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2.1.3椭圆的几何性质(一)导学案


白城实验高中 高二数学 选修 1-1

编号:3

编制人:张晶

审批人: 冯淑君

包科领导: 张晶

2012 年





班级

小组

学生姓名

评价

第二章 圆锥曲线与方程

§ 2.1.3 椭圆的几何性质(一)
【学习目标】 1. 由对椭圆标准方程的讨论,学会椭圆的简单几何性质;并正确地画出它的图形. 2. 明白 a, b, c, e 的几何意义及相互关系. 3. 根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质,画图. 【重点难点】 重点:由椭圆的方程求其相关几何性质. 难点:灵活应用椭圆的几何性质. 【试一试】
x2 y 2 1. 椭圆 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离是 2 , 那么它到右焦点的距离是 16 12 x2 y 2 2. 方程 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 5 m

思考:
y 2 x2 ? ? 1 的几何性质呢? 25 16 范围: x : ,y:

1.椭圆

对称性:椭圆关于 顶点: 离心率: e ? =
c a

轴、 .

轴和

: 都对称; ;长轴长为

;短轴长为



2. 比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁? ⑴ 9 x2 ? y 2 ? 36 与
x2 y 2 ? ?1 16 12

. .



⑵ x2 ? 9 y 2 ? 36 与

x2 y 2 ? ?1 . 6 10

【典型例题】 例 1: 求椭圆 9 x2 ? 16 y 2 ? 144 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

【合作交流】 思考:你能从椭圆的方程和图形两个角度分别推导一下椭圆的几何性质吗? 一、椭圆的简单几何性质 标准方程

变式:已知椭圆方程是

x2 y 2 ? ? 1 ,则其长轴长为 9 81

,短轴长为 , 离心率为

, .

焦点坐标为 _________ , 顶点坐标为 ___ 小结:①先化为标准方程,找出 a, b ,求出 c ; ②注意焦点所在坐标轴. 例 2:求适合下列条件的椭圆的标准方程: x2 y2 2 ? 1 有相同的焦点,且离心率为 (1)与椭圆 ? ; 2 9 5

图形

范围 顶点 长轴、 长轴长 短轴、 短轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 对称轴: 刻画椭圆 对称中心: 程度.记 e=_______且___<e<___.
1

(2)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 (?2, ?4) .

例 3:求椭圆的离心率: (1)椭圆的两个焦点三等分它的长轴,则椭圆的离心率为



(2)如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为
§ 2.1.3 椭圆的几何性质(一) 2



§ 2.1.3 椭圆的几何性质(一)

白城实验高中

高二数学 选修 1-1

导学案

第二章 圆锥曲线与方程

及时练兵 1.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为 18,焦距为 6,那么椭圆的方程为 ( ) 2 x y2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 x2 y2 A ? B ? C ? D ? ?1 ? 1或 ? ?1 ?1 ?1 25 16 25 16 9 16 16 25 16 25 2.短轴长为 5 ,离心率 e ? 的椭圆两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A, B 两点, 则 ?ABF2 的周长为( A. 3 B. 6 3.若椭圆 A. 3 ) C. 12
2 3

9. 已知点 P 是椭圆

x y 且以点 P 及焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的面积 ? ? 1 上的一点, 5 4

2

2

等于 1 ,则点 P 的坐标是多少?

10. D. 24 ) .

求适合下列条件的椭圆的标准方程:
1 3

⑴焦点在 x 轴上, a ? 6 , e ? ;

⑵长轴长等到于 20 ,离心率等于 .

3 5

10 x2 y 2 ,则 m 的值是( ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 m 5 15 25 B. 3 或 C. 15 D. 15 或 3 3

4. 若椭圆经过原点,且焦点分别为 F1 (1,0) , F2 (3,0) ,则其离心率为( A.
3 4

) .

⑶经过点 P(?3,0) , Q(0, ?2) ;

⑷长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(3,0) ;

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 4

5.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为________ 11. 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是等腰直角三角形,求这个椭圆的离心率。

6. 某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18 ,且两个焦点恰好将长轴三等 分,则此椭圆的方程是 .

7. (2009 北京理)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 , 9 2 则 | PF2 |? _________; ?F1 PF2 的小大为__________.

8.

F1,F2 为椭圆 =1(a>b>0)的两焦点,P 为椭圆上一点,∠PF1F2=15° , ∠PF2F1=75° ,则椭圆的离心率为________.

§ 2.1.3 椭圆的几何性质(一)

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§ 2.1.3 椭圆的几何性质(一)

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