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福建省厦门市2014届高三5月适应性考试数学(理)



2014 年高中毕业班适应性考试 数学(理科)试题
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、 班级、学号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分 钟.

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

/>一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题所给的四个答案中有且只有 一个答案是正确的.请将答案填涂在答题卡的相应位置. 1.已知集合 A ? ?? 1, i?, i 为虚数单位,则下列选项正确的是 A. ? A

1 i

B.

1? i ?A 1? i

C. i 5 ? A

D. ? i ? A
否 是

2. “ a ? b, c ? d ”是“ a ? c ? b ? d ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.已知 a ? {2,3} , b ? {1, 2,3} ,执行右边程序框图,则输出的结果共有
(第 3 题图)

A.3 种

B.4 种
2

C.5 种

D.6 种

4 .已知服从正态分布 N ( ? , ? ) 的随机变量在区间 ( ? ? ? , ? ? ? ) , ( ? ? 2? , ? ? 2? ) 和

( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内取值的概率分别为 68.3%,95.4%和 99.7%.某校高一年级 1000 名学生
的某次考试成绩服从正态分布 N (90,15 ) ,则此次成绩在(60,120)范围内的学生大约有 A.997 人 B.972 人 C.954 人 D.683 人
2

5.设 f ( x) 是周期为 4 的奇函数,当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x(2 ? x) ,则 f (?5) 等于 A. 1 B. ?1 C.3 D. ?3 6.甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是 A.16 B.12 C.8 D.6 7.数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,前 n 项积为 ? n ,且 ? n ? ( 2)
n ( n ?1)

,则 S5 等于

A.31 B.62 C.124 D.126 8.在 ?ABC 中, AD 是 BC 边上的高,给出下列结论: ① AD ? ( AB ? AC ) ? 0 ; ② AB ? AC ? 2 AD ; ③ AC ?

AD AD

? AB sin B ;

其中结论正确的个数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3
D1 C1 B1

9.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为线段 A1 B 上的动点, 则下列结论错误 的是 .. A. DC1 ? D1 P C. ?APD1 的最大值为 90 0 B.平面 D1 A1 P ? 平面 A1 AP

A1

D A

P B

C

D. AP ? PD1 的最小值为 2 ?

2

(第 9 题图)

10.已知圆 O1 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 16 和圆 O2 : x 2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 2) ,动圆 M 与圆 O1 ,圆 O2 都相切, 动圆的圆心 M 的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为 e1 ,e2( e1 ? e2 ) ,则 e1 ? 2e2 的 最小值是 A.
3? 2 2 4

B.

3 2

C. 2

D.

3 8

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填写在答题卡的相应位置. 11.把函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 3 个单位后,得到函数 f ( x) 的图象,则函数 f ( x) 的 解析式为 . 12. 甲、 乙两个小组各 10 名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示. 现从这 20 名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件 A; “抽出的学生英 语口语测试成绩不低于 85 分”记为事件 B.则 P(A|B)的值是 . 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 是 .

?? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0,
x ?e ,

x ? 0.

则 满 足 f ( x) ? 1 的 实 数 x 的 取 值 范 围

(第 12 题图)

? x ? 0, ? ? 2 2 14.设不等式组 ? y ? 2, 表示区域为 D ,且圆 x ? y ? 4 在 D 内的弧长为 ,则实 2 ?ax ? y ? 2 ? 0 ?
数 a 的值 等于 .

15.A、B 两地相距 1 千米,B、C 两地相距 3 千米,甲从 A 地出发,经过 B 前往 C 地,乙同时 从 B 地出发,前往 C 地.甲、乙的速度关于时间的关系式分别为 v1 (t ) ? 千米/小时) .甲、乙从起点到终点的过程中,给出下列描述: ①出发后 1 小时,甲还没追上乙 ③甲追上乙后,又被乙追上,乙先到达 C 地 ② 出发后 1 小时,甲乙相距最远 ④甲追上乙后,先到达 C 地
4 和 v2 (t ) ? t (单位: t ?1

其中正确的是 . (请填上所有描述正确的序号) 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.请 在答题卡的相应位置作答. 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin( x ?

