9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)



云南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=() A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 2. (5 分)在复平面内,复数 z=i +i A.第一象限 B.第二象限

4 2015

的共轭复数对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限

3. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a9=12,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于() A.33 B.44 C.55 D.66 4. (5 分)执行如图所示框图,则输出 S 的值为()

A.

B. ﹣

C.

D.﹣

5. (5 分)关于两条不同的直线 m、n 与两个不同的平面 α、β,有下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; ③若 m?α,n?β 且 α⊥β,则 m⊥n; ④若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n. 其中假命题有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个

6. (5 分)F1、F2 分别是椭圆 △ PF1F2 的面积为() A.24 B.24

=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且|PF1|﹣|PF2|=2,则

C.48

D.48

7. (5 分)如图,元件 Ai(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为 0.9,且各元件是否通过电流 相互独立,则电流能在 M,N 之间通过的概率是()

A.0.729

B.0.8829

C.0.864

D.0.9891

8. (5 分)双曲线

=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y =20x 的焦点重合,且抛

2

物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

9. (5 分) 若在 则 n 的值为() A.3

的展开式中, 各系数之和为 A, 各二项式系数之和为 B, 且 A+B=72,

B. 4

C. 5

D.6

10. (5 分)如图所示,某三棱锥的三视图均为边长为 1 的正方形,则该三棱锥的体积是()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 xf′(x)+f(x)>0,当 0<a<b<1 时,下面 选项中最大的一项是() b b a a A.a f(a ) B.b f(b ) C.logab?f(logab) D.logba?f(logba) 12. (5 分)在△ ABC 中,tanA+tanB+tanC>0 是△ ABC 是锐角三角形的() A.既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D.充分不必要条件

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知向量 , 夹角为 60°,且| |=1,|2 ﹣ |=2 ,则| |=.

14. (5 分)已知

,则 x +y 的最小值是.

2

2

15. (5 分)无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“和谐数”,如 88,545,7337,43534 等都是“和谐数”. 两位的“和谐数”有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的“和谐数”有 101,111,121,131,…,969,979,989,999,共 90 个; 四位的“和谐数”有 1001,1111,1221,…,9669,9779,988,9999,共 90 个; 由此推测:八位的“和谐数”总共有个. 16. (5 分)三个半径均为 3 且两两外切的球 O1、O2、O3 放在水平桌面上,现有球 I 放在桌面 上与球 O1、O2、O3 都外切,则球 I 的半径是.

三、解答题 17. (12 分)已知数列{an}满足 an=2an﹣1+1 (n≥2) 且 a1=1,bn=log2(a2n+1+1) , 证: (Ⅰ)数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{cn}的前 n 项和 . .求

18. (12 分)如图所示,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2,CD=1,侧面 PBC⊥底面 ABCD,点 F 在线段 AP 上,且满足 (1)证明:PA⊥BD; (2)当 λ 取何值时,直线 DF 与平面 ABCD 所成角为 30°? .

19. (12 分)甲乙两位同学参加学校安排的 3 次体能测试,规定按顺序测试,一旦测试合格就 不必参加以后的测试,否则 3 次测试都要参加.甲同学 3 次测试每次合格的概率组成一个公 差为 的等差数列,他第一次测试合格的概率不超过 ,且他直到第二次测试才合格的概率为 ,乙同学 3 次测试每次测试合格的概率均为 ,每位同学参加的每次测试是否合格相互独 立. (Ⅰ)求甲同学第一次参加测试就合格的概率 P; (Ⅱ)设甲同学参加测试的次数为 m,乙同学参加测试的次数为 n,求 ξ=m+n 的分布列.

