC 中, 题目条件:已知三角等式,其中 含有角 A,B,C 及正弦、余弦. 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) 3 =- . 5 (1)求 sin A 的值; →在→ (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA BC 方向上的投影.

解题目标:(1)求 sin A;(2)在△ABC 中, → →上投影. BA在BC

关系探究: (1)由三角形内角和定理得 A+C= π -B,即 sin(A+C)=sin B, 然后利用两角和的余弦公式求得 cos A.

(2)借助正、余弦定理求角后再利用向量 投影公式求解.

聚焦考向透析
例题精编

考向三

三角恒等变换与解三角形
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考四川卷)在△ABC 中, (1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) 3 =- . 5 (1)求 sin A 的值; →在→ (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA BC 方向上的投影.
3 =- ,得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B 5 3 =- , 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 4 又 0<A<π ,则 sin A= . 5

聚焦考向透析
例题精编

考向三

三角恒等变换与解三角形
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考四川卷)在△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) 3 =- . 5 (1)求 sin A 的值; →在→ (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA BC 方向上的投影.

(2)由正弦定理,有

a b = , sin A sin B

bsin A 2 所以 sin B= = . a 2
π 由题意知 a>b,则 A>B,故 B= . 4 根据余弦定理,有
? 3? (4 2)2=52+c2-2×5c×?- ?, ? 5?

解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 2 →在→ 故向量BA BC方向上的投影为|→ BA|cos B= . 2

聚焦考向透析
例题精编

考向三

三角恒等变换与解三角形
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考四川卷)在△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) 3 =- . 5 (1)求 sin A 的值; →在→ (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA BC 方向上的投影.

①题目条件中含有3个角A,B, C, 一般需要A+C=π-B转化.

②由正弦定理求 B 角时, 3 必须判定解的个数,即 B≠ π . 4

聚焦考向透析考向四
例题精编

平面向量与三角函数性质综合
方法分析 解答过程 回归反思

(2013·高考辽宁卷) 设向量 a=( 3sin x,sin x),

b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2

? ?

π?

?

(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b, 求 f(x)的最大值

聚焦考向透析考向四
例题精编

平面向量与三角函数性质综合
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考辽宁卷) 设向量 a=( 3sin x,sin x),

b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2

? ?

π?

?

(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b, 求 f(x)的最大值

题目条件:前提a与b的坐标用 x的正、余弦表示. (1)|a|=|b|;(2)f(x)=a·b. 解题目标:(1)求角x; (2)f(x)max. 关系探究:已知与未知转化: ①由|a|=|b|转化为含x的三 角方程. ②由a·b转化为含x的一角一 函数型.

聚焦考向透析 考向四
例题精编

平面向量与三角函数性质综合
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考辽宁卷) 设向量 a=( 3sin x,sin x),

(1)由|a| =( 3sin x) +sin x=4sin x,
2 2 2 2

|b| =cos x+sin x=1,及|a|=|b|,
2 2 2

b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2

? ?

π?

?

? π? 2 得 4sin x=1.又 x∈?0, ?, ? 2?
π 1 从而 sin x= ,所以 x= . 2 6

(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b, 求 f(x)的最大值

聚焦考向透析 考向四
例题精编

平面向量与三角函数性质综合
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考辽宁卷) 设向量 a=( 3sin x,sin x),

(2)f(x)=a·b= 3sin x·cos x+sin2x = 3 1 1 sin 2x- cos 2x+ 2 2 2

b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2

? ?

π?

?

? π? 1 =sin?2x- ?+ , 6? 2 ?

(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b, 求 f(x)的最大值

π ? π? 当 x= ∈?0, ?时, 2? 3 ?
? π? sin?2x- ?取最大值 1. 6? ?

3 所以 f(x)的最大值为 . 2

聚焦考向透析 考向四
例题精编

平面向量与三角函数性质综合
方法分析 解题过程 回归反思

(2013·高考辽宁卷) 设向量 a=( 3sin x,sin x),

1 ①由 sin x= 得 x 时, 2

b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2

? ?

π?

?

? π? 必须注意 x∈?0, ?,否则易错. 2? ?

②求 f(x)最大值时,不要忽略后面的 1 1 常数 ,即最大值为 1+ . 2 2

(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b, 求 f(x)的最大值

学科能力提升

真题试做

速效提升
解析:将所给向量式两边平方后 利用向量数量积的运算律求解. ∵a,b 是单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 a·b=0,∴a⊥b,∴|a+b|= 2. ∴|c-a-b|2=

1.(2013·高考湖南卷)已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的 最大值为( A. 2-1 C. 2+1 ) B. 2 D. 2+2

c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1.
∴c2-2c·(a+b)+1=0.∴2c·(a+b) =c2+1.∴c2+1=2|c||a+b|cos θ (θ 是 c 与 a+b 的夹角)

学科能力提升

真题试做

速效提升
∴c +1=2 2|c|cos θ
2

1.(2013·高考湖南卷)已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的 最大值为( A. 2-1 C. 2+1

≤2 2|c|.∴c -2 2|c|+1≤0.
2

C )
B. 2 D. 2+2

∴ 2-1≤|c|≤ 2+1. ∴|c|的最大值为 2+1.

学科能力提升

真题试做

速效提升 解析:画出矩形草图,利 用向量加减运算及数量积 运算直接求解.
如图所示,由于→ OA=(-3,1), → → =→ OB=(-2,k),所以AB OB-→ OA =(1,k-1).在矩形中, →· → 由→ OA⊥→ AB得OA AB=0, 所以(-3,1)·(1,k-1) =0,即-3×1+1×(k-1)=0, 解得 k=4.

2.(2013·高考重庆卷) 在 OA 为边,OB 为对角线的矩形中, → OA=(-3,1),→ OB=(-2,k),

4 则实数 k=________ .

学科能力提升

真题试做

速效提升

3.(2013·高考陕西卷)
? 已知向量 a=?cos ?

解析:
? f(x)=?cos ?

1? x,- ?, 2?

1? x,- ?·( 3sin x,cos 2x) 2? 1 = 3cos xsin x- cos 2x 2 3 1 sin 2x- cos 2x 2 2 π π =cos sin 2x-sin ·cos 2x 6 6 ? π? ? ?. 2 x - =sin 6 ? ? (1)f(x)的最小正周期为 2π 2π T= = =π , ω 2 即函数 f(x)的最小正周期为π . =

b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,
设函数 f(x)=a·b. (1)求 f(x)的最小正周期;
? π? (2)求 f(x)在?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?

学科能力提升

真题试做

速效提升
π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 由正弦函数的图象, π π π 当 2x- = ,即 x= 时, 6 2 3

3.(2013·高考陕西卷)
? 已知向量 a=?cos ?

1? x,- ?, 2?

b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,
设函数 f(x)=a·b. (1)求 f(x)的最小正周期;
? π? (2)求 f(x)在?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?

f(x)取得最大值 1;
π π 当 2x- =- ,即 x=0 时, 6 6 1 f(x)取得最小值- . 2

? π? 因此,f(x)在?0, ?上的最大值是 1, ? 2? 1 最小值是- . 2



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