?
6

) cos x ? 1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,且 f ( A) ? 1 , B ? 17. (本小题满分 13 分) 如图 1,直角梯形 ABCD 中, AB // CD, ?BAD ? 90 0 , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,点 E 为 线段 AB 上异于 A, B 的点,且 EF // AD ,沿 EF 将面 EBCF 折起,使平面 EBCF ? 平面

?
4

,又 AC ? 2 ,求 BC 边的长.

AEFD ,如图 2.
(Ⅰ)求证: AB // 平面 DFC ; (Ⅱ) 当三棱锥 F ? ABE 体积最大时, 求平面 ABC 与平面 AEFD 所成的锐二面角的余弦值. C C F D F B B E (图 1) 18. (本小题满分 13 分) 已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 经过椭圆 ? : (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的射线 l 与椭圆 ? 在第一象限的交点为 Q ,与圆 C 的交点为 P , M 为 OP 的 中点,
B y
2 2

D

A

E (图 2) (第 17 题图)

A

x y ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 和上顶点 B . a 2 b2

求 OM ? OQ 的最大值.

C P F Q x

M O

(第 18 题图)

19. (本小题满分 13 分) 自驾游从 A 地到 B 地有甲乙两条线路,甲线路是 A-C-D-B,乙线路是 A-E-F-G-H-B,其中 CD 段, EF 段,GH 段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及 平均堵车时间如表 1 所示. 堵车时间(单位:小时) [0,1] (1, 2] (2, 3] (3, 4] (4, 5] (表 1) 堵车概率 平均堵车时间 (单位:小时) CD 段 EF 段 GH 段 (表 2) 频数 8 6 38 24 24

x a
2 3

y
2

1 4
1

经调查发现,堵车概率 x 在 ( ,1) 上变化, y 在 (0, ) 上变化. 在不堵车的情况下,走甲线路需汽油费 500 元,走乙线路需汽油费 545 元.而每堵车 1 小时, 需多花汽油费 20 元.路政局为了估计 CD 段平均堵车时间,调查了 100 名走甲线路的司机, 得到表 2 数据. (Ⅰ)求 CD 段平均堵车时间 a 的值; (Ⅱ)若只考虑所花汽油费的期望值大小,为了节约,求选择走甲线路的概率.

1 2

20. (本小题满分 14 分)

cos x ( x ? 0) , g ( x) ? sin x ? ax( x ? 0) . x cos x (Ⅰ) 函数 f ( x) ? 记为数列 {xn } , 求 {xn } 的前 n 项和 S n ; ( x ? 0) 的零点从小到大排列, x
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 在 x ? (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设点 P 是函数 ? ( x) 与 ? ( x) 图象的交点,若直线 l 同时与函数 ? ( x) ,? ( x) 的图象相切 于 P 点,且 函数 ? ( x) , ? ( x) 的图象位于直线 l 的两侧,则称直线 l 为函数 ? ( x) , ? ( x) 的分切线.

探究: 是否存在实数 a , 使得函数 f ( x) 与 g ( x) 存在分切线?若存在, 求出实数 a 的值, 并写出分切线方程;若不存在,请说明理由.

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选两题作答,共 14 分.如果 多做,则按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知在矩阵 M 对应的变换作用下,点 A(1,0)变为 A′ (1,0),点 B(1,1)变为 B′ (2,1). (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)求 M , M ,并猜测 M (只写结果,不必证明) .
2 3 n

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的 极坐标方程为 ? sin ?

0 ?? ?? ) .

? x ? 1 ? cos α, 3 ?? ? ,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, ?? ? ? ?3 ? 2 ? y ? sin α

(Ⅰ)写出直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? 3 , a 2 ? b 2 ? c 2 的最小值为 M . (Ⅰ)求 M 的值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 1|? M .