20. (12 分)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的右焦点 F2 与抛物线 y =4

2

x 的焦点重

合, 过 F2 作与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 S、 T 两点, 与抛物线交于 C、 D 两点, 且 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 若过点 M (3, 0) 的直线 l 与椭圆 E 交于两点 A、 B, 设 P 为椭圆上一点, 且满足 (O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. + =t



21. (12 分)已知函数 f(x)=x(lnx+1) (x>0) . (Ⅰ)设 F(x)=ax +f'(x) (a∈R) ,讨论函数 F(x)的单调性; (Ⅱ)若斜率为 k 的直线与曲线 y=f′(x)交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (x1<x2)两点,求 证:x1< <x2.
2

选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 的中点,连接 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F,连接 CE. (Ⅰ)求证:AC 为⊙O 的直径. (Ⅱ)求证:AG?EF=CE?GD.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (10 分)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C: ρsin θ=2acosθ(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为 曲线 C 分别交于 M,N. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程;
2

,直线 l 与

(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

选修 4-5:不等式选讲 24. (10 分)设 a>0,b>0,m>0,n>0. 2 4 4 2 3 3 (Ⅰ)证明: (m +n ) (m +n )≥4m n ; 2 2 2 2 (Ⅱ)a +b =5,ma+nb=5,求证:m +n ≥5.

云南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=() A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 解出集合 A,再由交的定义求出两集合的交集. 2 解答: 解:∵A={x|x ﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2} 故选 C 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. 2. (5 分)在复平面内,复数 z=i +i A.第一象限 B.第二象限
4 2015 2

的共轭复数对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数的单位 i 的指数运算,化简复数为 a+bi 的形式,即可得到复数的共轭 复数的形式,判断选项即可. 解答: 解:复数 z=i +i =1+i =1﹣i, 复数的共轭复数我 1+i,对应的点(1,1)在第一象限. 故选:A. 点评: 本题考查复数的基本运算,复数的几何意义,基本知识的考查. 3. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a9=12,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于() A.33 B.44 C.55 D.66 考点: 等差数列的前 n 项和.
4 2015 2012+3

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 S11= = ,由此能求出结果.

解答: 解:∵在等差数列{an}中,a3+a9=12, ∴数列{an}的前 11 项和: S11= = = =66. 故选:D. 点评: 本题考查等差数列的前 11 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用. 4. (5 分)执行如图所示框图,则输出 S 的值为()

A.

B. ﹣

C.

D.﹣

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 S,α 的值,当 k=5 时,满足条件 k>4,输出 S 的值为﹣ .

解答: 解:执行程序框图,有 k=1,S=1,α= S= ,α=

不满足条件 k>4,k=3 S= ,α=

不满足条件 k>4,k=5

S=﹣

,α= .

满足条件 k>4,输出 S 的值为﹣

故选:D. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题. 5. (5 分)关于两条不同的直线 m、n 与两个不同的平面 α、β,有下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; ③若 m?α,n?β 且 α⊥β,则 m⊥n; ④若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n. 其中假命题有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 对四个命题,利用空间中线线、线面、面面间的位置关系,分别判断能求出结果. 解答: 解:对于①,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, A1D1∥平面 ABCD,AD∥平面 A1B1C1D1,A1D1∥AD; EP∥平面 ABCD,PQ∥平面 A1B1C1D1,EP∩PQ=P; A1D1∥平面 ABCD,PQ∥平面 A1B1C1D1,A1D1 与 PQ 异面. 综上,直线 m,n 与平面 α,β,m∥α,n∥β 且 α∥β, 则直线 m,n 的位置关系为平行或相交或异面.故①为假命题; 当 m?β 时,则 m⊥n,故②为假命题; ∵m?α,n?β,且 α⊥β,∴根据当 m⊥β,可以推出直线 m 垂直于 β 内的所有条件,可以得 到垂直与直线 n,故③为假命题; 由 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m 与 n 一定不平行,否则有 α∥β,与已知 α⊥β 矛盾,通过平移 使得 m 与 n 相交, 且设 m 与 n 确定的平面为 γ, 则 γ 与 α 和 β 的交线所成的角即为 α 与 β 所成的角, 因为 α⊥β, 所以 m 与 n 所成的角为 90°,故④正确 故选:C.

