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高中数学基础知识大全(全国新课标版)



高中数学基础知识大全(新课标版)
第一部分
线上的点?? 2 .数形结合 是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数 .... 问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决 3.(1) 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . (2)德摩根公式: CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B . (3) A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R 注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况. (4)集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 非空真子集有 2 –2 个. 4. ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
n n

集合

1.理解集合中元素的意义 是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲 .....

个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2

n

n

–1 个;

第二部分

函数

1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ; ⑥利用均值不等式

a?b a2 ? b2 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、 ab ? ? 2 2
x

绝对值的意义等) ;⑧利用函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等) ;⑨平方法;⑩ 导数法 3.复合函数的有关问题: (1)复合函数定义域求法: ① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域. (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函数 u ? g ( x) 与外函数 y ? f (u ) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4.分段函数:值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性: ?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 .... ? f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ; f ( x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) . ?奇函数 f ( x) 在 0 处有定义,则 f (0) ? 0
第 1 页

?在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 ?若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性 6.函数的单调性: ?单调性的定义: ① f ( x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ?单调性的判定:①定义法:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②复合 函数法③图像法 注:证明单调性主要用定义法。 7.函数的周期性: (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) ,则称函数 f ( x) 为周期 函数, T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最 小正周期。 (2)三角函数的周期:① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ; ④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ) : T ? (3)与周期有关的结论:

? 2? ;⑤ y ? tan?x : T ? |? | |? |

f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f ( x) 的周期为 2 a
8.基本初等函数的图像与性质: ㈠.?指数函数: y ? a (a ? 0, a ? 1) ;?对数函数: y ? loga x(a ? 0, a ? 1) ;
x

?幂函数: y ? x

?

( ? ? R) ;?正弦函数: y ? sin x ;?余弦函数: y ? cos x ;

2 (6)正切函数: y ? tan x ;?一元二次函数: ax ? bx ? c ? 0 (a≠0) ;?其它常用函数:

① 正比例函数: y ? kx(k ? 0) ;②反比例函数: y ? ㈡.?分数指数幂: a n ?
b
m n

k a (k ? 0) ;③函数 y ? x ? (a ? 0) x x
?

am ; a

?

m n

?

1 a
m n

(以上 a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?.① a ? N ? loga N ? b ; ③ log a

② loga ?MN ? ? loga M ? loga N ;

M n ? log a M ? log a N ; ④ log am b n ? log a b . N m

?.对数的换底公式: log a N ? 9.二次函数:

log m N log N .对数恒等式: a a ? N . log m a
2 2

?解析式:①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k , ( h, k ) 为顶点;
第 2 页

③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (a≠0). ?二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ? 10.函数图象: ?图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ?图象变换: ① 平移变换:ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-”; ⅱ) y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-”;

? b 4ac ? b 2 b ,顶点坐标是 ? ? ? 2a , 4a 2a ?

? ? ?。 ?

?? y ? ? f (? x) ;ⅱ) y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x) ; ② 对称变换:ⅰ) y ? f ( x) ??
( 0, 0 )

y ?0

? x ? f ( y) ; ⅲ) y ? f ( x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ) y ? f ( x) ???
③ 翻折变换: ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻( f ( x) 在 y 左侧图象去掉) ; ⅱ) y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(| f ( x) |在 x 下面无图象) ; 12.函数零点的求法: ?直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;?图象法;?二分法. (4)零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

x ?0

y?x

第三部分

三角函数、三角恒等变换与解三角形
?

? 1.?角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180 , 1 ?

?
180

弧度, 1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57?18'

?弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ?

1 1 lR ? ?R 2 。 2 2

2.三角函数定义:角 ? 终边上任一点(非原点)P ( x, y ) ,设 | OP |? r 则: sin ? ? y , cos ? ? x , tan ? ? y r r x 3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; (简记为“全 s t c” ) 4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限” 5.? y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴:令 ? x ? ? ? k? ?