2014 年高中毕业班适应性考试数学(理科)试题 参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题所给的四个答案中有且只有 一个答案是正确的.请将答案填涂在答题卡的相应位置. 1~10:CABCB ABDCA 9.提示: DC1 ? 面 A1 BCD1 ,∴A 正确; D1 A1 ? 面 ABB1 A1 ,∴B 正确;当 0 ? A1 P ?

2 2

时, ?APD1 为钝角,∴C 错;将面 AA1 B 与面 ABB1 A1 沿 A1 B 展成平面图形,线段 A1 D 即 为 AP ? PD1 的最小值,解三角形易得 A1 D = 2 ?

2 , ∴D 正确.故选 C.

?| MO1 |? 4 ? R 2 10.提示:①动圆与两定圆都内切时: ? ?| MO1 | ? | MO2 |? 4 ? r ,所以 e ? 4?r ?| MO2 |? R ? r ?| MO1 |? 4 ? R 2 ②动圆与两定圆分别内切,外切时: ? ?| MO1 | ? | MO2 |? 4 ? r ,所以 e ? | MO | ? R ? r 4 ? r ? 2
0 ? r ? 2,? e1 ? 2 2 ? e2 ? 4?r 4?r

处理 1:

1 1 ? ? 4 ,再用均值求 e1 ? 2e2 的最小值 e1 e2
2 4 ? ? 4?r 4?r



处理 2: e1 ? 2e2 ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填写在答题卡的相应位置. 11. f ( x) ? sin(2 x ? 6) 14. 1 ? 2 15.④
x 0

12.

5 9

13. (??, 0] [2, ??)

15.提示:经过 x 小时,甲乙走过的路程分别为 S1 ? ? (

4 )dt ?4 ln( x ? 1) , t ?1

S2 ? ? tdt ?
0

x

x2 x2 ? 3 ? x ? 6 ,所以甲先到达; ,令 4ln( x ? 1) ? 4 ? x ? e ? 1 , 2 2

x2 x2 ,设 F ( x) ? 4ln( x ? 1) ? 1 ? … 2 2 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.请 在答题卡的相应位置作答. 16.本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形等基础知识;考查学生运算 求解能力;考查数形结合思想和分类整合思想.满分 13 分.
令 4ln( x ? 1) ? 1 ? 解:(Ⅰ) f ( x) = 4sin( x -

3 1 p ) cos x + 1 = 4( sin x - cos x) cos x + 1 -----------1 分 2 2 6

= 2 3 sin x cos x - 2cos 2 x + 1 =
= 2sin(2 x -

3 sin 2 x - cos 2 x

-------------------3 分

p --------------------4 分 ) 6 p p p 令 2k p -----------------------5 分 ? 2x ? 2k p (k Z ) 2 6 2 p p 解得 k p - #x k p + (k Z) 6 3 p p ∴函数 f ( x) 的递增区间是 [k p , k p + ] (k Z) . --------------------------6 分 6 3 p 1 p p ( Ⅱ ) 由 f ( A) = 1 得 , sin(2 A - ) = , ∵ 0 < A < p , ∴ A = 或 A= . -------8 分 6 2 6 2 p (1)当 A = 时,由正弦定理得, 6 p 2sin BC AC AC × sin A 6 = 2 ; ---------------------------------10 分 = ? BC = p sin A sin B sinB sin 4 p (2) 当 A = 时,由正弦定理得, 2 p 2sin BC AC AC × sin A 2 = 2 2 . ----------------------------------12 分 = ? BC = p sin A sin B sinB sin 4
综上, BC =

2 或 BC = 2 2 .