点评: 本题考查两直线位置关系的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.

6. (5 分)F1、F2 分别是椭圆 △ PF1F2 的面积为() A.24 B.24

=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且|PF1|﹣|PF2|=2,则

C.48

D.48

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的定义, 结合|PF1|﹣|PF2|=2, 可得|PF1|=8, |PF2|=6, 进而 PF1⊥PF2, 则△ PF1F2 的面积可求. 解答: 解:由题意,|PF1|+|PF2|=14, ∵|PF1|﹣|PF2|=2, ∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∵|F1F2|=10, ∴PF1⊥PF2, ∴△PF1F2 的面积为 =24,

故选:B. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积,确定 PF1⊥PF2 是关键. 7. (5 分)如图,元件 Ai(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为 0.9,且各元件是否通过电流 相互独立,则电流能在 M,N 之间通过的概率是()

A.0.729

B.0.8829

C.0.864

D.0.9891

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 求出电流不能通过 A1 、A2 ,且也不能通过 A3 的概率,用 1 减去此概率,即得电流 能通过系统 A1 、A2 、A3 的概率.再根据电流能通过 A4 的概率为 0.9,利用相互独立事件的 概率乘法公式求得电流能在 M,N 之间通过的概率. 解答: 解:电流能通过 A1 、A2 ,的概率为 0.9×0.9=0.81,电流能通过 A3 的概率为 0.9, 故电流不能通过 A1 、A2 ,且也不能通过 A3 的概率为 (1﹣0.81) (1﹣0.9)=0.019, 故电流能通过系统 A1 、A2 、A3 的概率为 1﹣0.019=0.981, 而电流能通过 A4 的概率为 0.9, 故电流能在 M,N 之间通过的概率是 (1﹣0.019)×0.9=0.8829, 故选:B. 点评: 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,所求的事件的概率与它的对立事件的 概率之间的关系,体现了转化的数学思想,属于基础题.

8. (5 分)双曲线

=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y =20x 的焦点重合,且抛

2

物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定抛物线 y =20x 的焦点坐标、双曲线
2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线的

方程,利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4,求出 b,a,即可求出双曲线的离心率. 解答: 解:抛物线 y =20x 的焦点坐标为(5,0) ,双曲线 渐近线的方程为 bx+ay=0, ∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4, ∴ =4,即 b=4,
2

=1(a>0,b>0)的一条

∵c=5,∴a=3, ∴双曲线的离心率为 e= = , 故选:C. 点评: 本题考查双曲线的离心率,考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

9. (5 分) 若在 则 n 的值为() A.3

的展开式中, 各系数之和为 A, 各二项式系数之和为 B, 且 A+B=72,

B. 4

C. 5

D.6

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 由题意可得 A= 的值. 解答: 解: 由题意可得 A= =4 , B=2 , 再由 A+B=4 +2 =72, 可得 (2 ﹣8) (2 +9)
n n n n n n

=4 ,B=2 ,再由 A+B=4 +2 =72,求得 2 的值,可得 n

n

n

n

n

n

=0, n ∴2 =8,n=3, 故选:A. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,注意各系数之和,与各二项式系数之和的区别, 属于基础题.