?
2

,得 x ? ? ;

对称中心: (

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ; ?
?
2 ?? ,0)(k ? Z ) ;

? y ? A cos(?x ? ? ) 对称轴:令 ?x ? ? ? k? ,得 x ?

k? ? ?

?

;对称中心: (

k? ?

?

?周期公式:①函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T ?

2?

?

(A、ω 、 ? 为常数,

第 3 页

且 A≠0).②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期 T ? 6.同角三角函数的基本关系: sin 2 x ? cos 2 x ? 1; 7.三角函数的单调区间及对称性: ? y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ?

? (A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0). ?

sin x ? tan x cos x

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?

k ? Z ,单调递减区间为

? ? 3? ? ? x ? k ? ? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ,0? (k ? Z ) . ,对称轴为 2 k ? ? , 2 k ? ? k ? Z ? 2 2 2? ? ?
? y ? cos x 的单调递增区间为 ?2k? ? ? ,2k? ? k ? Z ,单调递减区间为 ?2k? ,2k? ? ? ? k ? Z , 对称轴为 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ? ? y ? tan x 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?

? , 0 ? (k ? Z ) . 2 ?

? ?

?
2

, k? ?

??

? k? ? ,0 ? ?k ? Z ? . ? k ? Z ,对称中心为 ? 2? ? 2 ?

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?
2

② sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin

? ? sin 2 ? ; cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .

③ a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 所在的象限 决定, tan ? ?

b ). a
2

9.二倍角公式:① sin 2? ? 2 sin ? cos ? . (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ② cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? (升幂公式).
2 2 2 2

cos 2 ? ?
10.正、余弦定理: ?正弦定理:

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? (降幂公式). 2 2

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径 )

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; ③

a b c a?b?c ? ? ? 。 sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
2 2 2

?余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个; cos A ?

b2 ? c2 ? a2 等三个。 2bc

第 4 页

11.几个公式:?三角形面积公式:① S ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高);② 2 2 2

S?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B .③ S?OAB ? (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 2 2 2 2
a?b?c

?内切圆半径 r= 2 S ?ABC ; 外接圆直径 2R=

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

第四部分
1.平面上两点间的距离公式: d A, B ?

平面向量

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ,其中 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) .

2.向量的平行与垂直: 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则: ① a ∥ b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; ② a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 3.a·b=|a||b|cos<a,b>= x 1 x2+y1y2; 注:①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上的投影; ②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。 4.cos<a,b>=

a ?b | a || b |



5.三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB且x ? y ? 1。

??? ?

??? ?

??? ?

第五部分
1.定义:

数列

(1)等差数列{a n} ? a n ?1 ? a n ? d (d为常数, n ? N ?) ? a n ? a n ?1 ? d (n ? 2) ? 2a n ? a n ?1 ? a n?1 (n ? 2, n ? N *) ? a n ? kn ? b ? S n ? An2 ? Bn
?等比数列 {an } ?

an ?1 2 ? q(q ? 0) ? an ? an -1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N ? ) an
等比数列

2.等差、等比数列性质: 等差数列 通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1q n?1

第 5 页

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 前 n 项和 S n ? 2 2

1.q ? 1时,S n ? na1 ; 2.q ? 1时,S n ? ? a1 ? a n q 1? q
n-m

a1 (1 ? q n ) 1? q

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ③ S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 成 AP ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,?成 AP, d ' ? md

①an=amq ; ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 成 GP ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,?成 GP, q' ? q m

3.常见数列通项的求法: ?定义法(利用 AP,GP 的定义) ;?累加法( an ?1 ? an ? cn 型) ;?公式法: ?累乘法( an= S1 Sn-Sn-1 (n=1) (n≥2)

an?1 ;?待定系数法( an?1 ? kan ? b 型)转化为 an?1 ? x ? k (an ? x) ? cn 型) an
1 1 ; (7) (理科)数学归纳法。 ? ? 4) an an?1

(6)间接法(例如: a n ?1 ? a n ? 4a n a n ?1 ?