------------------------------------------------------13 分

17.本题考查立体几何中的线面、面面关系,空间角,空间向量在立体几何中的应用等基础 知识; 考查运算求解能力、 空间想象能力; 考查数形结合思想、 化归与转化等数学思想. 满 分 13 分. (Ⅰ)证明:∵ BE // CF , BE ? 面 DFC , CF ? 面 DFC , ∴ BE // 面 DFC , --------------------2 分 同理 AE // 面 DFC , --------------------3 分 又 BE ? AE ? E ,∴面 ABE // 面 DFC , --------------------4 分 又 AB ? 面 ABE ,∴ AB // 面 DFC . --------------------5 分 (Ⅱ)法一:∵面 EBCF ? 面 AEFD ,又 CF ? EF ,面 EBCF ? 面 AEFD ? EF , ∴ CF ? 面 AEFD . 以 FE 所在直线为 x 轴, FD 所在直线为 y 轴, FC 所在直线为 z 轴,建立 空间直角坐标系 F ? xyz , -----------------------7 分 设 AE ? x(0 ? x ? 2) ,则 EB ? 2 ? x ,

1 1 1 1 1 S ?ABE ? EF ? ? x(2 ? x) ? 2 ? ? ( x ? 1) 2 ? , 3 3 2 3 3 ∴当 x ? 1 时,三棱锥 F ? ABE 体积最大. -----------------------9 分 VF ? ABE ?
∵ A(2,1,0), B (2,0,1), C (0,0,3) , ∴ CB ? (2,0,?2), CA ? (2,1,?3) , ---------10 分

? ? ? x0 ? z 0 ? 0 ? ?CB ? m ? 0 设平面 CBA 的法向量 m ? ( x 0 , y 0 , z 0 ) , ? , ∴? , ? 2 x0 ? y 0 ? 3z 0 ? 0 ? ? CA ? m ? 0 ? ? 令 x 0 ? 1 ,得平面 CBA 的一个法向量 m ? (1,1,1) , -------------------------11 分
又面 AEFD 的一个法向量为 FE ? (0,0,2) ,

? m ? FE 2 3 ? ∴ cos ? m, FE ?? , ? ? ? 3 3?2 m ? FE
∴平面 ABC 与平面 AEFD 所成锐二面角的余弦是

--------------------------12 分

3 . 3

--------------------13 分

法二:∵面 EBCF ? 面 AEFD ,又 CF ? EF ,面 EBCF ? 面 AEFD ? EF , ∴ CF ? 面 AEFD 以 FE 所在直线为 x 轴, FD 所在直线为 y 轴, FC 所在直线为 z 轴,建立空间直 角坐标系 F ? xyz . -------------------------2 分 设 AE ? x(0 ? x ? 2) ,则 EB ? 2 ? x . (Ⅰ) A(2, x,0), B (2,0, ,2 ? x), AB ? (0,? x,2 ? x) , 面 DCF 的一个法向量为 FE ? (2,0,0) , -------------------------3 分 ---------------------------4 分

AB ? FE ? 2 ? 0 ? (? x) ? 0 ? (2 ? x) ? 0 ? 0 ,∴ AB ? FE ,又 AB ? 面 DFC , ∴ AB // 面 DFC . --------------------------7 分
(Ⅱ)同法一. 18.本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识,考查直线与圆锥曲线的位 置关系;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合、化归与转化及函数与方程 等数学思想.满分 13 分. 解: (Ⅰ)在 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 中, 令 y ? 0 得 F (2, 0) ,即 c ? 2 ,令 x ? 0 ,得 B(0, 2) ,即 b ? 2 , 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 8 ,∴椭圆 ? : -------------------2 分 ------------------4 分

x y ? ?1. 8 4

2

2

(Ⅱ)法一:依题意射线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx( x ? 0, k ? 0) ,设 P( x1 , kx1 ), Q( x2 , kx2 ) -5 分

? y ? kx 2 2 ? 2 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8 ,∴ x2 ? . ?x y2 ? ? 1 1 ? 2k 2 ? 4 ?8

---------------6 分

? y ? kx 2 ? 2k 得: (1 ? k 2 ) x 2 ? (2 ? 2k ) x ? 0 ,∴ x1 ? , ? 2 2 1? k2 ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2

---------7 分

∴ OM ? OQ ? (

x1 kx1 1 1? k , ) ? ( x2 , kx2 ) ? ( x1 x2 ? k 2 x1 x2 ) ? 2 2 (k ? 0) . 2 2 2 1 ? 2k 2

-------9 分

?2 2

(1 ? k ) 2 k 2 ? 2k ? 1 . ?2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

设 ? (k ) ?

k 2 ? 2k ? 1 ?4k 2 ? 2k ? 2 / , , ? ( k ) ? (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2
?4k 2 ? 2k ? 2 1 ? 0 ,得 ?1 ? k ? . (1 ? 2k 2 ) 2 2

令 ? / (k ) ?