10. (5 分)如图所示,某三棱锥的三视图均为边长为 1 的正方形,则该三棱锥的体积是()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,该几何体可看成边长为什么的正方体内截出的正四面体. 解答: 解:该几何体可看成边长为什么的正方体内截出的正四面体, 则其体积 V=1﹣4× ×( ×1×1)×1= , 故选 C. 点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力. 11. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 xf′(x)+f(x)>0,当 0<a<b<1 时,下面 选项中最大的一项是() b b a a A.a f(a ) B.b f(b ) C.logab?f(logab) D.logba?f(logba) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 通过构造新函数构造函数 F(x)=xf(x)得出 F(x)在 R 上是增函数,在 a ,b , loga(b) ,logb(a)中 logb(a)最大,从而得出答案. 解答: 解:构造函数 F(x)=xf(x) 则 F'(x)=xf'(x)+f(x)>0 即 F(x)在 R 上是增函数, 又由 0<a<b<1 b a 知 a ,b <1 而 loga(b)<loga(a)=1 logb(a)>logb(b)=1 b a 故在 a ,b ,loga(b) ,logb(a)中 logb(a)最大 a?f(logb a) 故 F(logb(a) )=logb 最大 故选 D. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了转化思想,是一道中档题. 12. (5 分)在△ ABC 中,tanA+tanB+tanC>0 是△ ABC 是锐角三角形的() A.既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D.充分不必要条件
b a

考点: 专题: 分析: 解答:

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 根据充分必要条件的定义,分别证明充分性和必要性,从而得出答案. 解:先证充分性: ,

∵tan(A+B)=

∴tan(A+B)=tan(180°﹣C)=﹣tanC, ∴tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC, 若三角形有一个钝角,必有一个值为负值,tanA?tanB?tanC<0, 若三角形有一个为直角,则 tanA?tanB?tanC 无意义, ∴当 tanA?tanB?tanC>0 时三个角为锐角, 故 tanA+tanB+tanC>0 时,△ ABC 是锐角三角形; 再证必要性: ∵△ABC 是锐角三角形; ∴tanA?tanB?tanC>0, 又 tan(A+B)= ,

∴tan(A+B)=tan(180°﹣C)=﹣tanC, ∴tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC>0, ∴△ABC 是锐角三角形时,tanA+tanB+tanC>0. 故选:B. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了三角恒等变换,是一道中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知向量 , 夹角为 60°,且| |=1,|2 ﹣ |=2 ,则| |=4.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算和性质即可得出. 解答: 解:∵|2 ﹣ |=2 ∴ 化为 解得 =4. , ,∴ , =12,

故答案为:4. 点评: 本题考查了数量积运算和性质,属于基础题.

14. (5 分)已知

,则 x +y 的最小值是 .

2

2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可 行域内的点与原点(0,0)构成的线段的长度问题. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 2 2 z=x +y , 表示可行域内点到原点距离 OP 的平方, 当 O 点到直线 2x+y﹣2=0 的距离平方时,z 最小,最小值为 故答案为: . = ,

点评: 本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用 平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.巧妙识别目 标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础, 纵观目标函数包括线性的与非线性, 非线性问 题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规划问题得以深化. 15. (5 分)无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“和谐数”,如 88,545,7337,43534 等都是“和谐数”. 两位的“和谐数”有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的“和谐数”有 101,111,121,131,…,969,979,989,999,共 90 个; 四位的“和谐数”有 1001,1111,1221,…,9669,9779,988,9999,共 90 个; 由此推测:八位的“和谐数”总共有 9000 个. 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 探究型;推理和证明.