4.前 n 项和的求法:?分组求和法;?错位相减法;?裂项法。 5.等差数列前 n 项和最值的求法: ? S n 最大值 ?

?a n ? 0 ? ?a ? 0 ? ? 或S n 最小值? n ? ? ? a ? 0 a ? 0 n ? 1 n ? 1 ? ? ? ?

;?利用二次函数的图象与性质。

第六部分
1.均值不等式: ab ?

不等式

a?b a2 ? b2 ? (a, b ? 0) 2 2
a ? b 2 a2 ? b2 ) ? ( a, b ? R ) 。 2 2

注意:①一正二定三相等;②变形: ab ? ( 2.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有:

(1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值

1 2 s . 4

2 3.解一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) :若 a ? 0 ,则对于解集不是全集或空集时,对应的

解集为“大两边,小中间”.如:当 x1 ? x 2 , ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;

?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x ? x2或x ? x1 .
2 2 4.含有绝对值的不等式:当 a ? 0 时,有:① x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a ;

② x ?a ? x ?a ? x ?a或
2 2

x ? ?a .
第 6 页

5*.分式不等式: (1)

f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; g ?x ?

(2)

f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; g ?x ?

(3)

? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 f ?x ? f ?x ? ; (4) . ?0?? ?0?? g ?x ? g ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? g ?x ? ? 0
? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
g ( x)

6*.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a
f ( x)

?a

g ( x)

(2)当 0 ? a ? 1 时, a

f ( x)

?a

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

3.不等式的性质: ? a ? b ? b ? a ;? a ? b, b ? c ? a ? c ;? a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d

? a ? c ? b ? d ;? a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;? a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0(n ? N ? ) ;? a ? b ? 0 ?
n

a ? n b (n ? N ? )

第七部分
1.事件的关系:

概率

?事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ?事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ?并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ? B (或 A ? B ) ; ?并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作 A ? B (或 AB ) ; ?事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ) ,则事件 A 与互斥; ?对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ?古典概型: P( A) ? ?几何概型: P( A) ?

A包含的基本事件的个数 ; 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体 积等) ; 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积 等)

第八部分
1.抽样方法:

统计与统计案例

?简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
第 7 页

为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。 ?系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,从 每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④按预 先制定的规则抽取样本。 ?分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况, 将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ?

n N

注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 2.频率分布直方图与茎叶图:?用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。?当数据是两 位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字, 它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.总体特征数的估计: ?样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? xi ;
n n
i ?1
n ?样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( x ? x )2 ; i

n

n

n

i ?1

n ?样本标准差 S ? 1 [(x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ? ? ( xn ? x )2 ] = 1 ? ( xi ? x ) 2

n

n

i ?1

第九部分
1.程序框图: ?图形符号: ① 终端框(起止框) ;②

算法初步

输入、输出框;

③ 处理框(执行框) ;④ ?程序框图分类: ①顺序结构: ②条件结构: r =0? 输入 n 是 n 不是质数 n 是质数
第 8 页

判断框;⑤

流程线 ;

③循环结构: 否 求 n 除以 i 的余数

i=i+1

i=2 i ? n 或 r=0? 否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型) ——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。 2.基本算法语句: ?输入语句 INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式

赋值语句:

变量=表达式 ?条件语

句:① IF 条件 THEN 语句体 END IF

② IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF

?循环语句:①当型: WHILE 条件 循环体 WEND

②直到型: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

新课标数学部分公式及结论
2.从集合 A ? ?a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an ?到集合 B ? ? b1 , b2 , b3 ,? ? ?, bm ?的映射有 m 个.
n

3.函数的的单调性: (1)设 x1 , x2 ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为减函数. 4*.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性:
第 9 页

① y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) ; ② y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称 ? f (a ? x) ? f (b ? x) ? f (a ? b ? x) ? f ( x) ; 2

③ y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, 0) 对称 ? f ?x ? ? ? f ?2a ? x ? ? f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 0 ,

y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 ? f ?x ? ? 2b ? f ?2a ? x? ? f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b .
6.奇偶函数的图象特征: 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原 点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性: 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 8. 若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 9. 几个常见的函数方程: (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? .
?
'

(5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,f(0)=1. 10*.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x ? a) ? ? f ( x) ,或 f ( x ? a) ? 则 f ( x ) 的周期 T=2a; 11.①等差数列 ?an ? 的通项公式: an ? a1 ? ?n ? 1?d ,或 an ? am ? (n ? m)d ? d ? ②前 n 项和公式: sn ?