1 1 又 k ? 0 ,∴ ? (k ) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减. 2 2

-----------11 分 -------13 分 ---5 分

∴当 k ?

1 1 3 时, ? (k ) max ? ? ( ) ? ,即 OM ? OQ 的最大值为 2 3 . 2 2 2

法二:依题意射线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx( x ? 0, k ? 0) ,设 P( x1 , kx1 ), Q( x2 , kx2 )

? y ? kx 2 2 ? 2 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8 ,∴ x2 ? . ?x y2 ?1 1 ? 2k 2 ? ? 4 ?8
OM ? OQ ? (OC ? CM ) ? OQ ? OC ? OQ

---------------6 分

= (1,1) ? ( x2 , kx2 ) ? (1 ? k ) x2 ? 2 2
(1 ? k ) 2 . 1 ? 2k 2

1? k 1 ? 2k 2

(k ? 0)

---------------9 分

?2 2

设 t ? 1 ? k (t ? 1) ,则

(1 ? k ) 2 t2 1 1 3 ? ? ? ? . 2 2 1 ? 2k 2t ? 4t ? 3 2 ? 4(1) ? 3(1) 2 3[(1) ? 2 ]2 ? 2 2 t t t 3 3

1 2 当且仅当 ? , 即 [OM ? OQ]max ? 2 3 . t 3

法三:设点 Q( x0 , y0 ) , x0 ? 0, y0 ? 0 ,
OM ? OQ ? (OC ? CM ) ? OQ ? OC ? OQ = (1,1) ? ( x0 , y0 ) ? x0 ? y0 .

--------------------6 分 -----------------7 分



x0 2 y0 2 ? ?1, 8 4 x0 2 y0 2 ? ? 1 联立得: 3x0 2 ? 4bx0 ? 2b 2 ? 8 ? 0 . 8 4

设 b ? x0 ? y0 与

--------------9 分

令 ? ? 0 ? 16b 2 ? 12(2b 2 ? 8) ? 0 ? b ? ?2 3 . 又点 Q( x0 , y0 ) 在第一象限,∴当 x0 ?

----------------------11 分

8 3 时, OM ? OQ 取最大值 2 3 . -----13 分 3 19.本题考查利用频率分布表求平均数,相互独立事件同时发生的概率,离散型随机变量分 布列,数学期望,几何概型等基础知识;考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解 决实际问题的能力,以及运算求解能力;考查数形结合数学思想方法. 满分 13 分.

解: (Ⅰ) a ? 0.5 ?

8 6 38 24 24 ------------2 分 ? 1.5 ? ? 2.5 ? ? 3.5 ? ? 4.5 ? 100 100 100 100 100 4 9 95 84 108 ----------------4 分 ? 3. ? ? ? ? ? 100 100 100 100 100 (Ⅱ)设走甲线路所花汽油费为 ? 元, 则 E? ? 500(1 ? x) ? (500 ? 60) x ? 500 ? 60 x . ----------------5 分 法一:设走乙线路多花的汽油费为? 元,∵ EF 段与 GH 段堵车与否相互独立, 1 1 ∴ P (? ? 0) ? (1 ? y )(1 ? ) , P(? ? 20) ? (1 ? y ) ? , 4 4 1 1 ----------------7 分 P(? ? 40) ? y (1 ? ) , P(? ? 60) ? y , 4 4 1 1 1 1 ? E? ? 0 ? (1 ? y )(1 ? ) ? 20 ? (1 ? y ) ? 40 ? y (1 ? ) ? 60 ? y ? 40 y ? 5 . ----8 分 4 4 4 4
∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为 E (545 ? ? ) ? 545 ? E? ? 550 ? 40 y .--9 分 依题意,选择走甲线路应满足 (550 ? 40 y ) ? (500 ? 60 x) ? 0 , ------------10 分