分析: 根据“和谐数”的定义和特点,一位的“和谐数”有 10 个,二位的“和谐数”有 9 个,三 位的“和谐数”有 9×10 个,四位的“和谐数”有 9×10 个,五位和六位的“和谐数”总共有 9×10×10 个,位和八位的“和谐数”总共有 9×10×10×10=9000 个,从而得出结论. 解答: 解: 根据“和谐数”的定义, “和谐数”的首位和末尾是相同的, 故两位或两位以上的“和 谐数”的末尾不能为 0,故末尾和首位有 9 种选择,其余的有 10 种选择. 对于位数是偶数的“和谐数”,其中有一半位数确定了,这个数就确定了. 对于位数是奇数的“和谐数”,最中间的那位数字可任意取,有 10 种方法. 故一位的“和谐数”有 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,共 10 个; 二位的“和谐数”有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个;三位的“和谐数”有 101, 111,121,131,…,969,979,989,999,共 9×10=90 个; 四位的“和谐数”有 1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共 9×10=90 个; 故五位和六位的“和谐数”总共有 9×10×10=900 个,七位和八位的“和谐数”总共有 9×10×10×10=9000 个, 故答案为:9000. 点评: 本题主要考查排列、 组合以及两个基本原理的应用, 注意理解“和谐数”的定义和特点, 属于中档题. 16. (5 分)三个半径均为 3 且两两外切的球 O1、O2、O3 放在水平桌面上,现有球 I 放在桌面 上与球 O1、O2、O3 都外切,则球 I 的半径是 1. 考点: 球内接多面体. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,球心 I 到平面 O1O2O3 的距离为 3﹣r,|O1I|=3+r,由勾股定理可得方程,解 方程即可得出结论. 解答: 解:设球 I 的半径是 r,则|O1I|=3+r, 由题意,球 I 放在桌面上与球 O1、O2、O3 都外切, ∴球心 I 到桌面的距离为 r,球心 O1 到桌面的距离为 3, ∴球心 I 到平面 O1O2O3 的距离为 3﹣r, 2 2 2 则由勾股定理可得(3+r) =(3﹣r) +(2 ) , ∴r=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查球与球的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础. 三、解答题 17. (12 分)已知数列{an}满足 an=2an﹣1+1 (n≥2) 且 a1=1,bn=log2(a2n+1+1) , 证: (Ⅰ)数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{cn}的前 n 项和 . .求

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列.

分析: (Ⅰ)把已知的等式 an=2an﹣1+1 变形,得到 an+1=2(an﹣1+1) ,同时求出当 n=2 时得 到 a2+1=2(a1+1) ,将 a1 的值代入求出 a2+1 的值,确定出数列{an+1}以 2 为首项,2 为公比的 等比数列,表示出等比数列的通项公式,可得出 an 的通项公式; (Ⅱ)确定数列{cn}的通项,利用裂项法求和,即可得出结论. 解答: 证明: (Ⅰ)∵an=2an﹣1+1, ∴an+1=2(an﹣1+1) , 令 n=2 得:a2+1=2(a1+1) ,又 a1=1, ∴a2+1=4,a1+1=2, ∴数列{an+1}以 2 为首项,2 为公比的等比数列, n n 则通项公式为 an+1=2 ,即 an=2 ﹣1,…(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn=log2(a2n+1+1)=2n+1, = ( ﹣ ) ,

所以 Sn= [(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣

)]= (1﹣

)< .

…(12 分)

点评: 此题考查了等比数列的性质,等比数列的通项公式,以及等比数列的确定,考查裂 项法求和,熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键. 18. (12 分)如图所示,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2,CD=1,侧面 PBC⊥底面 ABCD,点 F 在线段 AP 上,且满足 (1)证明:PA⊥BD; (2)当 λ 取何值时,直线 DF 与平面 ABCD 所成角为 30°? .

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;向量语言表述线线的垂直、平行关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)先证明 PO⊥平面 ABCD,再建立空间直角坐标系,利用向量的数量积为 0,可 证得 PA⊥BD; (2)利用平面 ABCD 的一个法向量 =(0,0,1) ,直线 DF 与平面 ABCD 所成角为 30°,根 据向量的夹角公式,即可求得结论. 解答: (1)证明:如图,∵△PBC 是等边三角形,O 是 BC 中点,∴PO⊥BC. 由侧面 PBC⊥底面 ABCD,得 PO⊥平面 ABCD, 以 BC 中点 O 为原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系 O﹣xyz. ∵AB=BC=PB=PC=2CD=2, ∴A(1,﹣2,0) ,B(1,0,0) ,D(﹣1,﹣1,0) ,P(0,0, ) ∴

∴ ∴ ∴PA⊥BD; (2)解:∵ ∴ ∵ ∴ = ,

∵平面 ABCD 的一个法向量 =(0,0,1) ,直线 DF 与平面 ABCD 所成角为 30° ∴sin30°=| ∴4λ ﹣16λ+7=0 ∴ , (舍去)
2

|

∴λ= 时,直线 DF 与平面 ABCD 所成角为 30°.