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) f ( x)

an ? am . n?m

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

12.设数列 ?an ? 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项的和, S n 是前 n 项的和,则 ①前 n 项的和 S n ? S 奇 ? S 偶 ; ②当 n 为偶数时, S 偶 ? S奇 ?
n d ,其中 d 为公差; 2
S奇 n ? 1 n ?1 n ?1 ? , a中 , S偶 ? a中 , S偶 n ? 1 2 2

③当 n 为奇数时,则 S 奇 ? S偶 ? a中 , S奇 ?

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S ? S偶 Sn ? 奇 ? n (其中 a中 是等差数列的中间一项) S奇 ? S偶 S奇 ? S偶

13.若等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和分别为 S 2 n?1 和 T2 n?1 ,则

an S 2 n?1 . ? bn T2 n?1
2

14.数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么( S 2k ? S k ) = S k · S 3k ? S 2k . 15.分期付款(按揭贷款): 每次还款 x ?

ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b)n ? 1

16.裂项法:①

1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ; ② ? ?? ? ?; n?n ? 1? n n ? 1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 a? b ? 1 a ?b



?

a? b

?

;④

n 1 1 ? ? . ?n ? 1?! n ! ?n ? 1?!

17*.常见三角不等式: (1)若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x . ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 .

(2) 若 x ? (0,

?
2

(3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 18.正弦、余弦的诱导公式:
n n ? ? 2 2 ( ? 1) sin ? , n 为偶数 ( ? 1) co s ? , n为偶数 n? n ? ? ? sin( ? ? ) ? ? co s( ? ? ) ? ; . ? n ?1 n ?1 2 2 ?(?1) 2 co s ? , n为奇数 ?(?1) 2 sin ? , n为奇数 ? ?

即:“奇变偶不变,符号看象限”.如 cos? ? ? 19*.万能公式: sin 2? ? 20*.半角公式: tan 21.三角函数变换:

? ?

??

? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? . 2?

2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? cos 2 ? ? ; ; tan 2? ? (正切倍角公式). 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? . 1 ? cos ? sin ?
向左?? ?0 ?或向右 ?? ?0 ?平移 ? 个单位

①相位变换: y ? sin x 的图象 ??????????? y ? sin ?x ? ? ? 的图象;

? ?? y ? sin ?x 的图象; ②周期变换: y ? sin x 的图象 ????????????
③振幅变换: y ? sin x 的图象 ????????????? y ? A sin x 的图象. 22.在△ABC 中,有 ① A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?
纵坐标伸长 ? A?1?或缩短 ?0? A?1?到原来的 A倍

1 横坐标伸长 ?0?? ?1?或缩短 ?? ?1?到原来的 倍

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) ; 2 2 2
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② a ? b ? sin A ? sin B (注意是在 ?ABC 中). 24.若 OA ? xOB ? yOB ,则 A 、 B 、 C 共线的等价条件是 x ? y ? 1 . 25.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ), 则其重心的坐标是 G (

??? ?

??? ?

??? ?

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

28*. 三角形四“心”向量形式的充要条件: 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则: (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . 29.常用不等式:

??? ?2

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

a2 ? b2 (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab ? ab ? (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2
2 2

a?b ?a?b? ? ab ? ab ? ? (2) a, b ? R ? ? (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 ? 2 ?
?

2

(5)

1 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? (a ? 0, b ? 0) . 2 2

(6)柯西不等式: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.

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