2 1 ? x ?1 , 0 ? y ? , 3 2 2 1 1 5 1 (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 3 2 2 6 4 ?7. ? P (选择走甲线路) ? 2 1 8 (1 ? ) ? 3 2
即 6 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,又 ----------------13 分 法二:在 EF 路段多花汽油费的数学期望是 20 ? 2 y ? 40 y 元, 在 GH 路段多花汽油费的数学期望是 20 ? 1? 因为 EF、GH 路段堵车与否相互独立, 所以走乙路线多花汽油费的数学期望是 40 y ? 5 元. ----------------8 分 ---------------6 分 ----------------7 分

1 ? 5 元, 4

以下解法同法一. 20.本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识;考查运算求解能力、等价转 化能力;考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法.满分 14 分. 解: (Ⅰ)∵ ∴ xn ? ∴ Sn ?

?

cos x ? 0, x ? 0 x ? (n ? 1)? ,

∴ cos x ? 0

∴x ?

?
2

? k? , k ? Z . -------------1 分
----------------2 分

2

n? n(n ? 1)? n 2? ? ? . 2 2 2

----------------4 分

(Ⅱ)∵ f ( x) ? g ( x) 在 x ? (0, ??) 上恒成立,

∴a ?

x sin x ? cos x 在 x ? (0, ??) 上恒成立. x2

----------------5 分

设 ? ( x) ?

x sin x ? cos x , x2

∴ ? ?( x) ?

cos x( x 2 ? 2) , x3

---------------6 分

∴ ? ( x) 在 (0,

?

3? 5? ? k? , ? k? )(k ? Z ? ) 单调递增, 2 2 ? 1 ∴ ? ( x) 的极大值为 ? ( ? 2k? ) ? (k ? N ) , ? 2 ? 2 k? 2 ? 2 2 ∴ ? ( x) 的最大值为 ? ( ) ? , ∴a ? . 2 ? ? (

? 3? ? 3? ) 单调递增, ( , ) 单调递减, ( ? k? , ? k? )(k ? Z ? ) 单调递增, 2 2 2 2 2

----------------8 分

(Ⅲ)若函数 f ( x) 与 g ( x) 存在分切线,则有“ f ( x) ? g ( x) ”或“ f ( x) ? g ( x) ”在 (0, ??) 上恒成立, ∵当 x ? 0 时, f ( x) ?

cos x ? ?? , g ( x) ? sin x ? ax ? 0 . x
∴ f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 不恒成立. ------------9 分

∴ ?x0 ? (0, ? ) ,使得 f ( x) ? g ( x) ,

∴只能是 f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上恒成立. ∴由(Ⅱ)可知 a ? 当a ?

2

?

, ∵函数 f ( x) 与 g ( x) 必须存在交点, ∴ a ?

2

2

?

时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的交点为 (

?

∴存在直线 y ? ?

x ? 1 在点 ( , 0) 处同时与 f ( x) 、 g ( x) 相切, ? 2 2 ∴猜测函数 f ( x) 与 g ( x) 的分切线为直线 y ? ? x ? 1 .

2

?

? 2 , 0) ,∵ f ?( ) ? ? ? g ?( ) , 2 2 ? 2

? ?

.----10 分

?

----------11 分

证明如下: ①∵ f ( x) ? (?

2

?

x ? 1) ?
2

cos x ?

2

?
x

x2 ? x


设 h( x) ? cos x ?

?
?

x 2 ? x ,则 h?( x) ? ? sin x ?

4

?

x ?1 . ?0.

令 t ( x) ? ? sin x ?

4

x ? 1 ,则有 t ?( x) ? ? cos x ?

4

?
?

∴ h?( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴ h?( x) 在 (0, ??) 上有且只有一个零点. 又∵ h?( ) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0,

?

?

2

) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增, 2 2

∴ h( x) ? h( ) ? 0 ,∴ f ( x) ? ( ? 即 f ( x) ? ?