点评: 本题考查线线垂直,考查线面角,考查李建勇空间向量解决立体几何问题,属于中 档题. 19. (12 分)甲乙两位同学参加学校安排的 3 次体能测试,规定按顺序测试,一旦测试合格就 不必参加以后的测试,否则 3 次测试都要参加.甲同学 3 次测试每次合格的概率组成一个公 差为 的等差数列,他第一次测试合格的概率不超过 ,且他直到第二次测试才合格的概率为 ,乙同学 3 次测试每次测试合格的概率均为 ,每位同学参加的每次测试是否合格相互独 立. (Ⅰ)求甲同学第一次参加测试就合格的概率 P; (Ⅱ)设甲同学参加测试的次数为 m,乙同学参加测试的次数为 n,求 ξ=m+n 的分布列. 考点: 离散型随机变量及其分布列.

专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由甲同学 3 次测试每次合格的概率组成一个公差为 的等差数列,又甲同学第 一次参加测试就合格的概率为 P, 故而甲同学参加第二、 三次测试合格的概率分别是 p+ 、 p+ , 由题意知, (1﹣p) (p+ )= ,由此能求出甲同学第一次参加测试就合格的概率.

(Ⅱ)甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是 、 ,由题意知,ξ 的可能取值为 2,3, 4,5,6,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ=m+n 的分布列. 解答: 解: (Ⅰ)由甲同学 3 次测试每次合格的概率组成一个公差为 的等差数列, 又甲同学第一次参加测试就合格的概率为 P, 故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是 p+ 、p+ , 由题意知, (1﹣p) (p+ )= ,解得 p= 或 p= (舍) ,

所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为 .…(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是 、 , 由题意知,ξ 的可能取值为 2,3,4,5,6,由题意可知 P(ξ=2)= P(ξ=3)= P(ξ=4)= P(ξ=5)=( P(ξ=6)= 所以 ξ 的分布列为: ξ 2 3 P …(12 分) 点评: 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列的求法, 是中档题, 在历年 2015 届高考中都是必考题型. )×( )+( = )×( , )= , = , = , = ,

4

5

6

20. (12 分)如图,椭圆 E:

=1(a>b>0)的右焦点 F2 与抛物线 y =4

2

x 的焦点重

合, 过 F2 作与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 S、 T 两点, 与抛物线交于 C、 D 两点, 且 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 若过点 M (3, 0) 的直线 l 与椭圆 E 交于两点 A、 B, 设 P 为椭圆上一点, 且满足 (O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. + =t



考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由焦点 F2( ,0) ,故可设椭圆的方程为 ,求出 C,D 的坐标,

由抛物线与椭圆的对称性,可得 S(

, ) ,代入椭圆方程,即可求椭圆 E 的方程; + =t ,求出

(Ⅱ)分类讨论,设出直线的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合 P 的坐标,代入椭圆方程,求出实数 t 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由抛物线方程,得焦点 F2(

,0) ,故可设椭圆的方程为



解方程组

解得 C(

,2

) ,D(

,﹣2

) ,

由抛物线与椭圆的对称性,可得:

=

,所以|F2S|= ,所以 S(

, ) .

因此

,解得 b=1,故而 a=2, .

所以椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设其为 k. ①当 k=0 时,所以 t=0; ②当 k≠0 时,则直线 l 的方程为 y=k(x﹣3) , 2 2 2 2 代入椭圆方程,消去 y 并整理得: (1+4k )x ﹣24k x+36k ﹣4=0,

由△ >0,得 0<k < ,

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) ,则 x1+x2=

,x1x2=



因为

+

=t

,所以(x1+x2,y1+y2)=t(x0,y0) , ,y0= .

所以 x0= (x1+x2)=

因为点 P 在椭圆上,所以[ 解得 t =9﹣
2 2

] +[

2

] =4,

2


2

由于 0<k < ,故而 0<t <4,所以 t∈(﹣2,0)∪(0,2) , 综合①②可知,t∈(﹣2,2) . 点评: 本题重点考查圆锥曲线的方程,考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题的关键是利 用待定系数法求圆锥曲线的方程. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x(lnx+1) (x>0) . (Ⅰ)设 F(x)=ax +f'(x) (a∈R) ,讨论函数 F(x)的单调性; (Ⅱ)若斜率为 k 的直线与曲线 y=f′(x)交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (x1<x2)两点,求 证:x1< <x2.
2

考点: 利用导数研究函数的单调性;不等式的证明. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: (Ⅰ)求出函数 f(x)的导函数,代入函数 F(x)=ax +f'(x) (a∈R) ,进一步求出 函数 F(x)的导函数,然后分 a≥0 和 a<0 分析导函数在不同区间内的符号,从而得到函数 F (x)的单调性; (Ⅱ)由两点式求出 ,利用分析法得到证

,转化为证

,换元后构造函数,利用导函数得到

单调性,从而得到要证的结论. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=x(lnx+1) (x>0) ,得 f′(x)=lnx+2(x>0) , F(x)=ax +lnx+2(x>0) ,∴
2

(x>0) .

①当 a≥0 时,恒有 F′(x)>0,故 F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F′(x)>0,得 2ax +1>0,解得 令 F′(x)<0,得 2ax +1<0,解得
2 2

; ;

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在( )上单调递增,在( )上单调递减;

(Ⅱ)



要证

,即证



等价于证

,令



则只要证 1<

,由 t>1,知 lnt>0,故等价于 lnt<t﹣1<tlnt(t>0) (*) (t≥1) ,

①设 g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1) ,则

故 g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即 t﹣1>lnt, ②设 h(t)=tlnt﹣(t﹣1) (t≥1) ,则 h′(t)=lnt≥0(t≥1) , 故 h(t)在[1,+∞)上是增函数. ∴当 t>1 时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即 t﹣1(t>1) . 由①②知(*)成立,故 .

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式的证明,考查了分类讨论的 数学思想方法和数学转化思想方法,训练了函数构造法,解答的关键在于正确分类,是有一定 难度题目. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 的中点,连接 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F,连接 CE. (Ⅰ)求证:AC 为⊙O 的直径. (Ⅱ)求证:AG?EF=CE?GD.

考点: 圆周角定理;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 证明题. 分析: ( I)要证 AC 为⊙O 的直径,只需证出=90°即可.∠ABC 连接 DG,AB,根据圆周 角定理得出∠ABD=∠AGD=90°后,则可得到证明. (Ⅱ)要证 AG?EF=CE?GD,可考虑证明△ AGD∽△ECF.两三角形均为直角三角形,再通 过∠GAD=∠GAB=∠BCE,则可证出△ AGD∽△ECF. 解答: 证明: ( I)连接 DG,AB ∵AD 为⊙M 的直径 ∴∠ABD=∠AGD=90° 在⊙O 中,∠ABC=∠AEC=∠ABD=90° ∴AC 为⊙O 的直径. …(4 分) ( II)∵∠AEC=90° ∴∠CEF=90° ∵点 G 为弧 BD 的中点 ∴∠GAD=∠GAB, 在⊙O 中,∠BCE=∠GAB ∴△AGD∽△ECF ∴AG?EF=CE?GD…(10 分)

点评: 本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理.在以圆为背景的条件下,要充分 利用圆的几何性质、圆周角定理,弦切角定理等,寻求相等角实现转化与代换. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (10 分)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C: ρsin θ=2acosθ(a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为 曲线 C 分别交于 M,N. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.
2