?

2

2 2

?

x ? 1) ? 0 ,

?

x ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 2

∴函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? ? ②∵ g ( x) ? ( ?

?

x ? 1 的上方.

---------------13 分

2

?

x ? 1) ? sin x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 2

∴函数 g ( x) 的图象恒在直线 y ? ?

?

x ? 1 的下方. 2

∴由此可知,函数 f ( x) 与 g ( x) 的分切线为直线 y ? ? ∴当 a ?

?

x ?1 , 2

2

?

时,函数 f ( x) 与 g ( x) 存在分切线,为直线 y ? ?

?

x ? 1 . ---------14 分

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的乘法等基础知识;考查运算求解能力;函数与方程、 特殊与一般的数学思想.满分 7 分

?a b? ? a b ?? 1 ? ? 1 ? ? a b ??1? ? 2 ? ? ,则 ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? , -------------1 分 ?c d? ? c d ?? 0 ? ? 0 ? ? c d ??1? ? 1 ? ? a ?1 ?a ? 1 ? c?0 ?b ? 1 ? ? ∴? , 解得 ? . -------------2 分 ?a ? b ? 2 ?c ? 0 ? ? ?c ? d ? 1 ?d ? 1 ? 1 1? ∴M ?? ------------------3 分 ?. ? 0 1? ? 1 1?? 1 1? ? 1 2 ? 2 (Ⅱ) M ? ? -------------------4 分 ?? ??? ?, ? 0 1?? 0 1? ? 0 1 ? ? 1 1?? 1 2 ? ? 1 3 ? -----------------6 分 M3 ? M ?M 2 ? ? ?? ??? ?, ? 0 1?? 0 1 ? ? 0 1 ? ?1 n? n 猜测 M ? ? ----------------7 分 ?. ?0 1?
解: (Ⅰ )设 M ? ? (2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查直线的极坐标方程、圆的参数方程及其几何意义、直线与圆的位置关系、 极直互化等基础知识;考查运算求解能力;数形结合思想.满分 7 分.

? 3 ? 3 1 3 ?? ? ,∴ ? ? ----------------1 分 ?? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? 2 ? 2 , 2 ?3 ? 2 ? ? 3 1 3 ∴ x? y ? , 即所求直线 l 的直角坐标方程为 3 x ? y ? 3 ? 0 . ----------3 分 2 2 2 2 (Ⅱ)曲线 C 的直角坐标方程为: ? x ? 1? ? y 2 ? 1? 0 ? y ? 1? , ---------------4 分
解: (Ⅰ )∵ ? sin ?

? x? ? ? 3 x ? y ? 3 ? 0 ? ? ∴? ,解得 ? 2 2 x ? 1 ? y ? 1 ? ? ?y ? ? ? ? ?

3 1 ? x? ? 2 2 ? 或? (舍去) . 3 ? 3 y?? ? 2 ? 2 ?3 3? 所以,直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标为 ? , . ?2 2 ? ? ? ?

-------------------6 分

-----------------7 分

(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识;考查运算求 解能力;化归与转化、分类与整合的思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ )根据柯西不等式,有: a ? b ? c
2 2

?

2

??1

2

? 12 ? 12 ? ? ? a ? b ? c ? ? 9 ,------1 分
2

∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ,当且仅当 a ? b ? c ? 1 时等号成立. 即 M ? 3. (Ⅱ ) | x ? 4 | ? | x ? 1|? 3 可化为

----------------2 分 -----------------3 分

x ? ?4 x ?1 ? ? ?4 ? x ? 1 ? 或? 或? , -----------5 分 ? ?? ? x ? 4 ? ? ?1 ? x ? ? 3 ? x ? 4 ? ?1 ? x ? ? 3 ? x ? 4 ? ? x ? 1? ? 3 解得, x ?? 或 0 ? x ? 1 或 x ? 1 , ----------------------6 分 所以,综上所述,原不等式的解集为 ? 0, ?? ? . -----------------------7 分



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