,直线 l 与

考点: 直线的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)利用极坐标化为直角坐标方程的公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可得曲线 C 的方程;消 去参数 t 即可得到直线 l 的方程; (2)把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系,利用两点间的距离公式和等比数 列的定义即可得出. 解答: 解: (1)由曲线 C:ρsin θ=2acosθ(a>0) ,可得 ρ sin θ=2aρcosθ,化为 y =2ax. 由直线 l 的参数方程为 ,消去参数 t 可得直线 l:y=x﹣2.
2 2 2 2

(2)联立
2



化为 x ﹣(4+2a)x+4=0, ∵直线 l 与抛物线相交于两点, ∴△=(4+2a) ﹣16>0,解得 a>0 或 a<﹣4. (*) ∴x1+x2=4+2a,x1x2=4. ∴|MN|= = = ,|PN|= . = .
2

∴|PM||PN|=2|(x1+2) (x2+2)|=2|x1x2+2(x1+x2)+4| =2|16+4a| ∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列, ∴|MN| =|PM||PN|, ∴ =2|16+4a|,
2

化为 a(4+a)=|4+a|, ∵a>0 或 a<﹣4. 解得 a=1. ∴a=1. 点评: 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物 线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、 两点间的距离公式 和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法,属于难题. 选修 4-5:不等式选讲 24. (10 分)设 a>0,b>0,m>0,n>0. 2 4 4 2 3 3 (Ⅰ)证明: (m +n ) (m +n )≥4m n ; 2 2 2 2 (Ⅱ)a +b =5,ma+nb=5,求证:m +n ≥5. 考点: 不等式的证明. 专题: 综合题;不等式. 分析: (Ⅰ)利用基本不等式,即可得出结论;

(Ⅱ)利用柯西不等式即可得出. 解答: 证明: (Ⅰ)因为 m>0,n>0, 则 m +n ≥2mn ,m +n ≥2m n, 2 4 4 2 3 3 所以(m +n ) (m +n )≥4m n , 当且仅当 m=n=1 时,取等号. …(5 分) 2 2 2 2 2 (Ⅱ)由柯西不等式可得: (m +n ) (a +b )≥(ma+nb) , 2 2 ∵a +b =5,ma+nb=5, 2 2 ∴5(m +n )≥25, 2 2 ∴m +n ≥5,当且仅当 na=mb 时取等号.…(10 分) 点评: 本题考查了基本不等式、柯西不等式的应用,属于基础题.
2 4 2 4 2 2



更多相关文章:
云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
(Ⅱ)a +b =5,ma+nb=5,求证:m +n ≥5. 云南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题 12 小题,...
云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
(Ⅱ)a +b =5,ma+nb=5,求证:m +n ≥5. 云南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题 12 小题,...
云南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷
[0,1]恒成立,求实数 a 的范围. 2014-2015 学年云南师大附中高三(上)第一次月考数学 试卷(理科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分...
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。湖南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理科)一、选择...
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。湖南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理科)一、选择题(本大题...
云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
(Ⅱ)a +b =5,ma+nb=5,求证:m +n ≥5. 2 ,直线 l 与 云南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共...
云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
(Ⅱ)a +b =5,ma+nb=5,求证:m +n ≥5. 2 ,直线 l 与 云南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共...
云南师大附中2015届高考适应性月考卷(二)理科数学试卷及参考答案
云南师大附中2015届高考适应性月考卷(二)理科数学试卷及参考答案_数学_高中教育_教育专区。云南师大附中2015届高考适应性月考卷(二)理科数学试卷及参考答案 ...
2015届云南师大附中第五次月考理科(有答案)
2015届云南师大附中次月考理科(有答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。云南师范大学附属中学2015届第次月考(部分学校期末考)试题,有答案 ...
湖南师大附中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)
湖南师大附中 2015 届高三上学期第次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是...
更多相关标签:
云南师大附中    云南师大附中官网    云南师大附中呈贡校区    云南师大附中月考卷    云南师大附中网站    2017云南师大附中月考    云南省师大附中    云南师大附中校花    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图